天津市第二十中学2025-2026学年高二上学期学情调研（一）数学试卷
1．（2025高二上·天津月考）在空间直角坐标系中，点，关于轴对称的点的坐标是
A． B．
C． D．
2．（2025高二上·天津月考）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·天津月考）空间向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·天津月考）已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（ ）．
A． B．1 C． D．
5．（2025高二上·天津月考）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，设，，，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高二上·天津月考）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（2025高二上·天津月考）如图三棱锥中，底面，，，，则与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·天津月考）在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
9．（2025高二上·天津月考）设是空间两个不共线的向量，已知，，且A，B，D三点共线，则实数k＝ ．
10．（2025高二上·天津月考）设两直线 与 .若 ，则 ，若 ，则 ．
11．（2025高二上·天津月考）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
12．（2025高二上·天津月考）已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 ．
13．（2025高二上·天津月考）经过两直线和的交点，且和原点相距为1的直线方程为 ．
14．（2025高二上·天津月考）已知直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为 ；直线关于直线对称的直线方程为 ．
15．（2025高二上·天津月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线 交于点，则的最大值 .
16．（2025高二上·天津月考）如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ．
17．（2025高二上·天津月考）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．
（1）求所在直线的方程；
（2）求高所在直线的方程．
（3）求过点且与直线平行的直线方程．
18．（2025高二上·天津月考）如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且．
（1）求证：；
（2）当的值为多少时，能使平面？请给出证明．
19．（2025高二上·天津月考）如图，在直三棱柱中，，，，M、N、P分别是、、的中点.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
20．（2025高二上·天津月考）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使平面和平面的夹角大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点为.
故答案为：A.
【分析】根据空间直角坐标系中的点求解即可.
2．【答案】B
【知识点】两条直线平行的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：若直线与直线平行，
则，解得，
此时两直线方程分别为和，两直线平行，符合题意，
所以这两条直线间的距离为.
故答案为：B.
【分析】根据直线平行求得，再结合两平行线间距离公式运算求解，直线方程，，则两平行直线的距离.
3．【答案】C
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量在的投影向量为.
故答案为：C.
【分析】根据投影向量的定义计算即可.
4．【答案】A
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：因为空间内三点，，，
所以，，，，
因为，所以，
所以，点A到直线的距离.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量数量积求空间向量夹角的坐标表示，从而求出的值，再利用同角三角函数基本关系式求出的值，结合，从而得出点A到直线的距离.
5．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：、因为，该选项正确，符合题意；
、因，该选项错误，不合题意；
、因
.该选项错误，不合题意；
、因为，该选项错误，不合题意.
故答案为：.
【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理可得。
6．【答案】C
【知识点】斜率的计算公式；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：如图所示：
直线化为，
令，解得，即直线恒过定点，
，，
由图可知，或.
故答案为：C.
【分析】化直线方程为，求得直线恒过定点，再利用斜率公式求，，数形结合求的取值范围即可.
7．【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，，，
，，
，则与所成角的大小为.
故答案为：B.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
8．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：因为为的重心 ，所以，
，
又因为，所以，
又因为四点共面，所以，解得，
则，当且仅当时等号成立，
故的最小值为1．
故答案为：C.
【分析】以为基底，结合为的重心表示向量，再由题意，表示，利用空间向量的四点共面的定理，结合基本不等式求最小值即可.
9．【答案】1
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：∵A，B，D三点共线，
∴向量和共线，故存在实数λ，使，
，
所以
故可得，解得.
故答案为：1.
【分析】由A，B，D三点共线得，，列方程组求得.
10．【答案】-7；
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：当 时， ，解得 或
当 时， 两直线重合，不符合题意.即
当 时， ，解得
故答案为：-7；
【分析】由直线平行，得 解出方程进行检验可得 的值；由直线垂直可得， 解出方程即可得 的值.
11．【答案】或.
