沪科版数学七年级下册8.3完全平方公式及平方差公式分层练习
一、基础夯实
1．（2025七下·浙江期中）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、原式=-(a-3)(a-3)，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
B、原式=(3-a)(3+a)，用平方差公式进行计算，故此选项符合题意；
C、原式=(3-a)(3-a)，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
D、原式=-(a+3)(a+3)，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式的结构进行分析判断.
2．（2024七下·栾城期末）分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有( )
A．一组 B．两组 C．三组 D．四组
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：图，整体长方形的长为，宽为，因此面积为，
整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为++，
所以有：，因此图符合题意；
图，整体长方形的长为，宽为，因此面积为，
整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为，
所以有：，因此图符合题意；
图，整体正方形的边长为，因此面积为，
整体正方形由两个正方形与两个长方形构成，这两个正方形与两个长方形的面积和为，
所以有：，因此图符合题意；
图，整体正方形的边长为，因此面积为，
整体正方形由两个正方形与两个长方形构成， 其中较大的正方形的边长为，因此面积为，较小正方形的边长为，因此面积为，另外两个长方形的长为，宽为，则面积为，这两个正方形与两个长方形的面积和为
所以有，
即，因此图4符合题意，
综上所述，四组均符合题意.
故答案为：D．
【分析】观察各个图形，发现各个图形都是有几个长方形或正方形构成得一个大的长方形或正方形，根据正方形及长方形面积计算公式，分别用整体法与构成法表示图形面积，再根据用不同式子表示同一个图形面积，这两个式子相等，可得等式，据此逐一判断得出答案.
3．（2024七下·昌平期中）已知．求代数式的值．
【答案】解：运用配方法变形，
∴，即，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的值为．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】根据配方法将等号坐标变形可得，根据平方差公式，完全平方公式将代数式化简，再整体代入即可求出答案.
4．（2025七下·新田期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
5．（2023七下·宝安期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方的定义，任何非零数的零次幂等于1，负整数指数幂的定义以及绝对值的性质计算即可；
（2）根据平方差公式计算即可
二、能力提高
6．（2025七下·德清期末） 如图，已知正方形与正方形的重叠部分是长方形，面积记为，四边形与四边形都为正方形，面积分别记为和，已知，则下列代数式的值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设正方形ABCD边长为a，正方形EFGH边长为b，已知
∴设. 则 BM
选项B：
因此， 的值为定值4.
故答案为： B.
【分析】通过已知条件找出各正方形、长方形边长之间的关系，进而分析各代数式的值是否为定值.
7．（2024七下·温州期末）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：将B向左推，可得如图，
设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，
根据图2是正方形，得，
即，
由图（2）两个A的位置，可得即，
∴图2正方形边长为
∴，
∵
∴
∴
∴
故选：C．
【分析】设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，即可得出和，再结合题意得到，然后代入计算解题．
8．（2025七下·金华期末） 已知，则的值为 .
【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵∴
∴
∴
故答案为：13.
【分析】先将进行化简得，由所求的 的形式联系完全平方公式即可得到所求式子的值。
9．（2025七下·深圳期中）【探索发现】
数学活动课上，老师准备了如图的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图所示的形状拼成一个大正方形．
（）图中的阴影部分正方形的边长是________（用含，的代数式表示）；
（）观察图，图，请写出，，之间的等量关系是________；
【解决问题】
（）若，，且，则________；
【实际应用】
（）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图所示．已知于点，，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为平方米，米，求主舞台和观众区的面积和．
【答案】（）；（）；（）；（）
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
10．（2025七下·成都月考）通过第1章的学习，我们已经知道，对于一个图形；如图2可以得到：；现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形．
（1）【探索发现】根据图中条件，猜想并验证与之间的关系（用含的代数式表示出来）；图3表示：_______；
（2）【解决问题】①若，则_______；
②当时，求的值；
（3）【拓展提升】如图4，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为42，求两个正方形 的面积和．
【答案】（1）
（2）；；
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
11．（2025七下·苏州期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则．
（1）如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________．
（2）已知，，且的值与的取值无关，求的值．
（3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：，，
，
又的值与的取值无关，
，
即；
（3）解：由题意得，阴影部分的面积，
，
当变化时，的值始终保持不变，
，
即．
【知识点】整式的加减运算；整式的混合运算；多项式的项、系数与次数；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】（1）解：∵关于的多项式的值与的取值无关，
，
即
故答案为：；
【分析】（1）先把多项式化简，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可；
（2）将A、B所代表的多项式代入A-3B，根据整式加减法法则计算出结果，再根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可；
（3）观察图形，求出，的长与宽，根据长方形面积计算公式求出它们的面积，进而根据整式加减法法则求出的差，由当变化时，的值始终保持不变，可得化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可.
