《创新方案》5.2.1　第1课时　等差数列的定义 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测

(共38张PPT)
5．2　等差数列
5．2.1　等差数列
第1课时　等差数列的定义
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念．　2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题．　3.体会等差数列与一次函数的关系．　4.掌握等差数列的判定与证明方法．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．
(1)近5届冬奥会举办的时间：2006，2010，2014，2018，2022；
(2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…；
(3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10.
思考1　以上数列有什么共同特征？
提示：对于(1)，我们发现2010－2006＝4，2014－2010＝4，2018－2014＝4，2022－2018＝4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．对于(2)有44－45＝－1，43－44＝－1，….对于(3)，10－10＝0，有同样的取值规律．
思考2　第24届冬季奥林匹克运动会于2022年在北京和张家口举行，北京冬奥会创造了历史，为奥运留下了一套全新的标准，将开启全球冰雪运动新篇章．你能预测26届冬奥会在哪一年举行吗？
提示：2030年．
一　等差数列的定义
一般地，如果数列{an}从________起，每一项与它的________之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的________．
第2项
前一项
公差
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)数列1，1，1，1，1是等差数列．(　　)
(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(3)等差数列至少有三项．(　　)
(4)等差数列的公差是相邻两项的差．(　　)
×
√
×
√
√
√
√
解析：根据等差数列的定义可知A，C，D是等差数列．故选ACD．
3．若数列1，3，a＋3，b是等差数列，则a＝__________，b＝__________．
解析：由a＋3－3＝3－1，所以a＝2，公差d＝3－1＝2，所以b＝5＋2＝7.
2
7
关于等差数列的理解
(1)等差数列的代数表示：an＋1－an＝d.
(2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项．
(3)注意作差顺序，且差必须是同一个常数．
(4)公差可以是正数、负数、零．　
二　等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an＝________________．
点拨　通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋).
a1＋(n－1)d
　(对接教材例4、例5)在等差数列{an}中，
(1)已知a2＝31，a7＝76，求a1，d；
(2)已知a3＝7，a6＝16，求a10.
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求出第四个参数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．　
[跟踪训练1] (1)已知在等差数列{an}中，a4＝8，a5＝a2＋a3，则a1＝ (　　)
A．－2 B．1
C．2 D．4
√
(2)已知数列{an}是等差数列，且a1＋a4＝2(a2＋1)，则{an}的公差为________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，由已知a1＋a4＝2(a2＋1)，即a1＋(a1＋3d)＝2(a1＋d＋1)，解得d＝2.
2
三　等差数列与函数的关系
在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d＝nd＋a1－d，如果记f(x)＝dx＋a1－d，则an＝f(n).
(1)当公差d＝0时，f(x)是常数函数，数列{an}是________；
(2)当公差d≠0时，f(x)是一次函数，而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号，当d>0时，{an}是__________数列；当d<0时，{an}是________数列．
常数列
递增
递减
　已知(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点．
(1)求数列{an}的通项公式；
已知(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点．
(2)画出数列{an}的图象；
【解】　等差数列{an}的图象是均匀分布在直线y＝－3x＋5上的一系列离散的点，如图所示．
已知(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点．
(3)判断数列{an}是递增数列还是递减数列．
【解】　因为公差d＝－3＜0，所以等差数列{an}为递减数列．
等差数列的单调性
熟练掌握等差数列是关于n的一次函数这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性：当d>0时，数列{an}为递增数列；当d＝0时，数列{an}为常数列；当d<0时，数列{an}为递减数列．　
用定义法证明数列{an}是等差数列的基本步骤
(1)作差：an＋1－an；
(2)变形：化简an＋1－an；
(3)下结论：若化简结果是与n无关的常数，则{an}为等差数列，否则不是等差数列．　
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．以上选项都不对
√
√
√
解析：对于A选项，由于(a＋d)－a＝a－(a－d)＝d，故是等差数列，故A正确；
对于B选项，2，4，6，8，…，2(n－1)，2n中，2n－2(n－1)＝2，是等差数列，故B正确；
对于C选项，因为a－d－(a－2d)＝d，(a＋d)－(a－d)＝2d，又d≠0，即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差，不是等差数列，故C错误；
6
4．已知数列{an}是等差数列(n∈N＋)，若a1＝2，a5＝－14.
(1)求{an}的通项公式；
解：设等差数列{an}的公差为d，a1＝2，a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4d＝－14，解得d＝－4，所以an＝2＋(－4)×(n－1)＝－4n＋6，n∈N＋.
(2)证明{an＋1＋an}是等差数列．
解：证明：因为(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝an＋2－an＝[a1＋(n＋1)d]－[a1＋(n－1)d]＝2d＝2×(－4)＝－8，
所以{an＋1＋an}是公差为－8的等差数列．
1．已学习：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的判定与证明．
2．须贯通：(1)应用等差数列的通项公式可以将an，a1，n，d四个元素互求，可以知三求一，体现方程思想；
(2)证明等差数列的方法有定义法，而判断等差数列的方法还有通项公式法．
3．应注意：在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第二项”“后项与前项的差”“同一个常数”．在证明中应注意验证“第一项”也满足条件．