《创新课堂》章末复习提升(五) 课件 高中数学必修二(北师大版)同步讲练测

(共66张PPT)
章末复习提升(五)
知识体系 构建
PART
01
第一部分
核心要点 整合
PART
02
第二部分
要点一　空间几何体的结构特征
对空间几何体的判断，除了根据定义由几何体的结构特征从棱和面两个角度考虑，还可以采用举反例的方法进行排除．
根据定义判断棱柱的结构特征需“看面”(多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形)和“看线”( 相邻两个四边形的公共边是否互相平行)；根据定义判断棱锥、棱台的结构特征需“定底面”和“看侧棱”(相交或延长后交于一点).
训练1　一个棱柱是正四棱柱的充要条件是(　　)
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱
√
解析：若底面是正方形，有相对的两个侧面是矩形，另外两个侧面是不为矩形的平行四边形，则棱柱为斜棱柱，故A不满足要求；
若底面是正方形，有相对的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面不垂直于底面，则棱柱为斜棱柱，故B不满足要求；
若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则底面为正方形，侧棱与底面垂直，此时棱柱为正四棱柱，反之也成立，故C满足要求；
若每个侧面都是全等矩形的四棱柱，其底面可能不是正方形，故D不满足要求．故选C.
训练2　下列命题中正确的是(　　)
A．圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体
B．圆台的轴截面一定是等腰梯形
C．以直角三角形一边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体是圆锥
D．用平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形
√
解析：对于A，圆柱是将矩形以一边为轴旋转一周所得的几何体，故A错误；
对于B，圆台的轴截面一定是等腰梯形，故B正确；
对于C，以直角三角形一直角边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体才是圆锥，故C错误；
对于D，用平行于母线的平面截圆锥，截面不是等腰三角形(平面与圆锥侧面的交线为曲线)，故D错误．故选B.
要点二　空间中的平行关系
在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．如图所示是平行关系相互转化的示意图．
训练3　(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的是(　　)
A．直线A1B B．直线BB1
C．平面A1DC1 D．平面A1BC1
√
√
解析：如图，由A1B∥D1C，且A1B 平面ACD1，D1C 平面ACD1，故A1B∥平面ACD1，故A正确；
BB1∥DD1，DD1与平面ACD1相交，故直线BB1与平面ACD1相交，故B错误；
由图，显然平面A1DC1与平面ACD1相交，故C错误；
由A1C1∥AC，且A1C1 平面ACD1，AC 平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，又因为A1B∥平面ACD1，A1B∩A1C1＝A1，A1B，A1C1 平面A1BC1，故平面A1BC1∥平面ACD1，故D正确．故选AD.
2
训练6　已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD的棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证：
(1)MN∥平面PAD；
证明：如图，
取DC的中点Q，连接MQ，NQ.
因为NQ是△PDC的中位线，
所以NQ∥PD.
因为NQ 平面PAD，PD 平面PAD，
所以NQ∥平面PAD.
因为M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，
所以MQ∥AD.
因为MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
所以MQ∥平面PAD.
因为MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ 平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PAD.
因为MN 平面MNQ，所以MN∥平面PAD.
(2)MN∥PE.
证明：因为平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，
所以MN∥PE.
训练6　已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD的棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证：
要点三　空间中的垂直关系
1．空间垂直关系的判定方法
(1)判定线线垂直的方法有：
①计算夹角为90°(包括平面角和异面直线的夹角)；
②线面垂直的性质(若a⊥α，b α，则a⊥b)；
③面面垂直的性质：若两平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面内的所有直线．
(2)判定线面垂直的方法有：
①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；
②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b α，c α，b∩c＝M a⊥α)；
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α a⊥α)；
④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a β，a⊥l a⊥α)；
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；
⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ l⊥γ).
(3)面面垂直的判定方法有：
①根据定义(作两平面构成的二面角的平面角，计算其为90°)；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β).
