《创新方案》6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法则 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测
文档属性
| 名称 | 《创新方案》6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法则 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
6．1.4 求导法则及其应用
第2课时 简单复合函数的求导法则
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数．
思考1 函数y＝ln (2x－1)是对数函数吗？
提示：不是．
思考2 函数y＝ln (2x－1)与y＝ln x及y＝2x－1是何关系？
提示：y＝ln (2x－1)中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x 中x的位置，若f(x)＝ln x，则f(2x－1)＝ln (2x－1).
一 复合函数的概念
一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定 x 的任意一个值，就能确定 u 的值，如果此时还能确定 y 的值，则 y 可以看成 ________，此时称 f(g(x))有意义，且称 y＝h(x)＝________为函数 f(u)与 g(x)的复合函数，其中 u 称为____________．
x 的函数
f(g(x))
中间变量
√
√
√
解析：A不是复合函数；
B，C，D都是复合函数．
2．指出下列函数的复合关系．
(1)y＝(a＋bx)5；
解：对于y＝(a＋bx)5，可分解为y＝u5，
u＝a＋bx.
指出下列函数的复合关系．
(3)y＝3log2(x2－2x＋3)；
解：对于y＝3log2(x2－2x＋3)，
可分解为y＝3log2u，u＝x2－2x＋3.
划分复合函数中的外层函数与内层函数注意事项
(1)内外两层或多层函数都应是基本初等函数．
(2)复合函数是通过中间变量把内外两层函数“复合”而成的，而非加、减、乘、除的关系．
(3)内层函数的值域全部或部分应包含在外层函数的定义域内．
二 复合函数的求导法则
一般地，如果函数 y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝_______________，也可表示为y′x＝______________．
点拨 (1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；
(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层函数不变的原则；
(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．
f′(g(x))g′(x)
y′uu′x
求下列函数的导数．
(2)y＝esin x；
【解】 设u＝sin x，则y＝eu，
所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(sin x)′＝eu·cos x＝esin xcos x.
求下列函数的导数．
(4)y＝5log2(2x＋1).
求复合函数的导数的步骤
[跟踪训练1] 求下列函数的导数．
(1)y＝cos (1＋x2)；
解：设u＝1＋x2，则y＝cos u，
所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(1＋x2)′＝－sin u·2x＝－2x sin (1＋x2).
(2)y＝ln (2x2＋x)；
求下列函数的导数．
(3)y＝e－2x＋1.
解：设u＝－2x＋1，则y＝eu，所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－2x＋1)′＝－2eu＝－2e－2x＋1.
√
利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数．解决与切线有关的问题的前提是正确求出复合函数的导数，其次关注已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点坐标设出来，并求出切点的坐标，从而求出切线方程．
[跟踪训练2] (1)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
√
(2)已知函数f(x)＝－x2＋3xf′(1)＋6ln (2x＋1)，则f(1)＝________．
6ln 3－4
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．(教材P89练习BT4改编)设f(x)＝e2x－x，则f(x)在x＝0处的导数f′(0)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．e
解析：由已知可得，f′(x)＝e2x·(2x)′－x′＝2e2x－1，所以f′(0)＝1.故选C．
√
√
1
4．(教材P90习题6－1BT4改编)已知函数f(x)＝(3x＋1)2ln (3x).
(1)求f(x)的导数；
1．已学习：复合函数的概念、复合函数的求导法则．
2．须贯通：对复合函数求导，熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，可直接运用公式，由外及内逐层求导．
3．应注意：(1)求复合函数的导数时应把握结构特征正确分解函数；(2)求导时要分清是对哪个变量求导．
6．1.4 求导法则及其应用
第2课时 简单复合函数的求导法则
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数．
思考1 函数y＝ln (2x－1)是对数函数吗？
提示：不是．
思考2 函数y＝ln (2x－1)与y＝ln x及y＝2x－1是何关系？
提示：y＝ln (2x－1)中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x 中x的位置，若f(x)＝ln x，则f(2x－1)＝ln (2x－1).
一 复合函数的概念
一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定 x 的任意一个值，就能确定 u 的值，如果此时还能确定 y 的值，则 y 可以看成 ________，此时称 f(g(x))有意义，且称 y＝h(x)＝________为函数 f(u)与 g(x)的复合函数，其中 u 称为____________．
x 的函数
f(g(x))
中间变量
√
√
√
解析：A不是复合函数；
B，C，D都是复合函数．
2．指出下列函数的复合关系．
(1)y＝(a＋bx)5；
解：对于y＝(a＋bx)5，可分解为y＝u5，
u＝a＋bx.
指出下列函数的复合关系．
(3)y＝3log2(x2－2x＋3)；
解：对于y＝3log2(x2－2x＋3)，
可分解为y＝3log2u，u＝x2－2x＋3.
划分复合函数中的外层函数与内层函数注意事项
(1)内外两层或多层函数都应是基本初等函数．
(2)复合函数是通过中间变量把内外两层函数“复合”而成的，而非加、减、乘、除的关系．
(3)内层函数的值域全部或部分应包含在外层函数的定义域内．
二 复合函数的求导法则
一般地，如果函数 y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝_______________，也可表示为y′x＝______________．
点拨 (1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；
(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层函数不变的原则；
(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．
f′(g(x))g′(x)
y′uu′x
求下列函数的导数．
(2)y＝esin x；
【解】 设u＝sin x，则y＝eu，
所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(sin x)′＝eu·cos x＝esin xcos x.
求下列函数的导数．
(4)y＝5log2(2x＋1).
求复合函数的导数的步骤
[跟踪训练1] 求下列函数的导数．
(1)y＝cos (1＋x2)；
解：设u＝1＋x2，则y＝cos u，
所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(1＋x2)′＝－sin u·2x＝－2x sin (1＋x2).
(2)y＝ln (2x2＋x)；
求下列函数的导数．
(3)y＝e－2x＋1.
解：设u＝－2x＋1，则y＝eu，所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－2x＋1)′＝－2eu＝－2e－2x＋1.
√
利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数．解决与切线有关的问题的前提是正确求出复合函数的导数，其次关注已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点坐标设出来，并求出切点的坐标，从而求出切线方程．
[跟踪训练2] (1)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
√
(2)已知函数f(x)＝－x2＋3xf′(1)＋6ln (2x＋1)，则f(1)＝________．
6ln 3－4
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．(教材P89练习BT4改编)设f(x)＝e2x－x，则f(x)在x＝0处的导数f′(0)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．e
解析：由已知可得，f′(x)＝e2x·(2x)′－x′＝2e2x－1，所以f′(0)＝1.故选C．
√
√
1
4．(教材P90习题6－1BT4改编)已知函数f(x)＝(3x＋1)2ln (3x).
(1)求f(x)的导数；
1．已学习：复合函数的概念、复合函数的求导法则．
2．须贯通：对复合函数求导，熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，可直接运用公式，由外及内逐层求导．
3．应注意：(1)求复合函数的导数时应把握结构特征正确分解函数；(2)求导时要分清是对哪个变量求导．