《创新课堂》1　周期变化　2　任意角 课件 高中数学必修二(北师大版)同步讲练测

(共48张PPT)
第一章　三角函数　　
§1　周期变化
§2　任意角
新知学习 探究
PART
01
第一部分
同学们，在体操、花样游泳、跳水等项目中，我
们常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”
等这样的解说，这些问题中的角不仅有超出0°～360°
范围的角，而且旋转的方向也不相同．为了准确地描述这些问题，我们需要扩大角的范围．
思考1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？
提示：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°.
思考2　小明要将射线OA绕着端点O旋转到OB位置．请问有几种旋转方向？
提示：两种，分别为顺时针方向与逆时针方向．
思考3　小明要将射线OA绕着端点O旋转到OB位置．请问旋转的角度确定吗？
提示：不确定，旋转的角度可以相差周角的整数倍．
x＋T∈D
f(x)
　(1)探索下图所呈现的规律，判断2 022至2 024箭头的方向是(　　)
√
【解】　由题图易知，周期T＝4，
因为2 022＝4×505＋2，
所以2 022至2 024箭头的方向和2至4箭头的方向相同，故选C.
(2)已知函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x).
①证明：函数f(x)是周期函数；
证明：由于f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．
②若f(－1)＝1，求f(985).
【解】由①知函数f(x)的周期为4，故 f(985)＝f(4×246＋1)＝f(1)＝f(－1＋2)＝－f(－1)＝－1.
判断函数周期性的方法
(1)观察函数图象判断周期性，关键是观察图象是否是周而复始重复出现．
(2)用定义法判断周期性，关键是证明对于任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x).
[跟踪训练1] 定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x)＋f(x＋1)＋f(x＋2)＝3(x∈R)，f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－1.
(1)求证：函数f(x)为周期函数；
证明：因为f(x)＋f(x＋1)＋f(x＋2)＝3，所以f(x＋1)＋f(x＋2)＋f(x＋3)＝3，两式相减得f(x)＝f(x＋3)，所以函数f(x)是周期为3的周期函数．
(2)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(211)的值．
解：由(1)可知f(1)＋f(2)＋f(3)＝3，f(4)＋f(5)＋f(6)＝3，…，f(208)＋f(209)＋f(210)＝3，f(211)＝f(70×3＋1)＝f(1)＝1，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(211)＝70[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(1)＝70×3＋1＝211.
端点O　
顶点
始边　
终边　
2．角的分类(按旋转方向分为三类)
逆时针
顺时针　
没有作任何
【即时练】
1．(多选)下列说法错误的是(　　)
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边与始边都相同的两个角一定相等
C．小于90°的角是锐角
D．始边相同而终边不同的两个角一定不相等
√
√
√
解析：对于A，周角的终边与始边也是重合的，故A错误；
对于B，终边与始边都相同的两个角不一定相等，比如30°角，390°角的终边和始边相同，但两个角不相等，故B错误；
对于C，锐角为大于0°小于90°的角，所以小于90°的角不一定是锐角，故C错误；
对于D，始边相同而终边不同的两个角，旋转量不一样，所以两个角一定不相等，故D正确．故选ABC.
2．射线OA绕端点O逆时针旋转270°到达OB的位置，再顺时针旋转120°到达OC的位置，则∠AOC＝________．
解析：逆时针旋转是正角，顺时针旋转是负角，所以∠AOC＝270°－120°＝150°.
150°
3．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________.
－100°
－1 200°
任意角的理解
(1)正确理解零角、正角、负角、锐角、钝角、周角等概念．
(2)处理任意角问题的两个关键点：
①定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，由顺时针方向旋转形成的角为负角．
②定大小：根据旋转角度的绝对值确定角的大小．
α＋k·360°　
周角的整数倍
　(对接教材例2、例3)写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合－360°<β<720°的元素β写出来．
所以k＝－2，－1，0，1，2，3.所以S中适合－360°<β<720°的元素分别是：
45°－2×180°＝－315°，
45°－1×180°＝－135°，
45°＋0×180°＝45°，
45°＋1×180°＝225°，
45°＋2×180°＝405°，
45°＋3×180°＝585°.
