《创新方案》5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测
文档属性
| 名称 | 《创新方案》5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
5．2.2 等差数列的前n项和
第2课时 等差数列前n项和的性质
1.构造等差数列求和模型，解决实际问题． 2.能解决等差数列中前n项和的最值问题． 3.探索等差数列前n项和公式的有关性质，会应用性质解题．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
思考1 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn与S2n的关系吗？
提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列．
思考2 等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？
√
√
(3)若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________．
－110
利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．
(2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到事半功倍的效果．
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
[跟踪训练1] (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝16，则S12＝( )
A．30 B．26
C．56 D．42
解析：由等差数列的性质可知S4，S8－S4，S12－S8，…构成等差数列，即2，14，…，所以S12－S8＝26，所以S12＝S8＋26＝42.故选D．
√
3
大
小
小
大
(对接教材例3)在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值．
[跟踪训练2] (1)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23＞0，S24＜0，则下列结论错误的是( )
A．数列{an}是递增数列
B．a13＞0
C．当Sn取得最大值时，n＝13
D．|a13|＞|a12|
√
√
√
(2)已知等差数列{an}中，a1＝－10，当且仅当n＝5时，前n项和Sn取得最小值，则公差d的取值范围是________．
三 等差数列前n项和的实际应用
某单位为了解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为30 000平方米的宿舍楼(每层的建筑面积相同).已知土地的征用费为2 250元/平方米，土地的征用面积为第一层的1.5倍．经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/平方米，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/平方米.试设计这幢宿舍楼的楼层数，使总费用最少，并求出最少总费用．(总费用为建筑费用和征地费用之和)
应用等差数列解决实际问题的一般思路
√
[跟踪训练3] 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为( )
A．44π B．64π
C．70π D．80π
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．(教材P59T3改编)在等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S9＝( )
A．12 B．18
C．24 D．30
解析：在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以S3＋S9－S6＝2(S6－S3)，即3＋S9－9＝2×(9－3)，所以S9＝18.故选B．
2．(多选)(教材P28习题5－2BT3改编)已知等差数列{an}的前n项和是Sn，且a9<0，a1＋a18>0，则( )
A．a1>0 B．a10>0
C．S9>0 D．Sn的最小值为S9
解析：由a9<0，a1＋a18>0，所以a1＋a18＝a9＋a10>0，即a10>－a9>0，所以当1≤n≤9，n∈N＋时，an<0；当n≥10，n∈N＋时，an>0；所以a1<0，故A错误；
a10>0，故B正确；
S9<0，故C错误；
Sn的最小值为S9，故D正确．故选BD．
√
√
4．已知项数为奇数的等差数列{an}，若奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项及项数．
1．已学习：等差数列前n项和性质问题、最值问题以及与前n项和有关的实际应用问题．
2．须贯通：(1)巧妙利用性质可简化运算，体现整体代换的思想；
(2)通项法求前n项和的最值，需寻求项的正负临界值；二次函数法求最值，往往借助数列是特殊的函数，利用函数图象直观寻求最值点．
3．应注意：由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值．
5．2.2 等差数列的前n项和
第2课时 等差数列前n项和的性质
1.构造等差数列求和模型，解决实际问题． 2.能解决等差数列中前n项和的最值问题． 3.探索等差数列前n项和公式的有关性质，会应用性质解题．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
思考1 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn与S2n的关系吗？
提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列．
思考2 等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？
√
√
(3)若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________．
－110
利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．
(2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到事半功倍的效果．
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
[跟踪训练1] (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝16，则S12＝( )
A．30 B．26
C．56 D．42
解析：由等差数列的性质可知S4，S8－S4，S12－S8，…构成等差数列，即2，14，…，所以S12－S8＝26，所以S12＝S8＋26＝42.故选D．
√
3
大
小
小
大
(对接教材例3)在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值．
[跟踪训练2] (1)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23＞0，S24＜0，则下列结论错误的是( )
A．数列{an}是递增数列
B．a13＞0
C．当Sn取得最大值时，n＝13
D．|a13|＞|a12|
√
√
√
(2)已知等差数列{an}中，a1＝－10，当且仅当n＝5时，前n项和Sn取得最小值，则公差d的取值范围是________．
三 等差数列前n项和的实际应用
某单位为了解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为30 000平方米的宿舍楼(每层的建筑面积相同).已知土地的征用费为2 250元/平方米，土地的征用面积为第一层的1.5倍．经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/平方米，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/平方米.试设计这幢宿舍楼的楼层数，使总费用最少，并求出最少总费用．(总费用为建筑费用和征地费用之和)
应用等差数列解决实际问题的一般思路
√
[跟踪训练3] 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为( )
A．44π B．64π
C．70π D．80π
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．(教材P59T3改编)在等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S9＝( )
A．12 B．18
C．24 D．30
解析：在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以S3＋S9－S6＝2(S6－S3)，即3＋S9－9＝2×(9－3)，所以S9＝18.故选B．
2．(多选)(教材P28习题5－2BT3改编)已知等差数列{an}的前n项和是Sn，且a9<0，a1＋a18>0，则( )
A．a1>0 B．a10>0
C．S9>0 D．Sn的最小值为S9
解析：由a9<0，a1＋a18>0，所以a1＋a18＝a9＋a10>0，即a10>－a9>0，所以当1≤n≤9，n∈N＋时，an<0；当n≥10，n∈N＋时，an>0；所以a1<0，故A错误；
a10>0，故B正确；
S9<0，故C错误；
Sn的最小值为S9，故D正确．故选BD．
√
√
4．已知项数为奇数的等差数列{an}，若奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项及项数．
1．已学习：等差数列前n项和性质问题、最值问题以及与前n项和有关的实际应用问题．
2．须贯通：(1)巧妙利用性质可简化运算，体现整体代换的思想；
(2)通项法求前n项和的最值，需寻求项的正负临界值；二次函数法求最值，往往借助数列是特殊的函数，利用函数图象直观寻求最值点．
3．应注意：由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值．