《创新课堂》3．2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(二) 课件 高中数学必修二(北师大版)同步讲练测

(共35张PPT)
3．2　刻画空间点、线、
面位置关系的公理(二)
学习目标
1.了解基本事实4和等角定理．　2.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行、相交、异面的位置关系．　3.会求异面直线的夹角．
新知学习 探究
PART
01
第一部分
立体交叉桥，简称立交桥．随着世界各国经济的发展和高速公路的出现，现代化的城市道路交通开始朝立体化发展．现在的立交桥已由最初的上、下两层分开式，向多层次、多方向的复杂立体交叉方式发展，目的是大力提高交叉路口的车流速度，并确保交通安全．
思考　若把立交桥抽象成直线，它们在不同的平面内，一条南北走向和一条东西走向(不同层)的立交桥所在直线的夹角如何刻画？
提示：通过平移将异面直线转化成相交直线，利用相交直线的夹角来刻画异面直线的夹角．
平行
【即时练】
1．在空间四边形ABCD中，AC＝BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，四边形EFGH的形状是(　　)
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．正方形
√
2．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，与AD平行的棱有__________________．(填写所有符合条件的棱)
A′D′，B′C′，BC
解析：由图可知与AD平行的棱有A′D′，B′C′，BC.
基本事实4说明把平行线的传递性推广到空间也能成立，这个基本事实是判断两条直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线．
1．异面直线的概念
(1)定义：不同在____________平面内(不共面)的两条直线．
任何一个
(2)异面直线的画法(平面衬托法)
如图1，图2所示，为了表示异面直线a，b不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托．

(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交．
2．空间两条直线的位置关系
(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有(　　)
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线BN与MB1是异面直线
C．AM与BN平行
D．直线A1M与BN共面
√
√
【解析】　根据异面直线的定义可以判断直线AM与CC1、直线BN与MB1、直线AM与BN都是异面直线，因此选项A，C不正确，选项B正确．
连接MN，D1C，A1B(图略)，因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C，
由正方体的性质可知A1D1∥BC，A1D1＝BC，
所以四边形A1D1CB是平行四边形，
因此D1C∥A1B，所以MN∥A1B，
因此M，N，A1，B四点共面，
所以直线A1M与BN共面，因此选项D正确．
判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
(2)排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交).　
(3)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．如图，A α，B∈α，l α，B l 直线AB与l是异面直线．
[跟踪训练1] (1)已知a，b是空间中两条不同的直线，则“a，b是异面直线”是“a，b没有公共点”的(　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若a，b是空间中两条不同的直线，且a，b是异面直线，则a，b没有公共点；若a，b是空间中两条不同的直线，且a，b没有公共点，则a，b是异面直线或a∥b，故“a，b是异面直线”是“a，b没有公共点”的充分不必要条件．
√
(2)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P是线段A1C1上的动点(含端点)，则下列直线中，始终与直线BP异面的是(　　)
A.DD1 B．B1C C．D1C D．AC
解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1，当点P是A1C1与B1D1的交点时，BP 平面BDD1B1，DD1 平面BDD1B1，DD1与BP共面，A错误；
当点P与C1重合时，BP与B1C相交，B错误；
当点P与A1重合时，BP∥D1C，C错误；
因为AC 平面ABCD，B AC，B∈平面ABCD，P 平面ABCD，所以BP与AC是异面直线，D正确．
√
相等或互补
【即时练】
1．若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′，且OA与O′A′的方向相同，则OB与O′B′(　　)
A．一定平行且方向相同
B．一定平行且方向相反
C．一定不平行
D．不一定平行
√
解析：如图，若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′，且OA与O′A′的方向相同，OB与O′B′不一定平行．故选D.
2．已知空间两个角∠ABC和∠A′B′C′，若AB∥A′B′，BC∥B′C′，∠ABC＝40°，则∠A′B′C′的大小是________________．
解析：空间两个角∠ABC和∠A′B′C′，因为AB∥A′B′，BC∥B′C′且∠ABC＝40°，则∠A′B′C′＝40°或∠A′B′C′＝180°－40°＝140°.
40°或140°
(1)空间等角定理实质上是由如下两个结论合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补．
(2)空间等角定理表明把空间中的一个角平移后角的大小不变．
(3)由空间等角定理可得，如果两条相交直线与另两条相交直线对应平行，那么这两组直线所成的角相等．
90°
0°<θ≤90°
90°
(对接教材例2)如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG的夹角；
【解】　因为CG∥BF，
所以∠EBF是异面直线BE与CG的夹角．
在Rt△EFB中，EF＝FB，所以∠EBF＝45°，
所以BE与CG的夹角为45°.
(2)FO与BD的夹角．
【解】　如图，连接FH，
因为FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
所以FB＝HD，FB∥HD，
所以四边形FBDH是平行四边形，所以BD∥FH，
所以∠HFO或其补角是FO与BD的夹角，
连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，所以∠HFO＝30°，
所以FO与BD的夹角为30°.
求两异面直线夹角的三个步骤
(1)作(或找)：根据异面直线夹角的定义，用平移法作(或找)出异面直线的夹角．
(2)证：证明作(或找)出的角就是要求的角．
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．
可用“一作(或找)二证三计算”来概括．同时注意异面直线夹角的范围是0°<θ≤90°.
[跟踪训练2] 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD的夹角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB的夹角的大小．
因为AB与CD的夹角为30°，
所以∠EGF＝30°或∠EGF＝150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB夹角的大小为15°或75°.
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
1.如图，把一张长方形的纸对折两次，然后打开，得到三条折痕a，b，c，则下列结论正确的是(　　)
A.a∥b∥c B．a∥b，且a与c相交
C．b∥c，且a与c相交 D．a，b，c两两相交
解析：因为长方形的对边都是互相平行的，连续左右对折两次后，长方形上得到三条折痕a，b，c，这三条折痕中每两条折痕又互相平行，所以三条折痕互相平行，故选A.
√
2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是(　　)
A．异面 B．相交
C．平行 D．异面或相交
解析：如图所示，a，b是两条异面直线．AB，AC都与a，b相交，而AB，AC相交．AB，DE也都与a，b相交，而AB，DE异面．故分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是异面或相交．故选D.
√
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，
BB1，DD1的中点，则∠ED1F________∠CGB.(填“>”“<”或“＝”)
解析：依题意得EC∥D1G且EC＝D1G，所以四边形ECGD1为平行四边形，所以GC∥D1E，同理可得GB∥D1F，由题图知，两平行线方向均相同，所以∠ED1F＝∠CGB.
＝
60°
1．已学习：基本事实4、空间两直线的位置关系、等角定理、异面直线的夹角．
2．须贯通：利用平行转化求异面直线的夹角．
3．应注意：(1)容易忽视异面直线夹角θ的范围是0°<θ≤90°；(2)等角定理应用时往往忽视两角互补的情况．