《创新课堂》4．2　平面与平面平行 课件 高中数学必修二(北师大版)同步讲练测

(共36张PPT)
4．2　平面与平面平行
学习目标
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理．　2.掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题．
新知学习 探究
PART
01
第一部分
上海世界博览会的中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．
思考　如图，展馆的每两层所在的平面有什么位置关系？
提示：平行(每两层所在平面没有公共点).
交线
α∥β
α∩γ＝a
β∩γ＝b
(对接教材例5)如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与平面α，β相交于点A，B和C，D.
(1)求证：AC∥BD；
【解】　证明：因为PB∩PD＝P，
所以直线PB和PD确定一个平面γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.
又α∥β，所以AC∥BD.
(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．
【变式探究】
(综合变式)在本例中，若点P在平面α与平面β之间，在第(2)问的条件下求CD的长．
平面与平面平行的性质定理的解题步骤
[跟踪训练1] 如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1.点E为棱A1D1的中点，平面CB1E交棱DD1于点F.
(1)求证：B1C∥EF；
解：证明：由长方体的性质知，平面BCC1B1∥平面ADD1A1，又平面CB1E∩平面BCC1B1＝B1C，平面CB1E∩平面ADD1A1＝EF，由平面与平面平行的性质定理可知，B1C∥EF.
(2)确定点F在棱DD1上的位置，并求EF的长．
相交直线　
a α
b α
a∩b＝A
a∥β
b∥β
【证明】　由BD∥B1D1，BD 平面EB1D1，B1D1 平面EB1D1，得BD∥平面EB1D1.
如图，取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，
AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.
易得GF∥AD，GF＝AD，所以四边形ADFG 是平行四边形，所以AG∥DF，
所以B1E∥DF，又DF 平面EB1D1，B1E 平面EB1D1，所以DF∥平面EB1D1.
又因为BD∩DF＝D，BD，DF 平面FBD，所以平面EB1D1∥平面FBD.
(对接教材例6)如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.
连接AM，FM，则AE綊D1M，
从而四边形AMD1E是平行四边形，所以D1E∥AM.
同理，FM綊CD，又因为AB綊CD，所以FM綊AB，
从而四边形FMAB是平行四边形，所以AM∥BF，即有D1E∥BF.
又BF 平面FBD，D1E 平面FBD，
所以D1E∥平面FBD.
又B1B綊D1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形，故B1D1∥BD，
又BD 平面FBD，B1D1 平面FBD，从而B1D1∥平面FBD，
又D1E∩B1D1＝D1，D1E，B1D1 平面EB1D1，所以平面EB1D1∥平面FBD.
(1)利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤

(2)判断两平面平行的基本方法
①定义法：两个平面没有公共点．
②转化法：转化为线线平行，平面α内的两条相交直线分别与平面β内的两条相交直线平行，则α∥β.
③利用平面平行的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
[跟踪训练2] 如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，CD∥AB, 求证：平面PAB∥平面EFG.
证明：因为E，G分别是PC，BC的中点，
所以EG∥PB，
又因为EG 平面PAB，PB 平面PAB，所以EG∥平面PAB，
因为E，F分别是PC，PD的中点，
所以EF∥CD，
又因为AB∥CD，所以EF∥AB，
因为EF 平面PAB，AB 平面PAB，
所以EF∥平面PAB，
又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
所以平面PAB∥平面EFG.
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．
(1)证明直线与平面平行，除了定义法、判定定理法以外，还可以用两平面平行的性质，也就是说为了证明直线与平面平行，也可以先证明两平面平行，再由两平面平行的性质得到线面平行．
(2)空间中线线、线面、面面平行关系的转化如下：
[跟踪训练3] 如图1，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AB＝2，BC＝3，AD＝4，线段AD的垂直平分线与AD交于点E，与BC交于点F，现将四边形CDEF沿EF折起，使C，D分别到点G，H的位置，得到几何体ABFEHG，如图2所示．判断线段EH上是否存在一点P，使得平面PAF∥平面BGH，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
解：存在．当点P为线段EH的中点时，平面PAF∥平面BGH.
证明如下：由题易知EH＝2，GF＝1，EH∥GF.
因为点P为线段EH的中点，
所以HP＝GF＝1，HP∥GF，
所以四边形HPFG是平行四边形，
所以HG∥PF，
因为PF 平面PAF，HG 平面PAF，
所以HG∥平面PAF.
连接PG(图略).因为PE∥GF，PE＝GF＝1，
所以四边形PEFG是平行四边形，
所以PG∥EF，且PG＝EF，
又EF∥AB，EF＝AB，
所以PG∥AB，PG＝AB，
所以四边形ABGP是平行四边形，
所以PA∥BG.
因为PA 平面PAF，BG 平面PAF，
所以BG∥平面PAF.
又HG，BG 平面BGH，HG∩BG＝G，
所以平面PAF∥平面BGH.
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
1．在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是(　　)
A．α，β都平行于直线a
B．α内存在不共线的三点到β的距离相等
C．l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β
D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
√
解析：当α∩β＝l，l∥a，a α，且a β时，满足α，β都平行于直线a，不能推出α∥β，故A错误；
当α∩β＝b，且在α内直线b一侧有两点，另一侧有一点，三点到β的距离相等时，不能推出α∥β，故B错误；
当l与m平行时，不能推出α∥β，故C错误；
因为l∥α，m∥α，所以在α内有两条直线l′，m′，使得l′∥l，m′∥m.因为l与m异面，则l′与m′相交．又l∥β，m∥β，则l′∥β，m′∥β，所以α∥β，故选D.
2．(教材P235T3改编)在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面互相平行的是(　　)
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
√
解析：如图，因为EG∥E1G1，EG 平面E1FG1，E1G1 平面E1FG1，所以EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，H1E，EG 平面EGH1，所以平面E1FG1∥平面EGH1.易知B，C，D均不正确．
解析：因为AF∥EC1，所以A，F，E，C1四点共面，因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABB1A1∩平面AFC1E＝AE，平面CDD1C1∩平面AFC1E＝C1F，
所以AE∥C1F，又因为AF∥EC1，
所以四边形AEC1F是平行四边形．
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F在DD1上，点E在BB1上，且AF∥EC1，则四边形AEC1F的形状是______________．
平行四边形
4.如图所示，在棱锥A-BCD中，截面EFG平行于底面BCD，且AE∶EB＝1∶2，若△EFG的周长是9，则△BCD的周长为________．
27
1．已学面与平面平行的性质定理、平面与平面平行的判定定理．
2．须贯通：应用判定定理，只要找出一个平面内两条相交直线分别与另一个平面平行即可；应用性质定理，一般是找到或作出与两个平面相交的辅助面，两个平面的交线必定平行．
3．应注意：判定平面与平面平行的条件是否充分．