《创新课堂》章末综合检测(五) 课件 高中数学必修二(北师大版)同步讲练测

(共57张PPT)
章末综合检测(五)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是(　　)
A．直线与平面相交
B．直线与平面平行
C．直线上至少有一个点在平面内
D．直线上有无数多个点都在平面外
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解析：若一直线上有一点在已知平面外，则直线与平面相交或平行，A，B错误；
当直线与平面平行时，直线上所有点都在平面外，C错误；
无论直线与平面相交还是平行，都有无数多个点在平面外，D正确．故选D.
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3.米斗是我国古代官仓、粮栈、米行必备的用具，是称量粮食的量器．如图是一种米斗，可盛米10升(1升＝1 000 cm3)，已知盛米部分的形状为正四棱台，且下口宽18 cm，上口宽24 cm，则高约为(　　)
A．18.8 cm B．20.4 cm
C．22.5 cm D．24.2 cm
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5.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6 cm，高8 cm(不含杯脚)，已知水的高度是4 cm，现往杯子中放入一种直径为1 cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变．如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠(　　)
A．98颗 B．106颗
C．120颗 D．126颗
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6．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面夹角的大小为(　　)
A．20° B．40°
C．50° D．90°
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解析：示意图如图所示，⊙O所在平面为地球赤道所在平面，⊙O1所在平面为点A处的日晷的晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的平面垂直，则∠CAB＝∠OAO1＝40°，故晷针AC与点A处的水平面夹角的大小为40°.故选B.
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7．已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为60°，则球的表面积与圆台的侧面积之比为(　　)
A．2∶3 B．3∶4
C．7∶8 D．6∶13
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10.如图，在正四棱锥S-ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN(不包含端点)上运动时，下列四个结论中恒成立的为(　　)
A.EP⊥AC B．EP∥BD
C．EP∥平面SBD D．EP⊥平面SAC
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解析：对于A项，如图所示，设AC，BD相交于点O，连接EM，EN，SO.
由正四棱锥S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，SO⊥AC.
因为SO∩BD＝O，SO，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD.
因为E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，所以EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，所以平面EMN∥平面SBD，所以AC⊥平面EMN，因为EP 平面EMN，所以AC⊥EP，故A正确；
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对于B项，因为EM∥BD，EM 平面EMN，BD 平面EMN，所以BD∥平面EMN，又EM∩EP＝E，所以EP∥BD不成立，故B不正确；
对于C项，因为平面EMN∥平面SBD，EP 平面EMN，所以EP∥平面SBD，故C正确；
对于D项，由题易得EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直，故D不正确．故选AC.
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13．设PA垂直于Rt△ABC所在的平面α，∠BAC＝90°，PB，PC与平面α夹角的大小分别为45°和30°，PA＝2，则点P到BC的距离是________．
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14．在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，若底面边长为1，高为3，则
BC到平面ADC1B1的距离为________．
解析：在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，取AD，BC，B1C1的中点O，M，N，连接MN，OM，ON，如图，

因为BC∥AD，BC 平面ADC1B1，AD 平面ADC1B1，所以BC∥平面ADC1B1.因为MN∥BB1，BB1⊥平面ABCDEF，所以MN⊥平面ABCDEF，又AD 平面ABCDEF，则MN⊥AD，又因为OM⊥AD，OM∩MN＝M，OM，MN 平面OMN，所以AD⊥平面OMN，又AD 平面ADC1B1，因此平面OMN⊥平面ADC1B1.
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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，且PB＝PD.
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(1)求证：BD⊥PC；
证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又因为PB＝PD，O为BD的中点，所以BD⊥PO.
因为PO∩AC＝O，PO，AC 平面PAC，所以BD⊥平面PAC，
因为PC 平面PAC，所以BD⊥PC.
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(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.
证明：因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.
因为BC 平面PAD，AD 平面PAD.
所以BC∥平面PAD.
又因为BC 平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为l.所以BC∥l.
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(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；
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(1)求证：AF∥平面BDE；
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(2)求二面角C-AB-E的余弦值．
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18．(本小题满分17分)如图，点C在直径为AB的半圆O上，CD垂直于半圆O所在的平面，BC∥平面ADE，且CD∥BE.
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(1)证明：平面ADE⊥平面ACD；
解：证明：因为点C在半圆O上，AB为直径，
则BC⊥AC，因为CD⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以CD⊥BC，又AC∩CD＝C，AC，CD 平面ACD，
则BC⊥平面ACD.由CD∥BE知点B，C，D，E共面，
又BC∥平面ADE，平面BCDE∩平面ADE＝DE，BC 平面BCDE，
因此BC∥DE，即有DE⊥平面ACD，又DE 平面ADE，
所以平面ADE⊥平面ACD.
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解：由(1)知，CD⊥AC，因为CD∥BE，则∠ADC为异面直线AD与BE的夹角，即∠ADC＝45°，则CD＝AC＝1.
因为CD∥BE，BC∥DE，所以四边形BCDE为平行四边形，则有BE＝CD＝1.
因为CD⊥平面ABC，则有BE⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，则BE⊥AC，
又BC⊥AC，BE∩BC＝B，BE，BC 平面BCDE，所以AC⊥平面BCDE，
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19．(本小题满分17分)已知点P是边长为2的菱形 ABCD 所在平面外一点，且点P在底面ABCD内的投影是AC与BD的交点O，已知∠BAD＝60°，△PBD是等边三角形．
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(1)求证：AC⊥PD；
解：证明：因为点P在底面ABCD内的投影是AC与BD的交点O，
所以PO⊥平面ABCD，
因为AC 平面ABCD，
所以PO⊥AC，
因为四边形ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
因为PO∩BD＝O，PO，BD 平面PBD，
所以AC⊥平面PBD.
因为PD 平面PBD，所以AC⊥PD.
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(2)求点D到平面PBC的距离；
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(3)若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC的夹角最大？求出最大角的正弦值，并说明此时点E所在的位置．
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