2．线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化
训练7　把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后的△ABC是(　　)
A．等边三角形 　　 B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形 　　 D．钝角三角形
√
训练8　(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是(　　)
A．A1C1⊥BD
B．B1C与BD的夹角为60°
C．二面角A1-BC-D的平面角为45°
D．AC1与平面ABCD的夹角为45°
√
√
√
解析：连接B1D1，A1D，AC(图略).因为A1C1⊥B1D1，且B1D1∥BD，所以A1C1⊥BD，所以A正确；
因为B1C∥A1D，所以B1C与BD的夹角即为∠A1DB＝60°，所以B正确；
∠A1BA即为二面角A1-BC-D的平面角，∠A1BA＝45°，所以C正确；
因为CC1⊥平面ABCD，所以∠C1AC为AC1与平面ABCD的夹角，因为CC1≠AC，所以∠C1AC≠45°，所以D错误．故选ABC.
训练9　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是__________．
线段B1C
解析：如图，连接AC，AB1，B1C，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，CB1∩AC＝C，CB1，AC 平面B1AC，所以BD1⊥平面B1AC，又知点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，
根据平面的基本性质可得，点P的轨迹为平面B1AC与平面BCC1B1的交线段，即为线段B1C.
训练10　如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．
(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；
解：证明：因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
又D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1.
因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
所以AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B.
要点四　空间角的求法
1．求角度问题，无论哪种情况最终都归结到两条相交直线的夹角的问题上，其解题步骤是：
(1)找出这个角；(2)证该角符合题意；(3)构造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角．
2．空间角包括以下三类：
(1)求两条异面直线的夹角，关键是选取合适的点引两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线的夹角．
(2)求直线与平面的夹角的关键是确定斜线在平面上的投影．
(3)求二面角的关键是作出二面角的平面角，而作二面角的平面角时，首先要确定二面角的棱，然后结合题设构造二面角的平面角．
√
训练12　已知平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β的夹角分别为45°，30°，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′＝(　　)
A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．4∶3
√
训练14　如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′的夹角的大小；
(2)AO与平面ABCD的夹角的正切值；
解：如图，作OE⊥BC于点E，连接AE.
因为平面BCC′B′⊥平面ABCD，平面BCC′B′∩平面ABCD＝BC，OE 平面BCC′B′，
所以OE⊥平面ABCD，
所以∠OAE为AO与平面ABCD的夹角．
(3)二面角B-AO-C的大小．
解：由(1)可知OC⊥平面ABO.
又因为OC 平面AOC，所以平面ABO⊥平面AOC.
即二面角B-AO-C的大小为90°.
要点五　空间几何体的表面积与体积
求空间几何体的表面积、体积，首先要准确确定几何体的基本量，如球的半径，几何体的高、棱长等，其次是准确代入相关的公式计算．
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意拼接部分的处理．
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(3)复杂几何体的体积常用等体积法、割补法求解．
√
√
训练18　如图所示，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计．已知圆柱的底面周长为24π cm，高为30 cm，圆锥的母线长为20 cm.
(1)求这种“笼具”的体积；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，已知每平方米该材料的造价为8元，则共需多少元？(π取3.14，结果保留两位小数)
要点六　空间中求距离问题
求立体图形中的最短距离问题，主要是通过展开几何体为平面图形，通过两点间线段最短来求解；求空间中点到平面的距离大致有两种方法，一是根据定义用相关线段表示出所求距离，然后根据题目条件和几何体的结构特征进行计算得到结果，二是利用等体积法，通过变更三棱锥的顶点“算两次”体积建立方程求解．
√
(1)证明：CE∥平面BMF；
解：证明：连接AE交BF于O，连接OM.
由E，F分别是BD，AD中点，
所以O为△ABD的重心，则AO＝2OE，
又AM＝2MC，
所以在△ACE中，有OM∥CE，又OM 平面BMF，CE 平面BMF，所以CE∥平面BMF.
(2)求点D到平面CEF的距离．
训练21　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E，F分别是PC，AD的中点．
(1)判断直线DE与平面PFB的位置关系；
(2)若PB与平面ABCD的夹角为45°，AB＝2，求点E到平面PFB的距离．