《创新课堂》8．1.3　向量数量积的坐标运算 课件 高中数学必修三(人教B版)同步讲练测

(共40张PPT)
8．1.3　向量数量积的坐标运算
学习目标
1.理解向量数量积坐标表示的推导过程．　2.掌握向量数量积的坐标表示及运算．
3．能根据两向量的坐标解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．
新知学习 探究
PART
01
第一部分
通过前面的学习，我们知道，已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，我们可以求出a＋b，a－b以及λa(λ≠0)的坐标．
思考　如何用a，b的坐标表示a·b
提示：a·b＝x1x2＋y1y2.
条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
坐标表示 a·b＝____________
文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
x1x2＋y1y2
(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　)
A．10 B．－10
C．3 D．－3
【解析】　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
√
(2)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
【解析】　由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4.
√
向量数量积运算的途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件进行计算．　
[跟踪训练1] (1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(　　)
A．(－15，12) B．0
C．－3 D．－11
解析：依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
√
√
(1)已知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，则|a－2b|＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
√
√
[跟踪训练2] (1)已知A，B，C是平面直角坐标系上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
√
(2)已知向量a＝(x，y)，b＝(－1，2)，且a＋b＝(1，3)，则|a－2b|＝________．
5
x1x2＋y1y2＝0
(1，1)
[跟踪训练3] (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)
A．－6 B．－5
C．5 D．6
√
(2)已知向量a＝(－1，1)，b＝(m，1)，若a⊥(2a－b)，则a与b夹角的余弦值为________．
四　向量数量积的坐标运算在平面几何中的应用
　(对接教材例5)已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值．
用向量方法解决平面几何问题的步骤
[跟踪训练4] 已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
[跟踪训练4] 已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(2)AP＝AB.
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，4)，则a·(a＋b)＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：a·(a＋b)＝(1，－1)·(3，3)＝3－3＝0.
√
2．已知向量a＝(－4，3)，b＝(5，6)，则3|a|2－4a·b＝(　　)
A．23 B．57
C．63 D．83
解析：3|a|2－4a·b＝3×[(－4)2＋32]－4×(－4×5＋3×6)＝83.故选D.
√
√
5．已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，m)，若(2a－b)⊥a，则m＝________．
解析：已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，m)，所以2a－b＝(－3，6－m).由(2a－b)⊥a，得(2a－b)·a＝(－3，6－m)·(－1，3)＝21－3m＝0，所以m＝7.
7
1．已学面向量数量积的坐标表示、平面向量的模与夹角(垂直)问题．
2．须贯通：应用平面向量数量积的坐标形式可以解决向量间的垂直、夹角及模长等几何问题，体现了转化与化归、数形结合的思想方法．
3．应注意：(1)易混淆平面向量平行与垂直的坐标形式；
(2)在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况．