（1）解：关于的多项式，
关于的多项式的值与的取值无关，
，
即
故答案为：．
（2），，
，
又的值与的取值无关，
，
即
（3）由题意得，阴影部分的面积，
，
当变化时，的值始终保持不变，
，
即．
12．（2025七下·深圳期末）阅读理解：
若x满足（30 -x）（x-20）=16， 求（30 -x） 2+（x-20） 2的值.
解：设30-x=a，х-20=b，
则（30-x）（x-20）=ab=16，
a+b= （30-x） + （x-20） =10，
（30-x） 2+ （x-20） 2=a2+b2= （a+b） 2-2ab=102-2×16=68
（1）【类比探究】若x满足（80-x）（x-50）=300. 求（80-x）2+（x-50）2的值；
（2）【联系拓展】若x满足（2025-x）（2020-x）=5， 则（2025-x）2+（2020-x）2= ；（直接写出结论，不用说明理由.）
（3）【解决问题】如图，在长方形ABCD中，AB=21，BC=14，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为150平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位
【答案】（1）解：设 80﹣x＝a，x﹣50＝b，
则 （80﹣x）（x﹣50）＝ab＝300，
a+b＝（80﹣x）+（x﹣50）＝30，
所以 （80﹣x）2+（x﹣50）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝302﹣2×300＝300；
（2）35
（3）解：由题意得，FC＝（21﹣x），EC＝（14﹣x），
∴阴影部分的面积和为 （21﹣x）2+（14﹣x）2，
∵长方形 CEPF 的面积为150，
∴．（20﹣x）（12﹣x）＝150，
∴（21﹣x）（x﹣14）＝﹣150，
设21﹣x＝a，x﹣14＝b，
则（21﹣x）（x﹣14）＝ab＝﹣150，
a+b＝（21﹣x）+（x﹣14）＝7，
∴（21﹣x）2+（x﹣14）2
＝（21﹣x）2+（14﹣x）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝49﹣2×（﹣150）
＝349，
∴阴影部分的面积和为349平方单位．
【知识点】完全平方公式及运用；整体思想
【解析】【解答】解：（2）设2025-x=a，2020-x=b
则（2025-x）（2020-x）=ab=5
a-b=（2025-x）-（2020-x）=5
∴2025-x）2+（2020-x）2=a2+b2=(a-b)2+2ab=52+2×5=35
故答案为：35
【分析】（1）根据题意设 80﹣x＝a，x﹣50＝b，求出a+b的值，结合完全平方公式整体代入即可求出答案.
（2）根据题意设2025-x=a，2020-x=b，求出a-b的值，结合完全平方公式整体代入即可求出答案.
（3）由题意得，FC＝（21﹣x），EC＝（14﹣x），阴影部分的面积和为 （21﹣x）2+（14﹣x）2，根据题意设21﹣x＝a，x﹣14＝b，求出a+b的值，结合完全平方公式整体代入即可求出答案.
13．（2025七下·揭西期末）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ；
（2）解决问题：如果，，求的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣）和（﹣2），且，求这个长方形的面积．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2
（2）解：∵a+b＝10，ab＝12，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76；
（3）解：设 8﹣x＝a，x﹣2＝b，
∵长方形的两邻边分别是8﹣x，x﹣2，
∴ a+b＝8﹣x+x﹣2＝6，
∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2ab＝20，
∴ ab＝8，
∴ 这个长方形的面积＝（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；转化思想
【解析】【分析】（1）分析图示整体正方形面积（a+b）2和拆分后的正方形面积a2+2ab+b2可得完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2
（2）利用完全平方公式变形由(a + b)2 = a2 +2ab +b2， 得a2 + b2 = (a +b)2 - 2ab；代入a+b=10、ab=12，计算得结果。
（3）设元转化：令8﹣x＝a，x﹣2＝b，则面积为ab，且a+b=6；再通过完全平方公式变形即可求出长方形的面积。
14．（2025七下·深圳期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化.
（1） 观察图 1，它所对应的公式为 .（填写对应公式的序号）
①；
②；
③.
