《创新方案》第五章培优1 　斐波那契数列 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测

(共13张PPT)
培优1 　斐波那契数列
2.斐波那契数列的性质
(1)求和问题：①Sn＝an＋2－1；②a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n；③a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－1.
[证明]　①Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(an＋1－an)＋(an＋2－an＋1)＝an＋2－a2＝an＋2－1，即Sn＝an＋2－1.
②由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2n－1＝a2n－a2n－2，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n.
③由a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2n＝a2n＋1－a2n－1，可得a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－a1＝a2n＋1－1.
类型一 斐波那契数列性质的应用
　(多选)若数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N＋)，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以an为边长的正方形中的扇形面积为bn，数列{bn}的前n项和为Sn.下列结论正确的是(　　)
√
√
√
【解析】　该数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以a9＝34，A正确；
由斐波那契数列得每三个数中，前两个为奇数，后一个为偶数，且2 024＝3×674＋2，所以a2 024是奇数，B正确；
由an－1＝an－an－2(n≥3)，得a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2 024＝a2 025－a2 023，累加得a2＋a4＋…＋a2 024＝a2 025－a1，C错误；
类型二 斐波那契数列模型的应用
　某校教学楼内有一段楼梯共有11级台阶，假如你要登上第11级台阶，要求你每一步只能跨一级或两级台阶，那么你会有_____种不同的走法．
【解析】　登上第一级台阶，有一种走法，记a1＝1，
登上第二级台阶，可以一次跨两级台阶，也可以一次跨一级台阶，所以a2＝2，登上第n(n≥3)级台阶，可以在第n－1级台阶的基础上跨一级台阶和第n－2(n≥3)级台阶的基础上跨两级台阶得到，故an＝an－2＋an－1(n≥3)，则{an}是斐波那契数列．因为1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，所以a11＝144.
144
【尝试训练】
1．在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝ak－a2，则k＝(　　)
A．12 B．13
C．89 D．144
√
解析：由斐波那契数列的性质可得，a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝a4＋a5＋a7＋a9＋a11＝a6＋a7＋a9＋a11＝a8＋a9＋a11＝a10＋a11＝a12，所以k＝12.故选A．
2．已知斐波那契数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N＋)，记其前n项和为Sn，设a2 025＝t(t为常数)，则S2 023＋S2 022－S2 021－S2 020＝(　　)
A．t B．2t
C．3t D．4t
解析：由题意可得，S2 023＋S2 022－S2 021－S2 020＝a2 023＋a2 022＋a2 022＋a2 021＝a2 024＋a2 023＝a2 025＝t.故选A．
√
3．意大利数学家斐波那契的《算盘书》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，该数列的前2 024项中奇数的个数为____________．
解析：对数列中的数据归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，又2 024＝3×674＋2，故该数列前2 024项中有674×2＋2＝1 350个奇数．
1 350
4．斐波那契数列{an}的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．记Sn是数列{an}的前n项和，则(a3－S1)＋(a4－S2)＋(a5－S3)＋…＋(a200－S198)＝____________．
解析：当n≥2时，an－1＋an＝an＋1，则an＝an＋1－an－1，
则当n≥2时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋(a3－a1)＋(a4－a2)＋…＋(an＋1－an－1)＝(a1＋a3＋a4＋…＋an＋1)－(a1＋a2＋a3＋…＋an－1)＝(Sn＋1－1)－Sn－1＝an＋1＋an－1，因此an＋2－Sn＝an＋1＋an－(an＋1＋an－1)＝1，
而a3－S1＝2－1＝1，所以(a3－S1)＋(a4－S2)＋(a5－S3)＋…＋(a200－S198)＝198.
198