《创新课堂》培优3 折叠问题 课件 高中数学必修二(北师大版)同步讲练测
文档属性
| 名称 | 《创新课堂》培优3 折叠问题 课件 高中数学必修二(北师大版)同步讲练测 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 910.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
培优3 折叠问题
解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，首先找到折叠前后的不变量与变量，即找到哪些线、面的位置关系和哪些线段的长度没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．
解决此类问题的步骤为：第一步：确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量．第二步：在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面．第三步：利用判定定理或性质定理进行证明．
类型一 探究点线面的位置关系
√
√
对于A，假设存在某个位置的点P，使AC⊥平面PAB，由PA 平面PAB，则AC⊥PA，即在梯形ABCD中，AC⊥AD，显然不成立，故A错误；
对于B，如图2，因为AC的中点为E，PA＝PC，则PE⊥AC，又F为BC中点，所以AB∥EF，则异面直线PE与AB的夹角为∠PEF(或其补角)，又AB⊥AC，则EF⊥AC，所以∠PEF即为二面角P-AC-B，所以异面直线PE与AB的夹角的正弦值和二面角P-AC-B的正弦值相等，故B正确；
对于D，在梯形ABCD中，四边形AFCD为菱形，∠DCF＝60°，则FC＝FD＝2，翻折过程中，P点轨迹是以FD的中点为圆心，FD为直径的半圆弧(不包括D点和F点)，则FP类型二 判断平行与垂直
(1)求证：AM∥平面BEC；
(2)求证：BC⊥平面BDE；
(3)求CD与平面BEC的夹角的正弦值．
如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB的中点．将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．
类型三 探索性问题
(1)求证：DE⊥PC；
【解】 证明：因为四边形AECD为菱形，
所以AC⊥DE，即DE⊥PF，DE⊥CF，
又PF，CF 平面PFC，PF∩CF＝F，
所以DE⊥平面PFC，
又因为PC 平面PFC，所以DE⊥PC.
(2)试问二面角B-PC-F是否为90°，如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
【解】 二面角B-PC-F为90°，证明如下：
因为E为AB中点且四边形AECD为菱形，
所以BE＝CD，BE∥CD，
所以四边形BCDE为平行四边形，所以BC∥DE，
由(1)知，DE⊥平面PFC，
所以BC⊥平面PFC，
又BC 平面PBC，所以平面PFC⊥平面PBC，即二面角B-PC-F为90°.
(3)在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
【解】 存在满足条件的M，N，且分别为PD，BC中点，证明如下：
连接EN，PN，MF，CM.
由(2)知，四边形BCDE为平行四边形，
又F，N分别为DE，BC中点，所以EF＝CN，EF∥CN，
所以四边形EFCN为平行四边形，
所以CF∥EN，又EN 平面PEN，CF 平面PEN，所以CF∥平面PEN.
因为M，F分别为PD，DE中点．
所以MF为△PDE中位线，所以MF∥PE，
又PE 平面PEN，MF 平面PEN，所以MF∥平面PEN，又MF∩CF＝F，MF，CF 平面CFM，所以平面CFM∥平面PEN.
√
√
√
解析：因为PA⊥PE，假设PA⊥BE，又PE∩BE＝E，PE，BE 平面PBE，
所以PA⊥平面PBE，又PB 平面PBE，所以PA⊥PB.
在△PAB中，PA＝AB＝2，无法构成三角形，所以PA与BE不可能垂直，故A错误；
2．一副标准的三角板(如图1)，∠ABC为直角，∠A＝60°，∠DEF为直角，DE＝EF，BC＝DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥(如图2)，设M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，连接EN，MN，EM.
(1)求证：平面ABC⊥平面EMN；
证明：因为M是AC的中点，N是BC的中点，所以MN∥AB，
因为AB⊥BC，所以MN⊥BC，
因为BE＝EC，N是BC的中点，
所以EN⊥BC，
又MN∩EN＝N，MN，EN 平面EMN，
所以BC⊥平面EMN，又因为BC 平面ABC，所以平面ABC⊥平面EMN.
