《创新方案》5.2.2　第1课时　等差数列的前n项和公式 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测

(共36张PPT)
5．2.2　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和公式
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．　2.掌握等差数列的前n项和公式，熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．　3.了解等差数列前n项和的函数特征．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
请同学们欣赏唐代诗人张南史的宝塔诗《花》，并回答下面的问题：
花，
深浅，
凝为雪，
莺和蝶到，
已迷金谷路，
芳草欲陵芳树，
愿得春风相伴去，
花．
芬葩．
错为霞．
苑占宫遮．
频驻玉人车．
东家半落西家．
一攀一折向天涯．
思考1　从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？
提示：诗中文字有对称性；这首诗内容的字数为S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝56，根据对称性，可先取其一半来研究．其数的个数较少，大家很容易求出答案．
思考2　网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字(每点代表一个字)
一　等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn＝____________ Sn＝_______________
【即时练】
1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　)
A．230 B．420
C．450 D．540
√
√
3．计算：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝____________．
4．已知数列{an}中，an＋1＝an对 n∈N＋恒成立，且a3＝2，则该数列的前5项和S5＝____________．
解析：由an＋1＝an对 n∈N＋恒成立知数列{an}为常数列，故an＝2，所以S5＝5a3＝10.
10
已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.
(2)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d；
已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.
(3)若a1＝－7，S3＝－15，求an.
【解】　依题意S3＝3a1＋3d＝－21＋3d＝－15，即d＝2，故an＝－7＋2(n－1)＝2n－9.
求等差数列的基本量的方法
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．　
√
√
[跟踪训练1] (1)(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝(　　)
A．－1 B．3
C．5 D．7
(2)等差数列{an}的前n项和记为Sn，且S5＝10，S10＝50，则S15＝__________．
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三　利用等差数列前n项和公式判断等差数列
　已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2＋3n，试判断数列{an}是不是等差数列．
【解】　Sn＝2n2＋3n，则当n＝1时，a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1.
又a1＝5适合an＝4n＋1，所以数列{an}的通项公式是an＝4n＋1(n∈N＋).
当n≥2时，an－an－1＝4n＋1－[4(n－1)＋1]＝4，
故数列{an}是首项为5，公差为4的等差数列．
【变式探究】
(条件变式)本例的条件“Sn＝2n2＋3n”变为“Sn＝2n2＋3n－1”，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列．
[跟踪训练2] 记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝3n2＋n.
(1)求数列{an}的通项公式；
记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝3n2＋n.
(2)证明：数列{an}是等差数列．
解：证明：当n≥2时，an－an－1＝3n－1－[3(n－1)－1]＝3，
故数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列．
四　求数列{an}的前n项和
　已知{an}为等差数列，a4＝94，a7＝82.
(1)求{an}的通项公式；
已知{an}为等差数列，a4＝94，a7＝82.
(2)求数列{|an|}的前n项和．
已知等差数列{an}，求{|an|}的前n项和的步骤
(1)确定通项公式an；
(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号，即判断数列{an}是先负后正，还是先正后负；
(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值，转化为{an}的前n项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，以直接利用数列{an}的前n项和公式；
(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式．　
[跟踪训练3] 在等差数列{an}中，a1＝8，a4＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
在等差数列{an}中，a1＝8，a4＝2.
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求T10.
解：因为当n≤5时，an≥0；当n≥6时，an＜0，
所以T10＝|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－(a6＋a7＋…＋a10)＝8＋6＋4＋2＋0＋(2＋4＋6＋8＋10)＝50.
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
√
√
a2＋a12＝2a1＋12d＝10，故C正确；
S10＝10a1＋45d＝40，D错误．故选AC．
3．(教材P27练习AT5改编)在等差数列{an}中，已知a1＝3，d＝－1，Sn＝－4，则n＝________．
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4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝－7，S3＝－15.求：
(1)Sn；
设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝－7，S3＝－15.求：
(2)数列{|an|}的前16项和T16.
解：当1≤n≤4时，an＜0；当n≥5时，an＞0，
T16＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋a5＋a6＋…＋a16＝－S4＋(S16－S4)＝S16－2S4＝(162－8×16)－2×(42－8×4)＝160.