【知识点】直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：当截距为0时，满足在两坐标轴上的截距相等，此时设直线方程为，
则，故，化简得；
当截距不为0时，设直线方程为，则，
故，化简可得.
故答案为：或.
【分析】利用分类讨论的方法，从而设出直线方程，再结合已知条件，进而得出过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
12．【答案】
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，
若与的夹角为钝角， 则，即，解得，
当时，，解得，
则与夹角为钝角，实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由向量的夹角为钝角，可得且与不共线，根据向量数量积、共线的坐标运算求解即可.
13．【答案】或
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：联立方程，解得，
可知两直线的交点坐标为，即所求直线过点，
若所求直线斜率不存在，则直线方程为，符合题意；
若所求直线斜率存在，设直线方程为，即.
则原点到该直线的距离，解得，
此时方程为.
综上所述：所求直线方程为或.
故答案为：或.
【分析】先得交点坐标，分类讨论，斜率不存在和斜率存在，代入点到直线的距离公式计算即可.
14．【答案】；
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：设点关于的对称点为，
易知的中点，且，
由题意可得，解得，即；
取上一点，易知关于对称的点为，
设直线关于直线对称的直线斜率为，则，即该直线过点，
直线方程为，即.
故答案为：.
【分析】设点关于的对称点为，利用中点坐标公式以及斜率关系列方程组求解即可；取上一点得出对称点结合对称性及点斜式计算即可.
15．【答案】
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：由可知，所以该直线过定点，
由可得，所以该直线过定点，
因为直线与垂直，
所以，
因为，
即，解得：，
所以的最大值为，
故答案为：.
【分析】由直线系求定点方法，求出、的坐标，由两直线垂直得，根据基本不等式可得可解.
16．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；向量的模；直线与平面平行的性质；向量的数量积判断向量的共线与垂直；平面的法向量
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，，
设点，其中、，
设平面的法向量为，
所以，，
则，
取，可得，
因为，又因为平面，
所以，
则，所以，
则
，
当且仅当时，的长度取最小值.
故答案为：.
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中、，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的一个法向量，再利用和平面，则，再利用数量积的坐标表示，从而可得，再利用二次函数求最值的方法和空间向量的模长公式，从而可得线段长度的最小值.
17．【答案】（1）解：因为是边的中点，
所以，
则直线的斜率，
所以所在直线的方程为：，即.
（2）解：因为是边上的高，
结合（1）的结论，可知：，
所以，
因此高所在直线的方程为：，即.
（3）解：因为直线过点且与直线平行，
所以，其斜率，
则其方程为，
所以过点且与直线平行的直线方程为.
【知识点】平面内中点坐标公式；直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】（1）由已知条件结合中点坐标公式，从而求出点的坐标，再利用点斜式方程得出直线方程，再化为直线的一般式方程.
（2）根据两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程得出直线方程，再化为直线的一般式方程.
（3）利用两直线平行斜率相等、纵截距不等，从而得出直线斜率，再结合直线的点斜式方程得出直线过点且与直线平行的直线方程，再化为直线的一般式方程.
（1）因为是边的中点，所以，
所以直线的斜率，
所以所在直线的方程为：，即；
（2）因为是边上的高，结合上问结论可知：，
所以，
因此高所在直线的方程为：，即.
（3）因为直线过点且与直线平行，则其斜率，
所以其方程为，
所以过点且与直线平行的直线方程为.
18．【答案】（1）证明：设，，，则，
底面是菱形，有，且两两所成角相等，设为，
则，
∴，即.
（2）证明：要使平面，只需且.
欲使，则可证明，即，
也就是，
即，
由于，显然当时，上式成立.
同理可得，当时，.
因此，当时，能使平面.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由空间向量基本定理得，代入空间向量的数量积计算得到垂直关系；
（2）由得，同理当时可得可证平面，即可求出与的关系.