(2)设平面ABE∩平面MNE＝l，求证：l∥AB.
证明：由(1)知MN∥AB，AB 平面EMN, MN 平面EMN，所以AB∥平面MNE，
又AB 平面ABE，且平面ABE∩平面MNE＝l，所以l∥AB.
(1)求证：CD⊥平面P′AD；
解：证明：△P′AD是正三角形，有P′A＝AB＝2，
△P′AB中，P′A2＋AB2＝8＝P′B2，则AB⊥P′A，
正方形ABCD中，AB⊥AD，又P′A∩AD＝A，P′A，AD 平面P′AD，
于是AB⊥平面P′AD，而CD∥AB，
所以CD⊥平面P′AD.
(2)在线段P′D上是否存在一点Q，使得CQ∥平面BDT？若存在，指出点Q的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
解：存在，点Q为线段P′D的中点，使得CQ∥平面BDT.证明如下：
取P′T的中点N，连接CQ，NQ，CN，AC，AC∩BD＝O，连接OT，如图，
于是NQ∥TD，而TD 平面BDT，NQ 平面BDT，因此NQ∥平面BDT.
依题意，T为P′A上一点，且满足P′T＝2AT，则T为NA中点，
又O为AC中点，即有OT∥CN，
而OT 平面BDT，CN 平面BDT.
因此CN∥平面BDT.
又CN∩NQ＝N，CN，NQ 平面CQN，从而平面CQN∥平面BDT，
又CQ 平面CQN，则CQ∥平面BDT.
所以点Q为线段P′D的中点时，CQ∥平面BDT.
培优3 折叠问题
解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，首先找到折叠前后的不变量与变量，即找到哪些线、面的位置关系和哪些线段的长度没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．
解决此类问题的步骤为：第一步：确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量．第二步：在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面．第三步：利用判定定理或性质定理进行证明．
类型一 探究点线面的位置关系
√
√
对于A，假设存在某个位置的点P，使AC⊥平面PAB，由PA 平面PAB，则AC⊥PA，即在梯形ABCD中，AC⊥AD，显然不成立，故A错误；
对于B，如图2，因为AC的中点为E，PA＝PC，则PE⊥AC，又F为BC中点，所以AB∥EF，则异面直线PE与AB的夹角为∠PEF(或其补角)，又AB⊥AC，则EF⊥AC，所以∠PEF即为二面角P-AC-B，所以异面直线PE与AB的夹角的正弦值和二面角P-AC-B的正弦值相等，故B正确；
对于D，在梯形ABCD中，四边形AFCD为菱形，∠DCF＝60°，则FC＝FD＝2，翻折过程中，P点轨迹是以FD的中点为圆心，FD为直径的半圆弧(不包括D点和F点)，则FP
(1)求证：AM∥平面BEC；
(2)求证：BC⊥平面BDE；
(3)求CD与平面BEC的夹角的正弦值．
如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB的中点．将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．
类型三 探索性问题
(1)求证：DE⊥PC；
【解】 证明：因为四边形AECD为菱形，
所以AC⊥DE，即DE⊥PF，DE⊥CF，
又PF，CF 平面PFC，PF∩CF＝F，
所以DE⊥平面PFC，
又因为PC 平面PFC，所以DE⊥PC.
(2)试问二面角B-PC-F是否为90°，如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
【解】 二面角B-PC-F为90°，证明如下：
因为E为AB中点且四边形AECD为菱形，
所以BE＝CD，BE∥CD，
所以四边形BCDE为平行四边形，所以BC∥DE，
由(1)知，DE⊥平面PFC，
所以BC⊥平面PFC，
又BC 平面PBC，所以平面PFC⊥平面PBC，即二面角B-PC-F为90°.
(3)在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
【解】 存在满足条件的M，N，且分别为PD，BC中点，证明如下：
连接EN，PN，MF，CM.
由(2)知，四边形BCDE为平行四边形，
又F，N分别为DE，BC中点，所以EF＝CN，EF∥CN，
所以四边形EFCN为平行四边形，
所以CF∥EN，又EN 平面PEN，CF 平面PEN，所以CF∥平面PEN.
