《创新方案》第五章培优2 　数列中的构造问题 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测

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培优2 　数列中的构造问题
　　数列中的构造问题一直是高考的热点内容，主、客观题均可考查，一般都是通过构造新的数列，从而求出数列的通项公式．常见的类型有如下几种：
　(1)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，a1＝1，则{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n－1
B．an＝2n－1－1
C．an＝2n
D．an＝2n－1
【解析】　由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，而a1＋1＝2，故{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.故选D．
√
(2)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝4an＋3×4n，则此数列的通项公式an＝________．
3n×4n－1
类型二 作差法构造等差、等比数列
对于Sn与an的递推关系求an时，常常采用作差法构造等差、等比数列，一般有两种思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解；二是利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
√
2n－1
√
【尝试训练】
1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋3，则a9＝(　　)
A．29－3 B．29＋3
C．210－3 D．210＋3
√
√
√
√
3．在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝3an＋2n＋1，则an＝______________．
2×3n－2n＋1
方法二：令an＋1＋A·2n＋1＝3(an＋A·2n)，则an＋1＝3an＋A·2n，结合an＋1＝3an＋2n＋1可得A＝2，所以an＋1＋2n＋2＝3(an＋2n＋1)，又a1＋22＝6≠0，所以数列{an＋2n＋1}是首项为6，公比为3的等比数列，所以an＋2n＋1＝6×3n－1＝2×3n，故an＝2×3n－2n＋1.