（1）证明：设，，，则，
底面是菱形，有，且两两所成角相等，设为，
则，
∴，即.
（2）要使平面，只需且.
欲使，则可证明，即，
也就是，
即，
由于，显然当时，上式成立.
同理可得，当时，.
因此，当时，能使平面.
19．【答案】（1）证明：在直三棱柱中，，则，，两两垂直，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
由，则，
由，则，
由，且都在平面内，则平面.
（2）解：设平面的一个法向量，，，
所以，取，则，
所以，
故与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知，
所以点到平面的距离.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量， 证明，， 代入数量积为0得证；
（2）先求，，可得平面的一个法向量，代入线面角公式可得；
（3）由（1）平面的一个法向量为，代入点到平面的距离公式可得.
（1）在直三棱柱中，，则，，两两垂直，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
由，则，
由，则，
由，且都在平面内，则平面.
（2）设平面的一个法向量，，，
所以，取，则，
所以，
故与平面所成角的正弦值为.
（3）由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知，
所以点到平面的距离.
20．【答案】（1）证明：设与交于，连接，
由已知可得四边形是平行四边形，
所以是的中点，
因为是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为四边形是菱形，，是的中点，
可得，
又因为是矩形，平面，平面平面，所以平面，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
（3）解： 设，，
再设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
所以平面的一个法向量为，
又因为平面的一个法向量，
所以，
解得，
则在线段上不存在点，使平面和平面的夹角大小为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）设与交于，连接，利用已知条件得到，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面.
（2）先利用已知条件得到，再利用面面垂直的性质定理得到平面，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
（3）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量，再利用平面的一个法向量结合数量积求向量夹角公式和已知条件，从而得出在线段上不存在点，使平面和平面的夹角大小为.
（1）设与交于，连接，
由已知可得四边形是平行四边形，所以是的中点，
因为是的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）由于四边形是菱形，，是的中点，
可得，又是矩形，平面，
平面平面，所以平面，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设与平面所成的角为，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为；
（3）设，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量，
所以，解得.
在线段上不存在点，使平面和平面的夹角大小为.
1 / 1天津市第二十中学2025-2026学年高二上学期学情调研（一）数学试卷
1．（2025高二上·天津月考）在空间直角坐标系中，点，关于轴对称的点的坐标是
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点为.
故答案为：A.
【分析】根据空间直角坐标系中的点求解即可.
2．（2025高二上·天津月考）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线平行的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：若直线与直线平行，
则，解得，
此时两直线方程分别为和，两直线平行，符合题意，
所以这两条直线间的距离为.
故答案为：B.
【分析】根据直线平行求得，再结合两平行线间距离公式运算求解，直线方程，，则两平行直线的距离.
3．（2025高二上·天津月考）空间向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量在的投影向量为.
故答案为：C.
【分析】根据投影向量的定义计算即可.
4．（2025高二上·天津月考）已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（ ）．
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：因为空间内三点，，，
所以，，，，
因为，所以，
所以，点A到直线的距离.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量数量积求空间向量夹角的坐标表示，从而求出的值，再利用同角三角函数基本关系式求出的值，结合，从而得出点A到直线的距离.
5．（2025高二上·天津月考）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，设，，，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：、因为，该选项正确，符合题意；
、因，该选项错误，不合题意；
、因
.该选项错误，不合题意；
、因为，该选项错误，不合题意.
故答案为：.
【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理可得。
6．（2025高二上·天津月考）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】斜率的计算公式；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：如图所示：
直线化为，
令，解得，即直线恒过定点，
，，
由图可知，或.
故答案为：C.
【分析】化直线方程为，求得直线恒过定点，再利用斜率公式求，，数形结合求的取值范围即可.
7．（2025高二上·天津月考）如图三棱锥中，底面，，，，则与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，，，
，，
，则与所成角的大小为.