（2） 如图 2，边长为 a， b 的长方形，它的周长为 12，面积为 5，求 的值；
（3） 将正方形 ABCD 与正方形 AEFG 如图 3 摆放，当正方形 ABCD 与正方形 AEFG 面积和为 74，，求图中阴影部分面积和.
【答案】（1）①
（2）解：∵边长为 a， b 的长方形，它的周长为 12，面积为 5
∴2(a+b)=12，ab=5
∴a+b=6
∴(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=12
（3）解：延长GF交BC于点M
设AE=a，则正方形AEFG的面积为a2，正方形ABCD的面积为为(a+2)2
∵正方形ABCD与正方形AEFG面积和为74
∴(a+2)2+a2=74
∴a2+2a+1=36
∴(a+1)2=36
∴a+1=6（负号舍去）
∴a=5
∵
=2a+2
=12
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）由图1可得：S大正方形=4S矩形+S小正方形
∴
故答案为：①
【分析】（1）根据S大正方形=4S矩形+S小正方形即可求出答案.
（2）根据题意a+b=6，ab=5，代数式去括号，再整体代入即可求出答案.
（3）延长GF交BC于点M，设AE=a，则正方形AEFG的面积为a2，正方形ABCD的面积为为(a+2)2，根据题意建立方程，解方程可得a=5，再根据割补法求阴影部分面积即可求出答案.
三、创新拓展
15．（2025七下·巴州月考）已知，，，则代数式的值为 ．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，，，
，，，
，，，
原式
．
故答案为：3．
【分析】通过观察可发现a，b，c都有，只需要将其两两作差就可以得到a，b，c之间的关系式，再将原式进行变形，构造出完全平方式，再代入求解即可.
16．（2025七下·龙岗期末）
（1）【特例感知】
已知：152=225，252=625，352=1225，·……
猜想：个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字是25。
证明：设此两位数的十位数字是m，……
请完成上述剩余证明过程。
（2）【类比迁移】
观察下列等式：
32×38=1216；54×56=3024；79×71=5609；83×87= ▲ ；
①请写第四个等式的结果；
②数学兴趣小组发现，这若干组等式满足下列的规律：
十位数字相同、个位数字之和等于10的两个两位数相乘，可以把十位数字乘比它大1的数作为积的前两位，把个位数字的乘积作为积的后两位。”
例如
请写出一个满足此规律的一个等式： ▲ ；（不得抄写已给出的4个等式）
③设满足此规律的两个两位数中十位数字为a，其中第一个两位数的个位数字为b。请用含a、b的式子表示②中的规律，并证明其正确性。
【答案】（1）解：由题意可知这个两位数为（10m+5)
（10m+5)2 =（10m)2+2·10m-5+52，
=100m2+100m+25，
∴猜想正确。
（2）解：①： 7221；
②满足(10a+b)(10a+10-b) =100a(a+1)+b(10-b)即可，如23×27=621。··
③由题意可知，两个两位数分别是(10a+b)，(10a+10-b)，
结果可表示为100a(a+1)+b(10-b)，
即规律为(10a+b)(10a+10-b)=100a(a+1)+b(10-b)， ·
(10a+b)(10a+10-b)=100a2+100a-10ab+10b-b2=100a2+100a+10b-b2
100a(a+1)+b(10-b)=100a2+100a+10b-62
∴(10a+b)(10a+10-b)=100a(a+1)+b(10-b)，
即②中规律是正确的。
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：（2）①按照规律：十位数字相同（都是8）、个位数字和为，积的前两位：；积的后两位：，所以.
故答案为：7221.
②延续 “十位相同、个位和为 10” 的规律，先选定十位数字a和一个个位数字b ，确定另一数个位为10 - b，再拆分 “前两位(a×(a + 1)） + 后两位(b×(10 - b)）” 构造等式，本质是规律的直接应用与模仿构造，通过固定十位、搭配个位的方式生成新例子 ，如23×27=621（答案不唯一，符合规律即可 ）
故答案为：23×27=621.（答案不唯一，符合规律即可 ）
【分析】（1）用代数表示数（将个位为5的两位数表示为 ），结合完全平方公式展开，通过分析展开式中项的倍数特征（是100的倍数），验证猜想，核心是代数化表示与公式运算；
（2）①通过观察已知等式规律（十位同、个位和为10），直接套用规律计算结果；
②构造符合规律的数（确定十位与个位数字），生成新等式；
③用代数表示数（和 ），通过多项式乘法展开左右两边，验证等式成立，核心是规律的观察归纳与代数证明.
