《创新方案》5.5 数学归纳法 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测
文档属性
| 名称 | 《创新方案》5.5 数学归纳法 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
*5.5 数学归纳法
1.了解数学归纳法的原理． 2.能用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
思考1 如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？
提示：不能. 通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确.
思考2 在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？
提示：要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下．像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫做数学归纳法．它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的．
一 数学归纳法
一个与自然数有关的命题，如果
(1)当n＝________时，命题成立；
(2)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝________时命题也成立．
那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立．
n0
k＋1
【即时练】
1．利用数学归纳法证明f(n)＝1＋2＋3＋4＋…＋(4n－1)(n∈N＋)时，第一步应证明( )
A．f(1)＝1 B．f(1)＝1＋2＋3
C．f(2)＝1＋2 D．f(1)＝1＋2＋3＋4
解析：由题意f(n)＝1＋2＋3＋…＋(4n－1)，n∈N＋，即从1起连续4n－1项正整数之和，则f(1)为从1起连续3个正整数之和，故第一步应证明f(1)＝1＋2＋3.故选B．
√
2．用数学归纳法证明“2n>n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：显然当n＝1时，21>12，而当n＝2时，22＝22，A错误；
当n＝3时，23<32，B错误；
当n＝4时，24＝42，C错误；
当n＝5时，25>52，符合题意，D正确．故选D．
√
(k＋1)2＋k2
数学归纳法概念的理解
(1)与正整数有关的恒等式、不等式、数列的通项公式及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明．但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决．
(2)第一个值n0是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值n0都是1.
(3)利用数学归纳法证明问题时要注意两点：一是要准确表述当n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由当n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．
用数学归纳法证明等式的方法
[跟踪训练1] 用数学归纳法证明：当n∈N＋时，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，则当n＝k＋1时，有1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
故当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，原等式都成立．
三 用数学归纳法证明平面几何问题
平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明：这n个圆把平面分成了n2－n＋2个区域．
【证明】 (1)当n＝1时，1个圆将平面分为2个区域，12－1＋2＝2，显然命题成立．
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k＋1之间的递推关系.
用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点
[跟踪训练3] 设x>0，n∈N＋，且n≥2，用数学归纳法证明：(1＋x)n>1＋nx.
证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x，因为x>0，所以x2>0，故左边>右边，原不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，不等式成立，即(1＋x)k>1＋kx，
则当n＝k＋1时，因为x>0，所以1＋x>0，在不等式(1＋x)k>1＋kx两边同乘以1＋x得(1＋x)k(1＋x)>(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x，
所以(1＋x)k＋1>1＋(k＋1)x.
即当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对任何n≥2，n∈N＋，不等式(1＋x)n>1＋nx都成立．
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
解析：由题意知n的最小值为3，所以第一步应验证当n＝3时，不等式成立．故选B．
√
√
解析：数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，由此可知B，C能用数学归纳法证明．故选BC．
1．已学习：数学归纳法的概念，用数学归纳法证明等式、不等式及平面几何问题．
2．须贯通：(1)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化，这是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(2)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则就不是数学归纳法证明．
3．应注意：(1)对题意理解不到位导致n0的取值出错；(2)推证当n＝k＋1时忽略n＝k时的假设．
*5.5 数学归纳法
1.了解数学归纳法的原理． 2.能用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
思考1 如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？
提示：不能. 通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确.
思考2 在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？
提示：要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下．像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫做数学归纳法．它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的．
一 数学归纳法
一个与自然数有关的命题，如果
(1)当n＝________时，命题成立；
(2)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝________时命题也成立．
那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立．
n0
k＋1
【即时练】
1．利用数学归纳法证明f(n)＝1＋2＋3＋4＋…＋(4n－1)(n∈N＋)时，第一步应证明( )
A．f(1)＝1 B．f(1)＝1＋2＋3
C．f(2)＝1＋2 D．f(1)＝1＋2＋3＋4
解析：由题意f(n)＝1＋2＋3＋…＋(4n－1)，n∈N＋，即从1起连续4n－1项正整数之和，则f(1)为从1起连续3个正整数之和，故第一步应证明f(1)＝1＋2＋3.故选B．
√
2．用数学归纳法证明“2n>n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：显然当n＝1时，21>12，而当n＝2时，22＝22，A错误；
当n＝3时，23<32，B错误；
当n＝4时，24＝42，C错误；
当n＝5时，25>52，符合题意，D正确．故选D．
√
(k＋1)2＋k2
数学归纳法概念的理解
(1)与正整数有关的恒等式、不等式、数列的通项公式及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明．但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决．
(2)第一个值n0是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值n0都是1.
(3)利用数学归纳法证明问题时要注意两点：一是要准确表述当n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由当n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．
用数学归纳法证明等式的方法
[跟踪训练1] 用数学归纳法证明：当n∈N＋时，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，则当n＝k＋1时，有1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
故当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，原等式都成立．
三 用数学归纳法证明平面几何问题
平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明：这n个圆把平面分成了n2－n＋2个区域．
【证明】 (1)当n＝1时，1个圆将平面分为2个区域，12－1＋2＝2，显然命题成立．
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k＋1之间的递推关系.
用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点
[跟踪训练3] 设x>0，n∈N＋，且n≥2，用数学归纳法证明：(1＋x)n>1＋nx.
证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x，因为x>0，所以x2>0，故左边>右边，原不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，不等式成立，即(1＋x)k>1＋kx，
则当n＝k＋1时，因为x>0，所以1＋x>0，在不等式(1＋x)k>1＋kx两边同乘以1＋x得(1＋x)k(1＋x)>(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x，
所以(1＋x)k＋1>1＋(k＋1)x.
即当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对任何n≥2，n∈N＋，不等式(1＋x)n>1＋nx都成立．
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
解析：由题意知n的最小值为3，所以第一步应验证当n＝3时，不等式成立．故选B．
√
√
解析：数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，由此可知B，C能用数学归纳法证明．故选BC．
1．已学习：数学归纳法的概念，用数学归纳法证明等式、不等式及平面几何问题．
2．须贯通：(1)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化，这是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(2)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则就不是数学归纳法证明．
3．应注意：(1)对题意理解不到位导致n0的取值出错；(2)推证当n＝k＋1时忽略n＝k时的假设．