《创新课堂》2．2　复数的乘法与除法　2．3　复数乘法几何意义初探 课件 高中数学必修二(北师大版)同步讲练测

(共44张PPT)
2．2　复数的乘法与除法
*2.3　复数乘法几何意义初探
新知学习 探究
PART
01
第一部分
我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)·(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，类比多项式的乘法，能否得到复数的乘法法则？
思考1　怎样定义复数的乘法？
提示：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)·(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
思考2　猜想复数的乘法满足哪些运算律？
提示：猜想，对于任意z1，z2，z3∈C，有：
(1)交换律：z1·z2＝z2·z1；
(2)结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；
(3)乘法对加法的分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
z2·z1
z1·(z2·z3)
z1·z2＋z1·z3
zm＋n
zmn
角度1　复数乘法运算
(对接教材例6、例7)计算：
(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)；
【解】　(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；
【解】　(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
(3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)，其中a，b∈R.
【解】　(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)＝(a2＋b2)·(a2＋b2)＝a4＋2a2b2＋b4.
(1)两个复数代数形式乘法运算的一般方法
首先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
[跟踪训练1] (1)复数z＝(－1＋3i)(1－i)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：z＝(－1＋3i)·(1－i)＝2＋4i，所以复数z在复平面内对应的点为(2，4)，位于第一象限．
√
角度2　i的运算性质
　(对接教材例8)(1)复数z＝3i－4i2 024的模是(　　)
A．9 B．25
C．3 D．5
√
(2)计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i1 000(i为虚数单位)的结果是________．
【解析】　由复数的运算法则可知：i＋i2＋i3＋i4＝0，
1＋i＋i2＋i3＋…＋i1 000＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋…＋(i997＋i998＋i999＋i1 000)＝1＋0×250＝1.
1
利用i的幂值的周期性解题的技巧
(1)熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i.
(2)对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
[跟踪训练2] (1)已知复数z＝i5(1＋i)，则z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由题意可得z＝i5·(1＋i)＝i(1＋i)＝－1＋i，故z在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限，故选B.
(2)已知i为虚数单位，计算：i·i2·i3·i4＝________．
解析：原式＝i1＋2＋3＋4＝i10＝(i2)5＝(－1)5＝－1.
√
－1
√
√
√
√
√
数乘
沿原方向伸长(c＞1)或压缩(0＜c＜1)c倍
　(对接教材例12)在复平面内有一个正方形，其顶点按逆时针方向依次为O，A，B，C(O为坐标原点).已知点A(1，2)，求点C的坐标．
复数所对应向量的旋转或伸缩变换问题，按照复数乘法几何意义处理即可．
√
(2)已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则ab＝_____．
4
[跟踪训练5] (1)已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0(q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为(　　)
A．2i＋3 B．－2i－3
C．2i－3 D．－2i＋3
解析：根据题意，方程的另一个根为－6－(2i－3)＝－3－2i.故选B.
√
(2)若关于x的方程x2－kx＋3＝0有虚根，则实数k的取值范围是________________．
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
√
4－3i
4．已知a，b∈R，a＋3i－3＝(b＋i)i23(i为虚数单位)，则a＋b＝________．
解析：由a＋3i－3＝(b＋i)i23得a＋3i＝(b＋i)(－i)，即a＋3i＝1－bi，又a，b∈R，则a＝1，b＝－3，所以a＋b＝－2.
－2
1．已学习：复数的乘法与除法及运算律、i的运算性质、复数乘法几何意义、实系数一元二次方程的解法．
2．须贯通：复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；复数的除法运算要“分母实数化”，类似于实数运算的“分母有理化”；与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等把复数问题转化为实数问题求解，根与系数的关系仍然成立．
3．应注意：(1)在复数的运算中忽视i2＝－1造成运算失误；
(2)实系数一元二次方程的虚根成对出现，且互为共轭复数．