《创新方案》5.5　课后达标检测 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测

(共24张PPT)
课后达标检测
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解析：由题意知，当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确．故选C．
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2．用数学归纳法证明“2n≥n2(n∈N＋，n≥4)”时，第二步应假设(　　)
A．当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，2k≥k2成立
B．当n＝k(k∈N＋，k≥3)时，2k≥k2成立
C．当n＝k(k∈N＋，k≥4)时，2k≥k2成立
D．当n＝k(k∈N＋，k≥5)时，2k≥k2成立
解析：根据题意，证明的结论为“2n≥n2(n∈N＋，n≥4)”，所以第二步的假设应为，假设当n＝k(k∈N＋，k≥4)时命题成立，即2k≥k2成立．故选C．
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√
解析：当n＝k时，则1＋2＋22＋…＋25k－1，当n＝k＋1时，则(1＋2＋22＋…＋25k－1)＋(25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4)，所以从k到k＋1添加的项数共有5项．故选D．
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5．某个与自然数有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，可推得当n＝k＋1时该命题也成立，那么，若已知当n＝5时该命题不成立，则可推得(　　)
A．当n＝4时，该命题不成立 B．当n＝4时，该命题成立
C．当n＝6时，该命题不成立 D．当n＝6时，该命题成立
解析：可得题干等价于其逆否命题：当n＝k＋1(k∈N＋)时该命题不成立，则可推得当n＝k时该命题也不成立．所以若当n＝5时该命题不成立，则当n＝4时，该命题也不成立．故选A．
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√
7．用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)(n∈N＋)”时，第一步验证需证明的命题为
________________________________________________________.
解析：根据数学归纳法的证明步骤可知，第一步验证需证明的命题为：
当n＝1时，等式1＋2＋3＝(1＋1)×(2×1＋1)成立．
当n＝1时，等式1＋2＋3＝(1＋1)×(2×1＋1)成立
5
9．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为_____________________________________________________．
解析：当n＝k＋1时，表达式左侧为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)，表达式右侧为(k＋1)(k＋2)2，则当n＝k＋1时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2.
1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2
10．用数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2(n∈N＋).
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，
即13＋23＋…＋k3＝(1＋2＋…＋k)2，则当n＝k＋1时，
右边＝[1＋2＋…＋k＋(k＋1)]2＝(1＋2＋…＋k)2＋2(1＋2＋…＋k)(k＋1)＋(k＋1)2＝13＋23＋…＋k3＋k(k＋1)2＋(k＋1)2
＝13＋23＋…＋k3＋(k＋1)3＝左边，等式成立．
综上，对一切正整数n，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2.
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11．已知f(n)是关于正整数n的命题，现在小杰为了证明该命题，已经证明了命题f(1)，f(2)，f(3)均成立，并对任意的k∈N＋，在假设f(k)成立的前提下，证明了f(k＋m)成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明f(n)对一切n∈N＋均成立，则m的最大值为　(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意可知，f(n)对n＝1，2，3都成立，假设f(k)成立的前提下，证明了f(k＋m)成立，所以m的最大值为3.故选C．
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12．(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列说法错误的是(　　)
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
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√
解析：对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误；
对于B，若f(5)≥25成立，由题意只可得出当k≥5时，均有f(k)≥k2成立，故B错误；
对于C，因为f(7)<49不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C错误；
对于D，若f(4)＝25>16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，故D正确．故选ABC．
14．设n∈N＋，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1.
(1)当n＝1，2，3，4时，计算f(n)的值；
解：由n∈N＋，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1，得f(1)＝51＋2×31－1＋1＝8＝8×1；
f(2)＝52＋2×32－1＋1＝32＝8×4；
f(3)＝53＋2×33－1＋1＝144＝8×18；
f(4)＝54＋2×34－1＋1＝680＝8×85.
设n∈N＋，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1.
(2)你对f(n)的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想．
解：由(1)猜想：当n∈N＋时，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1能被8整除．
①当n＝1时，有f(1)＝51＋2×31－1＋1＝8，能被8整除，命题成立；
②假设当n＝k(k∈N＋)时命题成立，即f(k)＝5k＋2×3k－1＋1能被8整除，
则当n＝k＋1时， f(k＋1)＝5k＋1＋2×3(k＋1)－1＋1＝5×5k＋6×3k－1＋1＝(5k＋2×3k－1＋1)＋4(5k＋3k－1)＝f(k)＋4(5k＋3k－1)，显然5k和3k－1均为奇数，它们的和(5k＋3k－1)必为偶数，从而4(5k＋3k－1)能被8整除，又依归纳假设，f(k)能被8整除，所以f(k＋1)能被8整除，因此当n＝k＋1时命题也成立．
由①②知，当n∈N＋时，f(n)＝5n＋2×3n－1＋1能被8整除．
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16．是否存在常数a，b，使等式12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝an3＋bn对任意正整数n都成立？证明你的结论．