《创新方案》5.1.1　第2课时　数列与函数的关系 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测

(共32张PPT)
5．1.1　数列的概念
第2课时　数列与函数的关系
1.理解数列与函数的关系．　2.会判断数列的单调性．　3.会求数列的最大(小)项．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
对于数列an＝f(n)，数列中的每一项都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一项．

这说明数列是关于序号n的函数．
思考1　已知函数f(x)＝x2－1，当x＝1，2，3时对应的函数值分别是什么？它们能构成一个数列吗？若能，请作出数列的图象．
提示：对应的函数值分别为0，3，8，
能构成一个数列．数列的图象如图所示．
思考2　函数单调性可以用单调性的定义来判断，那么数列的单调性如何来判断呢？
提示：若数列{an}满足an＋1－an＞(＜)0， n∈N＋都成立，则该数列{an}是递增(减)数列．
一　数列与函数的关系
数列{an}可以看成定义域为__________的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取__________时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的________．数列也可以用平面直角坐标系中的________来直观地表示．
正整数集
正整数值
解析式
点
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)数列的定义域一定为正整数集．(　　)
(2)数列的图象可以是连续的曲线．(　　)
(3)数列的图象只能是离散的点．(　　)
(4)数列在y轴左侧没有图象．(　　)
×
√
×
√
2．对任意的an∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N＋)，则函数y＝f(x) 的图象可能是(　　)

解析：根据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足．故选A．
√
解析：由题知，a2＝f(2)＝10，a4＝f(4)＝8，a8＝f(8)＝10，所以a2＋a4＋a8＝28.
28
用函数的有关知识解决数列问题，要注意它的定义域是N＋(或N＋的有限子集{1，2，3，…n})这一约束条件，即数列是一种特殊的函数，主要特殊在其定义域，从而使得图象和值域也具备特殊性．　
二　数列的单调性
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列称为__________数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为__________数列；各项都相等的数列称为常数数列(简称为________).
点拨　函数y＝f(x)为增(减)函数，则其对应的数列为递增(减)数列；但是数列an＝f(n)为递增(减)数列，其对应的函数不一定是增(减)函数．
递增
递减
常数列
数列单调性的判断方法
若an＋1>an，则数列{an}是递增数列；若an＋1(1)作差法：若an＋1－an>0，则数列{an}是递增数列；若an＋1－an<0，则数列{an}是递减数列；若an＋1－an＝0，则数列{an}是常数列．
(3)利用函数的单调性法：根据条件抽象出相应函数，通过函数的单调性来判断数列的单调性．　
√
数列{an}是递增数列 an＋1>an(n∈N＋)，数列{an}是递减数列 an＋1[跟踪训练] (1)已知数列{an}满足an＝3n＋kn，若{an}为递增数列，则k的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B．(－6，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，2)
解析：因为{an}为递增数列，则an＋1－an＝3n＋1＋kn＋k－3n－kn＝2×3n＋k＞0恒成立，故k＞－2×3n，又当n＝1时，－2×3n取得最大值，最大值为－6，故k＞－6.故选B．
√
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．下列数列中，为递减数列的是(　　)
A．1，2，22，23，…，263
B．1，0.5，0.52，0.53，…
C．0，10，20，30，…，1 000
D．－1，1，－1，1，－1，…
解析：选项A，C为递增数列，选项D不是递减数列，选项B为递减数列．故选B．
√
√
3．(教材P8练习BT5改编)写出一个各项均小于3的无穷递增数列的通项公式：an＝___________________(n∈N＋).
1．已学习：数列与函数的关系、数列的单调性及其应用．
2．须贯通：(1)数列与函数既有区别又有联系；(2)运用作差法或作商法判断数列的单调性；(3)利用数列的单调性或不等式组寻找数列的最大(小)项．
3．应注意：(1)数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n}；(2)函数的单调性与数列的单调性的区别．