17．（2025七下·宝安期末）
信息1 若一个两位数十位、个位上的数字分别为a和b，我们可将这个两位数记为，如=10a+b： 同理，一个三位数、四位数等也可以用此记法，如 =100a+10b+c.
信息2 调换两位数的各个数位上的数字，可以得到一个新的两位数.
（1）填空：
①可表示为 .
②若，则y= .
（2）的运算结果能被9整除，请说明共中的道理.
（3）【迁移运用】
小明利用运算程序设计了一个数学魔术，邀请小天参与体验。
步骤1：小明写下一个两位数：
步骤2：小天将一个两位数输入下图所示的运算程序，得到运算结果后，再将该结果减去：
步骤三：小明在未运用运算程序的情况下，直接说出了最终结果为四位数.
请推测两位数与之间的数量关系。并简要说明理由.
【答案】（1）；2
（2）解：由信息1和信息2可知
能被9整除．
（3）解：，理由如下：
将输入运算程序，得：
减去得：
而四位数可以表示为：．
所以
即
所以
即．
【知识点】整式的混合运算；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；求代数式的值-程序框图；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：（1）①可表示为
②∵，
∴，
解得：；
故答案为：；2；
【分析】（1）①根据题意列出代数式即可求解；
②根据数字的表示方法结合题意列出方程，进而即可求解；
（2）根据数字的表示方法结合题意进行整式的加减运算，进而化简求出结果，从而即可求解；
（3）根据流程图和数字的表示方法进行计算，进而即可求解。
18．（2025七下·滨江期末） 有两张正方形纸片，其中．若将这两个正方形纸片按图（1）所示的方式放置（点B和点F重合），产生了一个新的、周长为8的正方形．若将这两个正方形纸片按图（2）所示并排放置，其中，点B和点E重合，点A，B，F在同一条直线上，点P是线段的中点．连接，若三角形的面积是3．则图（2）中阴影部分的面积是 ．
【答案】7
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形纸片ABCD的边长为a，正方形纸片EFGH的边长为b，
∴AD=a， AM = EH =b，
∴MD=AD-AM =a-b，
∵图中 (1)中正方形MHND的周长为8，
∴4MD=8，
∴MD=2，
∴a-b=2，
在图 (2) 中， AB=AD=a， BH =BF=GF=b，
∵三角形ABH的面积是3，
∴AB·BH=6，
∴ab=6，
由a-b=2， 得： (a-b)2 = 4，
∴a2+b2-2ab=4，
∴(a+b)2=4+4ab=4+4×6=28，
∵点P是AF的中点，
∴图 (2)中阴影部分的面积是7.
故答案为：7.
【分析】设正方形纸片ABCD的边长为a，正方形纸片EFGH的边长为b，则图中 (1)中正方形MHND的边长为 进而得 ，根据图 (2)中三角形ABH的面积是3得( 由此得 再分别求出 则 据此即可得出图 (2)中阴影部分的面积.
19．（2025七下·杭州期末） 阅读下列材料：我们把形如的式子称为“行列式”，其运算法则为：．例如：．请你运用材料回答：
（1）计算： ．
（2）已知，求的值．
（3）若的三边长为，满足，，求的周长．
【答案】（1）解：8×3-2×9=6
（2）解：
=
=
=
=
∵∴原式=3×9+2=29
（3）解： ∵
∴
∴
∴
∴
∵的三边长为，且a＞0，b＞0，c＞0
∴解得（舍去负根），a=2，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；有理数的加、减混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）考查阅读材料的理解，按照材料中的计算步骤操作即可。
（2）将两个行列式放在一起运算，通过整式的化简可得m与n的关系式，将关系式进行变形得到与相关的形式，代入数值计算即可。
（3）由两个行列式相等，可以得到关于a、b、c之间的代数关系式，根据代数式的系数特点可以转化为两个完全平方式相加等于0的情况，即可求解a、b、c的值，从而得到三角形的周长。
1 / 1沪科版数学七年级下册8.3完全平方公式及平方差公式分层练习
一、基础夯实
1．（2025七下·浙江期中）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·栾城期末）分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有( )
A．一组 B．两组 C．三组 D．四组
3．（2024七下·昌平期中）已知．求代数式的值．
4．（2025七下·新田期中）先化简，再求值：，其中，．
5．（2023七下·宝安期中）计算：
（1）
（2）
二、能力提高
6．（2025七下·德清期末） 如图，已知正方形与正方形的重叠部分是长方形，面积记为，四边形与四边形都为正方形，面积分别记为和，已知，则下列代数式的值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七下·温州期末）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
8．（2025七下·金华期末） 已知，则的值为 .
