《创新方案》6.2.1　第1课时　导数与函数的单调性 课件 高中数学选修三(人教B版)同步讲练测

(共41张PPT)
6．2　利用导数研究函数的性质
6．2.1　导数与函数的单调性
第1课时　导数与函数的单调性
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．　
2.能利用导数研究函数的单调性．　3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．　4.了解函数与其导函数图象之间的关系．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
　　同学们，对于函数的单调性，大家并不陌生，早在学习必修第一册的时候，我们就利用定义法和图象法求了函数的单调区间，比如大家所熟悉的一次函数、二次函数等．当然，求单调区间的前提是要先确定函数的定义域，但是对于更复杂一些的函数，比如三次函数、与指数或对数有关的函数等，虽然定义法是解决问题的根本方法，但比较烦琐，又不能画出函数图象，为了解决这个问题，就需要用到我们今天的知识：函数的单调性与导数的关系．
思考　观察下面一次跳水运动轨迹的函数h(t)以及其导函数v(t)的图象，试说明运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
提示：通过观察题中的图象，可以发现：
(1)从起跳到最高点，运动员离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增，相应地，v(t)＝h′(t)>0；
(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减，相应地，v(t)＝h′(t)<0.
一　函数的单调性与导数符号的关系
　　一般地，(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都____________0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是____________，如图1所示．
大于
增函数
(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都__________0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是__________，如图2所示．
小于
减函数
点拨　(1)在利用导数判断函数的单调性时，首先要确定函数的定义域．
(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　)
(2)若函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　　)
(3)函数在区间(a，b)内单调递减与函数的单调递减区间为(a，b)是不同的．(　　)
(4)若f(x)＝x2＋1，则f(x)在x＝2时是递增的．(　　)
×
×
√
×
利用导数判断下列函数的单调性：
(3)f(x)＝x－ex(x>0).
解：因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝1－ex<0，
所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减．
利用导数判断函数单调性的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；
(3)得出结论．
二　具体函数的单调性
角度1　求不含参数的函数的单调区间
　　　(对接教材例1、例2、例3)求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝2x3－6x2－18x＋5；
【解】　f′(x)＝6x2－12x－18＝6(x－3) (x＋1)，
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；
令f′(x)<0，解得－1所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(－1，3).
求下列函数的单调区间．
(2)f(x)＝e2x－ex－x.
【解】　由f(x)＝e2x－ex－x，
得f′(x)＝2e2x－ex－1＝(2ex＋1) (ex－1)，
令f′(x)>0，得x>0；
令f′(x)<0，得x<0.
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞).
求函数y＝f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
[注意]　本例(1)中单调递增区间不能写成(－∞，－1)∪(3，＋∞)，体会此处的细节；单调区间的端点处若有意义，可以写闭区间，也可写开区间，但是函数在端点处没有意义，一定要写开区间．
角度2　讨论含参函数的单调性
　　　已知函数f(x)＝ln x－mx＋m，m∈R.求f(x)的单调区间．
讨论含参函数单调性的关键点
(1)涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f′(x)在某一区间内的正负是否有影响．若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
[跟踪训练1] (1)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
解析：f(x)＝(x－3)ex，
f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
令f′(x)＝(x－2)ex>0，解得x>2，
所以函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(2，＋∞).故选D．
√
(2)函数f(x)＝x－2ln x＋1的单调递减区间为________．
(0，2)
(3)设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，
函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞).
三　导数与原函数的图象
角度1　导函数图象与原函数单调性的关系
　　　(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)
A．在区间(－3，－2)上f(x)单调递减
B．在区间(1，3)上f(x)单调递减
C．在区间(4，5)上f(x)单调递增
D．在区间(3，5)上f(x)单调递增
√
√
【解析】　由导函数f′(x)的图象知在区间(－3，－2)上，f′(x)<0，故f(x)在区间(－3，－2)上单调递减，故A项正确；
在区间(1，3)，(3，5)上f′(x)分别有大于零和小于零的部分，故f(x)在区间(1，3)，(3，5)上不单调，故B，D项错误；
在区间(4，5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(4，5)上单调递增，故C项正确．故选AC．
通过图象研究函数单调性的方法
(1)观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势．
(2)观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
√
　　设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上变化快慢规律如下：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)，切线斜率的绝对值越大
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)，切线斜率的绝对值越小
[跟踪训练2] (1)已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的部分图象如
图所示，则(　　)
A．g′(－1)<0B．f′(－1)<0C．g′(3)D．f′(3)√
解析：由题图可知，f(x)与g(x)在区间[－1，3]上单调递增，所以g′(－1)>0，f′(－1)>0.在区间[－1，3]上，g(x)的图象比f(x)的图象更陡峭，所以0(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，
则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
√
解析：由题中f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，
故x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，故排除A，C；
当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)的图象先单调递增，再单调递减，最后再单调递增，所以f′(x)的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，D项符合题意，故选D．
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．函数f(x)＝x3－2x2＋x＋4在区间(－2，0)内的单调性是(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
解析：f′(x)＝3x2－4x＋1，当－20，所以f(x)在(－2，0)上单调递增．故选A．
2．(多选)(教材P95练习BT1改编)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(a)>f(b)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(d)>f(e)
√
√
解析：由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，c)上单调递增，因为af(b)>f(a)，C选项正确；
当x∈(c，e)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(c，e)上单调递减，因为cf(d)>f(e)，D选项正确．故选CD．
(0，e)
4．判断下列函数的单调性．
(1)f(x)＝x ln x；
1．已学习：函数的单调性与其导数符号的关系，具体函数的单调性问题及导函数的图象与函数图象间的关系．
2．须贯通：(1)导数的符号反映了原函数在某个区间上的单调性．
(2)导数绝对值的大小反映了原函数增减的快慢．
3．应注意：忽略函数定义域而出错；混淆导函数与函数的图象．