《创新课堂》3．1　向量的数乘运算 课件 高中数学必修二(北师大版)同步讲练测

(共34张PPT)
§3　从速度的倍数到向量的数乘
3．1　向量的数乘运算
新知学习 探究
PART
01
第一部分
一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a.
思考1　蚂蚁向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？
提示：3a.
思考2　蚂蚁向西运动5秒钟的位移对应的向量怎样表示？
提示：－5a.
λa
相同
相反
0
|λ||a|
原
反
【即时练】
1．已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有(　　)
①当λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；
②当λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；
③当λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；
④当λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
√
解析：由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②正确；对于命题③④，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，所以λa与μa都与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，所以λa与μa反向，故③④也正确．正确的命题有4个．故选D.
√
√
√
解析：因为2>0，所以2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|，所以A正确；




按照相反向量的定义可以判断，C正确；
因为－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，所以a－b与－(b－a)为相等向量，所以D不正确．
√
等腰梯形
对数乘向量的说明
(1)λa中的实数λ叫作向量a的系数．
(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小几倍．
(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.
λa＋μa　
(λμ)a　
λa＋λb
【解析】　原式＝6a－4b－2a＋3b＝4a－b.
4a－b
向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当地使用运算律，可以简化运算．
(2)已知3(2a－b＋c)＋x＝2(－a＋3b)，求x.
解：因为3(2a－b＋c)＋x＝2(－a＋3b)，
所以6a－3b＋3c＋x＝－2a＋6b，
即x＝－8a＋9b－3c.
√
向量线性表示的求解思路
(1)结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中．
(2)结合向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量．
(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
√
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
1．要得到向量－2a，可将(　　)
A．向量a向左平移2个单位长度
B．向量a向右平移2个单位长度
C．向量a保持方向不变，长度伸长为原来的2倍
D．向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍
解析：根据向量数乘的定义及几何意义可知，要得到向量－2a，可将向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍．故选D.
√
2．(教材P94T2改编)若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　)
A．－a B．－4b
C．c D．a－b
解析：3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.故选A.
√
1．已学习：向量的数乘定义、数乘运算的运算律、向量的线性表示．
2．须贯通：向量的数乘运算及向量的线性表示．
3．应注意：数乘向量的结果仍是向量．