因为M，F分别为PD，DE中点．
所以MF为△PDE中位线，所以MF∥PE，
又PE 平面PEN，MF 平面PEN，所以MF∥平面PEN，又MF∩CF＝F，MF，CF 平面CFM，所以平面CFM∥平面PEN.
√
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解析：因为PA⊥PE，假设PA⊥BE，又PE∩BE＝E，PE，BE 平面PBE，
所以PA⊥平面PBE，又PB 平面PBE，所以PA⊥PB.
在△PAB中，PA＝AB＝2，无法构成三角形，所以PA与BE不可能垂直，故A错误；
2．一副标准的三角板(如图1)，∠ABC为直角，∠A＝60°，∠DEF为直角，DE＝EF，BC＝DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥(如图2)，设M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，连接EN，MN，EM.
(1)求证：平面ABC⊥平面EMN；
证明：因为M是AC的中点，N是BC的中点，所以MN∥AB，
因为AB⊥BC，所以MN⊥BC，
因为BE＝EC，N是BC的中点，
所以EN⊥BC，
又MN∩EN＝N，MN，EN 平面EMN，
所以BC⊥平面EMN，又因为BC 平面ABC，所以平面ABC⊥平面EMN.
(2)设平面ABE∩平面MNE＝l，求证：l∥AB.
证明：由(1)知MN∥AB，AB 平面EMN, MN 平面EMN，所以AB∥平面MNE，
又AB 平面ABE，且平面ABE∩平面MNE＝l，所以l∥AB.
(1)求证：CD⊥平面P′AD；
解：证明：△P′AD是正三角形，有P′A＝AB＝2，
△P′AB中，P′A2＋AB2＝8＝P′B2，则AB⊥P′A，
正方形ABCD中，AB⊥AD，又P′A∩AD＝A，P′A，AD 平面P′AD，
于是AB⊥平面P′AD，而CD∥AB，
所以CD⊥平面P′AD.
(2)在线段P′D上是否存在一点Q，使得CQ∥平面BDT？若存在，指出点Q的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
解：存在，点Q为线段P′D的中点，使得CQ∥平面BDT.证明如下：
取P′T的中点N，连接CQ，NQ，CN，AC，AC∩BD＝O，连接OT，如图，
于是NQ∥TD，而TD 平面BDT，NQ 平面BDT，因此NQ∥平面BDT.
依题意，T为P′A上一点，且满足P′T＝2AT，则T为NA中点，
又O为AC中点，即有OT∥CN，
而OT 平面BDT，CN 平面BDT.
因此CN∥平面BDT.
又CN∩NQ＝N，CN，NQ 平面CQN，从而平面CQN∥平面BDT，
又CQ 平面CQN，则CQ∥平面BDT.
所以点Q为线段P′D的中点时，CQ∥平面BDT.
同课章节目录
- 第一章 三角函数
- 1 周期变化
- 2 任意角
- 3 弧度制
- 4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
- 5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
- 6 函数y=Asin(wx+φ)性质与图象
- 7 正切函数
- 8 三角函数的简单应用
- 第二章 平面向量及其应用
- 1 从位移、速度、力到向量
- 2 从位移的合成到向量的加减法
- 3 从速度的倍数到向量的数乘
- 4 平面向量基本定理及坐标表示
- 5 从力的做功到向量的数量积
- 6 平面向量的应用
- 第三章 数学建模活动（二）
- 1 建筑物高度的测量
- 2 测量和自选建模作业的汇报交流
- 第四章 三角恒等变换
- 1 同角三角函数的基本关系
- 2 两角和与差的三角函数公式
- 3 二倍角的三角函数公式
- 第五章 复数
- 1 复数的概念及其几何意义
- 2 复数的四则运算
- 3 复数的三角表示
- 第六章 立体几何初步
- 1 基本立体图形
- 2 直观图
- 3 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 4 平行关系
- 5 垂直关系
- 6 简单几何体的再认识