9．（2025七下·深圳期中）【探索发现】
数学活动课上，老师准备了如图的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图所示的形状拼成一个大正方形．
（）图中的阴影部分正方形的边长是________（用含，的代数式表示）；
（）观察图，图，请写出，，之间的等量关系是________；
【解决问题】
（）若，，且，则________；
【实际应用】
（）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图所示．已知于点，，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为平方米，米，求主舞台和观众区的面积和．
10．（2025七下·成都月考）通过第1章的学习，我们已经知道，对于一个图形；如图2可以得到：；现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形．
（1）【探索发现】根据图中条件，猜想并验证与之间的关系（用含的代数式表示出来）；图3表示：_______；
（2）【解决问题】①若，则_______；
②当时，求的值；
（3）【拓展提升】如图4，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为42，求两个正方形 的面积和．
11．（2025七下·苏州期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则．
（1）如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________．
（2）已知，，且的值与的取值无关，求的值．
（3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系．
12．（2025七下·深圳期末）阅读理解：
若x满足（30 -x）（x-20）=16， 求（30 -x） 2+（x-20） 2的值.
解：设30-x=a，х-20=b，
则（30-x）（x-20）=ab=16，
a+b= （30-x） + （x-20） =10，
（30-x） 2+ （x-20） 2=a2+b2= （a+b） 2-2ab=102-2×16=68
（1）【类比探究】若x满足（80-x）（x-50）=300. 求（80-x）2+（x-50）2的值；
（2）【联系拓展】若x满足（2025-x）（2020-x）=5， 则（2025-x）2+（2020-x）2= ；（直接写出结论，不用说明理由.）
（3）【解决问题】如图，在长方形ABCD中，AB=21，BC=14，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为150平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位
13．（2025七下·揭西期末）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ；
（2）解决问题：如果，，求的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣）和（﹣2），且，求这个长方形的面积．
14．（2025七下·深圳期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化.
（1） 观察图 1，它所对应的公式为 .（填写对应公式的序号）
①；
②；
③.
（2） 如图 2，边长为 a， b 的长方形，它的周长为 12，面积为 5，求 的值；
（3） 将正方形 ABCD 与正方形 AEFG 如图 3 摆放，当正方形 ABCD 与正方形 AEFG 面积和为 74，，求图中阴影部分面积和.
三、创新拓展
15．（2025七下·巴州月考）已知，，，则代数式的值为 ．
16．（2025七下·龙岗期末）
（1）【特例感知】
已知：152=225，252=625，352=1225，·……
猜想：个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字是25。
证明：设此两位数的十位数字是m，……
请完成上述剩余证明过程。
（2）【类比迁移】
观察下列等式：
32×38=1216；54×56=3024；79×71=5609；83×87= ▲ ；
①请写第四个等式的结果；
②数学兴趣小组发现，这若干组等式满足下列的规律：
十位数字相同、个位数字之和等于10的两个两位数相乘，可以把十位数字乘比它大1的数作为积的前两位，把个位数字的乘积作为积的后两位。”
例如
请写出一个满足此规律的一个等式： ▲ ；（不得抄写已给出的4个等式）
③设满足此规律的两个两位数中十位数字为a，其中第一个两位数的个位数字为b。请用含a、b的式子表示②中的规律，并证明其正确性。
17．（2025七下·宝安期末）
信息1 若一个两位数十位、个位上的数字分别为a和b，我们可将这个两位数记为，如=10a+b： 同理，一个三位数、四位数等也可以用此记法，如 =100a+10b+c.
信息2 调换两位数的各个数位上的数字，可以得到一个新的两位数.
（1）填空：
①可表示为 .
②若，则y= .
（2）的运算结果能被9整除，请说明共中的道理.
（3）【迁移运用】
小明利用运算程序设计了一个数学魔术，邀请小天参与体验。
步骤1：小明写下一个两位数：
步骤2：小天将一个两位数输入下图所示的运算程序，得到运算结果后，再将该结果减去：
步骤三：小明在未运用运算程序的情况下，直接说出了最终结果为四位数.
请推测两位数与之间的数量关系。并简要说明理由.
