《创新课堂》6．3　球的表面积和体积 课件 高中数学必修二(北师大版)同步讲练测

(共35张PPT)
6．3　球的表面积和体积
学习目标
1.了解球的结构和性质．　2.掌握球的表面积与体积公式，并能应用公式解决问题．
3．会解决与球有关的截面、简单组合体问题．
新知学习 探究
PART
01
第一部分
思考1　球也是旋转体，它是由什么平面图形旋转得到的？
提示：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体．
思考2　用任一平面去截球，截面是什么？
提示：圆面．
经过球心　
不经过球心
唯一
切点
相等
一个圆锥
【即时练】
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)过球外一点有且只有一条切线与球相切．(　　)
(2)球面上的任意三点确定一个平面．(　　)
(3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．(　　)
×
√
√
2．过半径为1的球O外一点P作球O的切线，若OP＝2，则切点所在平面与所有切线所围成的几何体的侧面积为________．
(1)球的任意一个截面都是圆面．
(2)球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且过球心．
4πR2
√
(1)球的基本量是球的半径，由半径可以求出球的表面积和体积，反过来，由表面积和体积也可以求出球的半径，进而解决其他问题．
(2)球的表面积之比是半径比的平方，球的体积之比是半径比的立方．
[跟踪训练1] (1)已知三个球的体积之比为1∶27∶64，则它们的表面积之比为(　　)
A．1∶3∶4 B．1∶18∶48
C．1∶27∶64 D．1∶9∶16
√
(2)已知两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．
2
【解】　因为AB2＋BC2＝AC2，
所以△ABC是直角三角形，B＝90°.
因为球心O在截面△ABC上的投影O′为截面圆的圆心，即是Rt△ABC的外接圆的圆心，
所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示).
设O′C＝r，OC＝R，则球的半径为R，截面圆半径为r，
[跟踪训练2] 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为
49π cm2和400π cm2，求球的表面积．
解：当截面在球心的同侧时，
如图1所示为球的轴截面，
由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.
设球的半径为R，因为π·O2B2＝49π，所以O2B＝7 cm.
同理，得O1A＝20 cm.
设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，①
在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，②
联立①②可得x＝15，R＝25.
所以S球＝4πR2＝2 500π(cm2)，故球的表面积为 2 500π cm2.
当截面在球心的两侧时，如图2所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.
设球的半径为R，因为π·O2B2＝49π，
所以O2B＝7 cm.
因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20 cm.
设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，③
在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋72，④
联立③④可得x＝－15，不合题意，舍去．
综上所述，球的表面积为2 500π cm2.
√
(2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为________cm2.
【解析】　如图，设球的半径为R cm，则正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面圆的距离为(R－2)cm，所以42＋(R－2)2＝R2，解得R＝5，
所以球的表面积为S表面积＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2).
100π
处理与球有关的组合体问题时，一般需依据球和几何体的对称性，确定球心与几何体的特殊点，球的直径与几何体的体对角线间的关系，再依据题中数量关系将其转化为平面问题求解．
[跟踪训练3] 如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、
一个正四棱柱和一个球焊接而成的，球的半径为R.正四棱柱的底
面边长为2R，高为7R.正四棱台的上、下底面边长分别为4R和6R，斜高(即侧面梯形的高)为3R.则这种型号的奖杯的表面积为______________．(用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计)
168R2＋4πR2
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
1．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　)
A．R B．2R
C．3R D．4R
√
√
3．(教材P256习题6－6T2改编)若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的______倍，表面积变为原来的________倍．
8　
4
4．已知一个平面截一个球得到面积为3π的圆面，球心到这个圆面的距离等于球半径的一半，则该球的体积为________．
1．已学习：球的性质、球的表面积与体积、球的截面、球的简单组合体．
2．须贯通：利用球的性质解决球的表面积与体积问题．
3．应注意：球的表面积与体积公式记错而致误．