《创新方案》5.1.2 数列中的递推 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测
文档属性
| 名称 | 《创新方案》5.1.2 数列中的递推 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
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文档简介
(共36张PPT)
5．1.2 数列中的递推
1.了解用递推公式表示数列，会由递推公式写出数列的每一项． 2.了解用累加法、累乘法求通项公式． 3.了解数列的前n项和的概念并会利用数列的前n项和求出数列的通项公式．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
看下面例子：
(1)1，2，4，8，16；
(2)1，4，7，10，13；
(3)
思考1 请同学们分析一下(1)与(2)，从第二项起，后一项与前一项有怎样的关系？
提示：an＋1＝an·2＝2an.(2)an＋1＝an＋3.
思考2 请同学们分析一下(3)中图1至图4的规律，并依此规律，能写出第n个图形与第n－1个图形中小正方形的个数关系吗？
提示：an－an－1＝n(n≥2，n∈N＋).
一 数列的递推关系
如果已知数列的_______(或前几项)，且数列的________或两项以上的关系都可以用________来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
点拨 (1)递推公式是表示数列的一种重要方法，反映了数列的相邻两项或两项以上的关系，但并不是任何数列都有递推公式．
(2)利用递推公式求数列的项，一般要通过赋值逐项求出．
首项
相邻两项
一个公式
(对接教材例1)分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项．
(1)4，5，7，10，14，…；
【解】 an＋1＝an＋n.
由于a5＝14，所以a6＝a5＋5＝14＋5＝19，a7＝a6＋6＝19＋6＝25.
(2)7，9，11，13，15，…；
【解】 an＋1＝an＋2.
由于a5＝15，所以a6＝a5＋2＝15＋2＝17，a7＝a6＋2＝17＋2＝19.
(3)2，6，18，54，162，….
【解】 an＋1＝3an.
由于a5＝162，所以a6＝3a5＝3×162＝486，a7＝3a6＝3×486＝1 458.
(1)由数列的前几项写递推关系的思路是寻找相邻两项或几项之间的关系，可以从后一项与前一项的差或和，后一项是前一项的倍数等角度去考虑，然后用剩余的项去验证猜想即可；
(2)由递推公式写出数列的项的方法是根据递推公式，依次求出各项．
[跟踪训练1] 有一个细胞集团最初有细胞10个，每小时内先消亡3个，余下的每个再分裂成2个，设n小时后细胞的个数为an.
(1)求出a1，a2，a3；
解：由题意a1＝2×(10－3)＝14，a2＝2×(14－3)＝22，a3＝2×(22－3)＝38.
(2)写出an与an＋1的递推公式．
解：an＋1＝2(an－3)＝2an－6.
√
√
由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的首项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．
(2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．
√
解析：由已知an＋1－an＝3，所以a2－a1＝3，a3－a2＝3，…，an－an－1＝3(n≥2)，
上述等式两边分别相加可得an＝3(n－1)＋1＝3n－2(n≥2)，
所以a6＝3×6－2＝16.故选D．
(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2，n∈N＋)，则an＝______________．
en－1，n∈N＋
三 数列的前n项和
1．一般地，给定数列{an}，称Sn＝____________________为数列{an}的前n项和．
a1＋a2＋a3＋…＋an
a1＋a2＋a3＋…＋an－1
Sn－1＋an
点拨 (1)要注意关系式an＝Sn－Sn－1的适用条件是n≥2.
(2)一定要检验当n＝1时，S1是否满足首项．
设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2－10n，求a1及an.
【解】 因为Sn＝n2－10n，所以当n＝1时，a1＝S1＝12－10＝－9，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.经验证当n＝1时，an＝2n－11成立，所以an＝2n－11.
【变式探究】
(条件变式)本例中，条件“Sn＝n2－10n”变为“Sn＝n2－10n＋1”，求a1及an.
用an与Sn的关系求an的步骤
(1)先利用Sn求出a1(a1＝S1)；
(2)再确定n≥2时an＝Sn－Sn－1的表达式；
(3)验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式；
(4)写出数列的通项公式．
√
解析：由题意知，a6＝S6－S5＝(5×6－4)－52＝1.故选A．
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－2，则an＝___________________．
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．(教材P13练习AT2改编)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，则a3＝( )
A．3 B．5
C．11 D．13
解析：因为a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，所以a2＝a1＋22＝1＋4＝5，a3＝a2＋23＝5＋8＝13.故选D．
√
√
√
3．(教材P13T5改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，
则an＝_________________________．
解：观察可得a6＝123 456，a7＝1 234 567.
解：前4项可改写为1，1×10＋2，(1×10＋2)×10＋3，[(1×10＋2)×10＋3]×10＋4，观察可得递推关系为an＋1＝10an＋n＋1(1≤n≤8，n∈N＋).
