《创新方案》培优4　经典不等式链 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测

(共15张PPT)
培优4　经典不等式链
　　证明经典不等式：(1)ex≥x＋1；
[证明]　设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0得x＝0，所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)min＝f(0)＝0，所以f(x)＝ex－x－1≥0，即ex≥x＋1成立．
证明经典不等式：(2)ln x≤x－1.
若两经典不等式作适当变换，可变为下列不等式链：
√
类型三　与ex和ln x有关的不等式证明
　　　　已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－a ln x(a∈R).
(1)求函数y＝f(x)的单调区间；
已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－a ln x(a∈R).
(2)当a＝1时，证明：对任意的x>0，f(x)＋ex>x2＋x＋2.
【解】　证明：当a＝1时，f(x)＝x2＋x－ln x，要证明f(x)＋ex>x2＋x＋2，只需证明ex－ln x－2>0，
先证明当x>0时，ex>x＋1，
令g(x)＝ex－x－1(x>0)，则g′(x)＝ex－1，
当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0，即ex>x＋1，
所以ex－ln x－2>x＋1－ln x－2＝x－ln x－1.
【尝试训练】
1．若ea＝ln b＝c，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．c解析：设f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1，当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝1>0，即ex>x，因为c＝ea>a，又ln b＝c，所以b＝ec>c，所以a√
√
3．若函数y＝ln (ex－x＋a)的值域为R，则实数a的取值范围是________________．
解析：由题意得，ex－x＋a能取遍所有正数，
即(ex－x＋a)min≤0.令f(x)＝ex－x＋a，
因为ex≥x＋1，所以ex－x＋a≥1＋a，
所以f(x)min＝1＋a≤0，所以a≤－1.
(－∞，－1]
4．已知函数f(x)＝ex－ln (x＋2)，求证：f(x)>0.