(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在0°～360°内，终边在直线上的角；
②用终边相同的角的表示方法写出角的集合；
③根据条件能合并一定要合并，使结果简洁．
(2)三个常用结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍；
②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；
③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
[跟踪训练2] (1)若角2α与240°角的终边相同，则α＝(　　)
A．120°＋k·360°，k∈Z
B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z
D．240°＋k·180°，k∈Z
解析：角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.故选B.
√
(2)(多选)与－330°角终边相同的角是(　　)
A．390° B．－30°
C．30° D．－370°
解析：因为390°＝－330°＋2×360°，－30°＝－330°＋300°，30°＝－330°＋360°，－370°＝－330°－40°，所以，与－330°角终边相同的角是390°角，30°角．故选AC.
√
√
{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}
x轴的非负半轴
第几象限角
坐标轴
角度1　象限角的判定
　(对接教材例1)在0°～720°范围内，写出与－1 050°角终边相同的角的集合，并判断－1 050° 角是第几象限角．
【解】　与－1 050°角终边相同的角可以表示为α＝－1 050°＋k·360°(k∈Z)，
由0°≤－1 050°＋k·360°<720°，k∈Z，解得k＝3或k＝4，
当k＝3时，－1 050°＋3×360°＝30°，
当k＝4时，－1 050°＋4×360°＝390°，
所以在0°～720°范围内，与－1 050°角终边相同的角的集合为{30°，390°}．
因为30°角为第一象限角，所以－1 050°角为第一象限角．
求符合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值(或对k赋值)，从而求出满足条件的角．
[跟踪训练3] 求与3 900°角终边相同的最小正角和最大负角，并指出
3 900°角是第几象限角．
解：因为3 900°＝300°＋10×360°，所以3 900°角与300°角终边相同，是第四象限角，所以与3 900°角终边相同的角可以表示为α＝300°＋k·360°(k∈Z)，当k＝0时，α＝300°；当k＝－1时，α＝－60°.所以与
3 900°角终边相同的最小正角为300°，最大负角为－60°，3 900°角是第四象限角．
角度2　区域角的表示
　如图，阴影部分表示角α的终边所在的位置，试写出角α的集合．
【解】　①{α|－30°＋k·360°≤α≤k·360°，k∈Z}∪{α|150°＋k·360°≤α≤180°＋k·360°，k∈Z}＝{α|－30°＋2k·180°≤α≤2k·180°，k∈Z}∪{α|－30°＋(2k＋1)·180°≤α≤(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|－30°＋k·180°≤α≤k·180°，k∈Z}．
②{α|－30°＋k·360°<α<60°＋k·360°，k∈Z}．
表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°.
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
[跟踪训练4] 已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，
试写出角β的集合．
解：终边落在x轴上方阴影部分的角的集合为A＝
{β|k·360°＋60°≤β＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}，终边落在x轴下方阴影部分的角的集合为B＝{β|k·360°＋240°≤β√
√
√
(2)已知角α的终边在图中阴影部分内，则角2α的终边一定不在第________象限．
四
解析：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，
终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，
因此，终边在题图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
设β＝2α，则角β的取值范围为{β|60°＋k·360°≤β<210°＋k·360°，k∈Z}，
所以角2α的终边一定不在第四象限．
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
1．已知角α＝563°，那么α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为α＝563°＝360°＋203°，又180°<203°<270°，所以α的终边在第三象限．故选C.
√
3.如图所示，终边落在阴影部分的角α的集合是
________________________________________________．
解析：因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以题图中终边落在阴影部分的角α的集合为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}
4．(教材P8练习T3改编)写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角．
1．已学习：周期变化、角的概念、终边相同的角、象限角与区域角．
2．须贯通：终边相同的角以及区域角的表示．
3．应注意：(1)终边相同的角的表示中勿漏掉k∈Z；
(2)表示区域角时，按逆时针旋转方向来确定区域的始边与终边所对应的角．