《创新课堂》5．1　向量的数量积 课件 高中数学必修二(北师大版)同步讲练测

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§5　从力的做功到向量的数量积
5．1　向量的数量积
新知学习 探究
PART
01
第一部分
我们在物理课中学过，力与物体在力的作用下产生的位移的乘积称为力对物体所做的功，如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F|，小车在水平面上的位移s的大小为|s|，力的方向与小车位移的方向的夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝|F||s|cos θ.
思考1　功W是向量还是数量？
提示：功W是数量．
思考2　给定任意两个向量a，b，能确定出一个和功类似的数量吗？
提示：向量的数量积a·b.
a·b
0
>
＝
<
0°
180°
×
×
×
×
√
√
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
|a|cos〈a，b〉
2．向量的数量积a·b的几何意义
b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积(其中θ为a与b的夹角)．
(2)求b在a方向上的投影数量及投影向量．
√
(2)已知向量|a|＝3，|b|＝2，且a·b＝2，则向量b在向量a上的投影向量为
________．
b·a
(λa)·b
a·(λb)
a·c＋b·c
a⊥b
|a|2
√
√
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若题目要求的是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律进行化简，再进行数量积运算．
[跟踪训练2] (1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则(2a－b)·(a＋3b)＝________．
解析：(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2＝8－15－27＝－34.
－34
22
√
√
(2)若(a＋λb)⊥(2a－b)，求实数λ的值．
√
√
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
√
－1
4．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，那么向量a－4b的模为________．