5．1.2 数列中的递推
1.了解用递推公式表示数列，会由递推公式写出数列的每一项． 2.了解用累加法、累乘法求通项公式． 3.了解数列的前n项和的概念并会利用数列的前n项和求出数列的通项公式．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
看下面例子：
(1)1，2，4，8，16；
(2)1，4，7，10，13；
(3)
思考1 请同学们分析一下(1)与(2)，从第二项起，后一项与前一项有怎样的关系？
提示：an＋1＝an·2＝2an.(2)an＋1＝an＋3.
思考2 请同学们分析一下(3)中图1至图4的规律，并依此规律，能写出第n个图形与第n－1个图形中小正方形的个数关系吗？
提示：an－an－1＝n(n≥2，n∈N＋).
一 数列的递推关系
如果已知数列的_______(或前几项)，且数列的________或两项以上的关系都可以用________来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
点拨 (1)递推公式是表示数列的一种重要方法，反映了数列的相邻两项或两项以上的关系，但并不是任何数列都有递推公式．
(2)利用递推公式求数列的项，一般要通过赋值逐项求出．
首项
相邻两项
一个公式
(对接教材例1)分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项．
(1)4，5，7，10，14，…；
【解】 an＋1＝an＋n.
由于a5＝14，所以a6＝a5＋5＝14＋5＝19，a7＝a6＋6＝19＋6＝25.
(2)7，9，11，13，15，…；
【解】 an＋1＝an＋2.
由于a5＝15，所以a6＝a5＋2＝15＋2＝17，a7＝a6＋2＝17＋2＝19.
(3)2，6，18，54，162，….
【解】 an＋1＝3an.
由于a5＝162，所以a6＝3a5＝3×162＝486，a7＝3a6＝3×486＝1 458.
(1)由数列的前几项写递推关系的思路是寻找相邻两项或几项之间的关系，可以从后一项与前一项的差或和，后一项是前一项的倍数等角度去考虑，然后用剩余的项去验证猜想即可；
(2)由递推公式写出数列的项的方法是根据递推公式，依次求出各项．
[跟踪训练1] 有一个细胞集团最初有细胞10个，每小时内先消亡3个，余下的每个再分裂成2个，设n小时后细胞的个数为an.
(1)求出a1，a2，a3；
解：由题意a1＝2×(10－3)＝14，a2＝2×(14－3)＝22，a3＝2×(22－3)＝38.
(2)写出an与an＋1的递推公式．
解：an＋1＝2(an－3)＝2an－6.
√
√
由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的首项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．
(2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．
√
解析：由已知an＋1－an＝3，所以a2－a1＝3，a3－a2＝3，…，an－an－1＝3(n≥2)，
上述等式两边分别相加可得an＝3(n－1)＋1＝3n－2(n≥2)，
所以a6＝3×6－2＝16.故选D．
(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2，n∈N＋)，则an＝______________．
en－1，n∈N＋
三 数列的前n项和
1．一般地，给定数列{an}，称Sn＝____________________为数列{an}的前n项和．
a1＋a2＋a3＋…＋an
a1＋a2＋a3＋…＋an－1
Sn－1＋an
点拨 (1)要注意关系式an＝Sn－Sn－1的适用条件是n≥2.
(2)一定要检验当n＝1时，S1是否满足首项．
设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2－10n，求a1及an.
【解】 因为Sn＝n2－10n，所以当n＝1时，a1＝S1＝12－10＝－9，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.经验证当n＝1时，an＝2n－11成立，所以an＝2n－11.
【变式探究】
(条件变式)本例中，条件“Sn＝n2－10n”变为“Sn＝n2－10n＋1”，求a1及an.
用an与Sn的关系求an的步骤
(1)先利用Sn求出a1(a1＝S1)；
(2)再确定n≥2时an＝Sn－Sn－1的表达式；
(3)验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式；
(4)写出数列的通项公式．
√
解析：由题意知，a6＝S6－S5＝(5×6－4)－52＝1.故选A．
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－2，则an＝___________________．
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．(教材P13练习AT2改编)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，则a3＝( )
A．3 B．5
C．11 D．13
解析：因为a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，所以a2＝a1＋22＝1＋4＝5，a3＝a2＋23＝5＋8＝13.故选D．
√
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3．(教材P13T5改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，
则an＝_________________________．
解：观察可得a6＝123 456，a7＝1 234 567.
解：前4项可改写为1，1×10＋2，(1×10＋2)×10＋3，[(1×10＋2)×10＋3]×10＋4，观察可得递推关系为an＋1＝10an＋n＋1(1≤n≤8，n∈N＋).