《创新课堂》8．1.2　向量数量积的运算律 课件 高中数学必修三(人教B版)同步讲练测

(共39张PPT)
8．1.2　向量数量积的运算律
学习目标
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式．　2.会利用向量的数量积证明垂直，求向量的夹角、模(长度)等．
新知学习 探究
PART
01
第一部分
通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向量的数乘运算满足结合律λ(μ a)＝(λμ)a，分配律(λ＋μ)a＝λa＋μ a(λ，μ∈R)，λ(a＋b)＝λa＋λb.
思考　向量的数量积是否也满足交换律、数乘结合律及对加法的分配律？
提示：向量的数量积满足交换律、数乘结合律及对加法的分配律．
2.向量数量积的常用结论
(1)(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；
(2)a2－b2＝(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；
(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)；
(4)a2＋b2＝0 a＝b＝0.
(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则(2a－b)·(a＋3b)＝________；
－34
22
向量数量积运算的两个关键点
(1)含向量线性运算的数量积求解：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题；
(2)含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解．　
[跟踪训练1] (1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×1－(－1)＝3.
√
－7
√
√
√
求向量夹角的基本步骤
√
√
【变式探究】
(条件变式)本例中将“(x a＋b)⊥b”改为“x a＋b与b的夹角为锐角”，其余条件不变，求实数x的取值范围．
解：设|b|＝4t(t>0)，则|a|＝3t，
则(x a＋b)·b＝x a·b＋|b|2
＝4t2(x＋4)>0，解得x>－4，若xa＋b＝mb，m>0，xa＝(m－1)b，所以m＝1，x＝0.
此时实数xa＋b与b同向，不符合题意．
所以实数x的取值范围为(－4，0)∪(0，＋∞).
向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关题目的依据是a⊥b a·b＝0，利用数量积的运算代入，结合向量的模、夹角相关的知识解题．　
[跟踪训练3] 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝m a－2b.求实数m为何值时，c⊥d.
利用向量的数量积运算可以解决与长度、垂直、平行等有关的几何问题，解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中所涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，通过向量的数量积求解．　
[跟踪训练4] 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，
BC的中点，求证：AF⊥DE.
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
1．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.
√
√
√
5．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，|a－2b|＝2|a＋b|，则a与b的夹角θ＝____________；a在 a＋b上的投影的数量为________．
1．已学习：向量数量积的运算律、求向量的模和夹角、向量垂直及向量在几何中的应用．
2．须贯通：求向量的数量积要灵活应用其运算律；求向量的模时，则要灵活应用模的计算公式；用向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的方法．向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的方法．
3．应注意：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．