《创新方案》5.2.1　第2课时　等差数列的性质 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测

(共29张PPT)
5．2.1　等差数列
第2课时　等差数列的性质
1.能理解等差中项的概念．　2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质．
3．能运用等差数列的性质简化计算．　4.能运用等差数列解决实际问题．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
同学们，前面我们学习了等差数列的概念，在学习过程中，我们发现了一件非常有意思的事情，比如说an＝n，这是一个正整数数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2，4，6，8，10…容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质．
思考1　如果x，A，y是等差数列，根据等差数列的定义，你能求出A的值吗？
思考2　设数列{an}的通项公式为an＝3n－1，求出a2＋a7，a3＋a6，并比较它们的大小．
提示：a2＋a7＝3×2－1＋3×7－1＝25，
a3＋a6＝3×3－1＋3×6－1＝25，所以a2＋a7＝a3＋a6.
点拨　(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一．
(2)利用等差中项可以判定给定数列是否为等差数列，即若2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)，则{an}为等差数列．
　(1)已知a，m∈R，m是a和10－a的等差中项，则m的值为________．
【解】　因为m是a和10－a的等差中项，故2m＝a＋(10－a)＝10，则m＝5.答案为5.
[跟踪训练1] (1)已知数列{an}是等差数列，且a2＋1是a1和a4的等差中项，则{an}的公差为________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
由已知条件，得a1＋a4＝2(a2＋1)，
即a1＋(a1＋3d)＝2(a1＋d＋1)，解得d＝2.
2
二　等差数列的性质
一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝________．特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝_____________.
点拨　(1)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同，可以推广为：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az.
(2)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝…(n∈N＋).
ap＋aq
ap＋aq
方法二：在等差数列{an}中，a5＋a7＝a2＋a10＝16，得a7＝12，故选D．
√
(2)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　)
A．32 B．27
C．24 D．16
【解析】　方法一：设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，
所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24.
方法二：在等差数列中，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，
所以a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，所以5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7.
又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5.所以5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24.
√
等差数列运算的两种常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.　
[跟踪训练2] (1)已知数列{an}是等差数列，且a2＋2a3＋a8＝32，则a4＝(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：由题设a2＋2a3＋a8＝2a3＋2a5＝4a4＝32，故a4＝8.故选C．
√
(2)在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________．
解析：在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，
所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log2(2a1＋a2＋…＋a10)＝(a1＋a2＋…＋a10)log22＝4×5＝20.
20
三　等差数列的实际应用问题
　(对接教材例7)在通常情况下，从海平面到10 km高空，海拔每增加1 km，气温就下降一固定数值．如果海拔1 km高空的气温是9 ℃，海拔5 km高空的气温是－15 ℃，那么海拔8 km高空的气温是多少？
解答等差数列实际问题的基本步骤
[跟踪训练3] 在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为(　　)
A．9.5尺 B．10.5尺
C．11.5尺 D．12.5尺
解析：由题意得，设日影长为等差数列{an}，公差为d，则a1＝18.5，a4＝15.5，则a4－a1＝3d＝－3，解得d＝－1，则a7＝a1＋6d＝18.5－6＝12.5，故春分的日影长为12.5尺．故选D．
√
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．在等差数列{an}中，若a7＋a17＝12，则a12＝(　　)
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：在等差数列{an}中，2a12＝a7＋a17＝12，
所以a12＝6.故选B．
2．(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则(　　)
A．公差d＝－4
B．a2＝7
C．数列{an}为递增数列
D．a3＋a4＋a5＝84
解析：因为a1＋a2＋a3＝21，所以3a2＝21，所以a2＝7.因为a1＝3，所以d＝4.所以数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15.所以a3＋a4＋a5＝3a4＝45.故选BC．
√
√
3．(教材P21T2改编)若2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，则实数a的值为________．
解析：由题意知，2(2a＋1)＝a－1＋4a－2，则a＝5.
5
4．(教材P22练习BT4改编)假设体育场一角看台的座位从第2排起每一排都比前一排多相等数目的座位．若第3排有10个座位，第9排有28个座位，则第12排有多少个座位？
1．已学习：等差中项的概念，等差数列的性质及实际应用．
2．须贯通：灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量，该思路运用了整体代换的思想．
3．应注意：(1)对等差数列的性质不理解而致错；
(2)忽略基本方法如方程(组)法的应用，过分强调性质的作用．