故答案为：B.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
8．（2025高二上·天津月考）在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：因为为的重心 ，所以，
，
又因为，所以，
又因为四点共面，所以，解得，
则，当且仅当时等号成立，
故的最小值为1．
故答案为：C.
【分析】以为基底，结合为的重心表示向量，再由题意，表示，利用空间向量的四点共面的定理，结合基本不等式求最小值即可.
9．（2025高二上·天津月考）设是空间两个不共线的向量，已知，，且A，B，D三点共线，则实数k＝ ．
【答案】1
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：∵A，B，D三点共线，
∴向量和共线，故存在实数λ，使，
，
所以
故可得，解得.
故答案为：1.
【分析】由A，B，D三点共线得，，列方程组求得.
10．（2025高二上·天津月考）设两直线 与 .若 ，则 ，若 ，则 ．
【答案】-7；
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：当 时， ，解得 或
当 时， 两直线重合，不符合题意.即
当 时， ，解得
故答案为：-7；
【分析】由直线平行，得 解出方程进行检验可得 的值；由直线垂直可得， 解出方程即可得 的值.
11．（2025高二上·天津月考）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
【答案】或.
【知识点】直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：当截距为0时，满足在两坐标轴上的截距相等，此时设直线方程为，
则，故，化简得；
当截距不为0时，设直线方程为，则，
故，化简可得.
故答案为：或.
【分析】利用分类讨论的方法，从而设出直线方程，再结合已知条件，进而得出过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
12．（2025高二上·天津月考）已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，
若与的夹角为钝角， 则，即，解得，
当时，，解得，
则与夹角为钝角，实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由向量的夹角为钝角，可得且与不共线，根据向量数量积、共线的坐标运算求解即可.
13．（2025高二上·天津月考）经过两直线和的交点，且和原点相距为1的直线方程为 ．
【答案】或
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：联立方程，解得，
可知两直线的交点坐标为，即所求直线过点，
若所求直线斜率不存在，则直线方程为，符合题意；
若所求直线斜率存在，设直线方程为，即.
则原点到该直线的距离，解得，
此时方程为.
综上所述：所求直线方程为或.
故答案为：或.
【分析】先得交点坐标，分类讨论，斜率不存在和斜率存在，代入点到直线的距离公式计算即可.
14．（2025高二上·天津月考）已知直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为 ；直线关于直线对称的直线方程为 ．
【答案】；
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：设点关于的对称点为，
易知的中点，且，
由题意可得，解得，即；
取上一点，易知关于对称的点为，
设直线关于直线对称的直线斜率为，则，即该直线过点，
直线方程为，即.
故答案为：.
【分析】设点关于的对称点为，利用中点坐标公式以及斜率关系列方程组求解即可；取上一点得出对称点结合对称性及点斜式计算即可.
15．（2025高二上·天津月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线 交于点，则的最大值 .
【答案】
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：由可知，所以该直线过定点，
由可得，所以该直线过定点，
因为直线与垂直，
所以，
因为，
即，解得：，
所以的最大值为，
故答案为：.
【分析】由直线系求定点方法，求出、的坐标，由两直线垂直得，根据基本不等式可得可解.
16．（2025高二上·天津月考）如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ．
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；向量的模；直线与平面平行的性质；向量的数量积判断向量的共线与垂直；平面的法向量
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，，
设点，其中、，
设平面的法向量为，
所以，，
则，
取，可得，
因为，又因为平面，
所以，
则，所以，
则
，
当且仅当时，的长度取最小值.
故答案为：.
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中、，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的一个法向量，再利用和平面，则，再利用数量积的坐标表示，从而可得，再利用二次函数求最值的方法和空间向量的模长公式，从而可得线段长度的最小值.
17．（2025高二上·天津月考）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．
（1）求所在直线的方程；
（2）求高所在直线的方程．
（3）求过点且与直线平行的直线方程．
【答案】（1）解：因为是边的中点，
所以，
则直线的斜率，
所以所在直线的方程为：，即.
（2）解：因为是边上的高，
结合（1）的结论，可知：，
所以，
因此高所在直线的方程为：，即.
（3）解：因为直线过点且与直线平行，
所以，其斜率，
则其方程为，
所以过点且与直线平行的直线方程为.
【知识点】平面内中点坐标公式；直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】（1）由已知条件结合中点坐标公式，从而求出点的坐标，再利用点斜式方程得出直线方程，再化为直线的一般式方程.
（2）根据两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程得出直线方程，再化为直线的一般式方程.
（3）利用两直线平行斜率相等、纵截距不等，从而得出直线斜率，再结合直线的点斜式方程得出直线过点且与直线平行的直线方程，再化为直线的一般式方程.
（1）因为是边的中点，所以，
所以直线的斜率，
所以所在直线的方程为：，即；
（2）因为是边上的高，结合上问结论可知：，
所以，
因此高所在直线的方程为：，即.
（3）因为直线过点且与直线平行，则其斜率，
所以其方程为，
所以过点且与直线平行的直线方程为.
18．（2025高二上·天津月考）如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且．
（1）求证：；
（2）当的值为多少时，能使平面？请给出证明．
【答案】（1）证明：设，，，则，
底面是菱形，有，且两两所成角相等，设为，
则，
∴，即.
（2）证明：要使平面，只需且.
欲使，则可证明，即，
也就是，
即，
由于，显然当时，上式成立.
同理可得，当时，.
因此，当时，能使平面.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由空间向量基本定理得，代入空间向量的数量积计算得到垂直关系；
（2）由得，同理当时可得可证平面，即可求出与的关系.
（1）证明：设，，，则，
底面是菱形，有，且两两所成角相等，设为，
则，
∴，即.
（2）要使平面，只需且.
欲使，则可证明，即，
也就是，
即，
由于，显然当时，上式成立.
同理可得，当时，.
因此，当时，能使平面.
19．（2025高二上·天津月考）如图，在直三棱柱中，，，，M、N、P分别是、、的中点.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：在直三棱柱中，，则，，两两垂直，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
由，则，
由，则，
由，且都在平面内，则平面.
（2）解：设平面的一个法向量，，，
所以，取，则，
所以，
故与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知，
所以点到平面的距离.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量， 证明，， 代入数量积为0得证；
（2）先求，，可得平面的一个法向量，代入线面角公式可得；
（3）由（1）平面的一个法向量为，代入点到平面的距离公式可得.
（1）在直三棱柱中，，则，，两两垂直，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
由，则，
由，则，
由，且都在平面内，则平面.
（2）设平面的一个法向量，，，
所以，取，则，
所以，
故与平面所成角的正弦值为.
（3）由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知，
所以点到平面的距离.
20．（2025高二上·天津月考）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使平面和平面的夹角大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：设与交于，连接，
由已知可得四边形是平行四边形，
所以是的中点，
因为是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为四边形是菱形，，是的中点，
可得，
又因为是矩形，平面，平面平面，所以平面，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
（3）解： 设，，
再设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
所以平面的一个法向量为，
又因为平面的一个法向量，
所以，
解得，
则在线段上不存在点，使平面和平面的夹角大小为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）设与交于，连接，利用已知条件得到，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面.
（2）先利用已知条件得到，再利用面面垂直的性质定理得到平面，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
（3）利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的一个法向量，再利用平面的一个法向量结合数量积求向量夹角公式和已知条件，从而得出在线段上不存在点，使平面和平面的夹角大小为.
（1）设与交于，连接，
由已知可得四边形是平行四边形，所以是的中点，
因为是的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）由于四边形是菱形，，是的中点，
可得，又是矩形，平面，
平面平面，所以平面，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设与平面所成的角为，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为；
（3）设，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量，
所以，解得.
在线段上不存在点，使平面和平面的夹角大小为.
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