18．（2025七下·滨江期末） 有两张正方形纸片，其中．若将这两个正方形纸片按图（1）所示的方式放置（点B和点F重合），产生了一个新的、周长为8的正方形．若将这两个正方形纸片按图（2）所示并排放置，其中，点B和点E重合，点A，B，F在同一条直线上，点P是线段的中点．连接，若三角形的面积是3．则图（2）中阴影部分的面积是 ．
19．（2025七下·杭州期末） 阅读下列材料：我们把形如的式子称为“行列式”，其运算法则为：．例如：．请你运用材料回答：
（1）计算： ．
（2）已知，求的值．
（3）若的三边长为，满足，，求的周长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、原式=-(a-3)(a-3)，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
B、原式=(3-a)(3+a)，用平方差公式进行计算，故此选项符合题意；
C、原式=(3-a)(3-a)，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
D、原式=-(a+3)(a+3)，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式的结构进行分析判断.
2．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：图，整体长方形的长为，宽为，因此面积为，
整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为++，
所以有：，因此图符合题意；
图，整体长方形的长为，宽为，因此面积为，
整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为，
所以有：，因此图符合题意；
图，整体正方形的边长为，因此面积为，
整体正方形由两个正方形与两个长方形构成，这两个正方形与两个长方形的面积和为，
所以有：，因此图符合题意；
图，整体正方形的边长为，因此面积为，
整体正方形由两个正方形与两个长方形构成， 其中较大的正方形的边长为，因此面积为，较小正方形的边长为，因此面积为，另外两个长方形的长为，宽为，则面积为，这两个正方形与两个长方形的面积和为
所以有，
即，因此图4符合题意，
综上所述，四组均符合题意.
故答案为：D．
【分析】观察各个图形，发现各个图形都是有几个长方形或正方形构成得一个大的长方形或正方形，根据正方形及长方形面积计算公式，分别用整体法与构成法表示图形面积，再根据用不同式子表示同一个图形面积，这两个式子相等，可得等式，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】解：运用配方法变形，
∴，即，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的值为．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】根据配方法将等号坐标变形可得，根据平方差公式，完全平方公式将代数式化简，再整体代入即可求出答案.
4．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
5．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方的定义，任何非零数的零次幂等于1，负整数指数幂的定义以及绝对值的性质计算即可；
（2）根据平方差公式计算即可
6．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设正方形ABCD边长为a，正方形EFGH边长为b，已知
∴设. 则 BM
选项B：
因此， 的值为定值4.
故答案为： B.
【分析】通过已知条件找出各正方形、长方形边长之间的关系，进而分析各代数式的值是否为定值.
7．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：将B向左推，可得如图，
设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，
根据图2是正方形，得，
即，
由图（2）两个A的位置，可得即，
∴图2正方形边长为
∴，
∵
∴
∴
∴
故选：C．
【分析】设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，即可得出和，再结合题意得到，然后代入计算解题．
8．【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵∴
∴
∴
故答案为：13.
【分析】先将进行化简得，由所求的 的形式联系完全平方公式即可得到所求式子的值。
9．【答案】（）；（）；（）；（）
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
10．【答案】（1）
（2）；；
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
11．【答案】（1）
（2）解：，，
，
又的值与的取值无关，
，
即；
（3）解：由题意得，阴影部分的面积，
，
当变化时，的值始终保持不变，
，
即．
【知识点】整式的加减运算；整式的混合运算；多项式的项、系数与次数；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】（1）解：∵关于的多项式的值与的取值无关，
，
即
故答案为：；
【分析】（1）先把多项式化简，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可；
（2）将A、B所代表的多项式代入A-3B，根据整式加减法法则计算出结果，再根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可；
（3）观察图形，求出，的长与宽，根据长方形面积计算公式求出它们的面积，进而根据整式加减法法则求出的差，由当变化时，的值始终保持不变，可得化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可.
（1）解：关于的多项式，
关于的多项式的值与的取值无关，
，
即
故答案为：．
（2），，
，
又的值与的取值无关，
，
即
（3）由题意得，阴影部分的面积，
，
当变化时，的值始终保持不变，
，
即．
12．【答案】（1）解：设 80﹣x＝a，x﹣50＝b，
则 （80﹣x）（x﹣50）＝ab＝300，
a+b＝（80﹣x）+（x﹣50）＝30，
所以 （80﹣x）2+（x﹣50）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝302﹣2×300＝300；
（2）35
（3）解：由题意得，FC＝（21﹣x），EC＝（14﹣x），
∴阴影部分的面积和为 （21﹣x）2+（14﹣x）2，
∵长方形 CEPF 的面积为150，
∴．（20﹣x）（12﹣x）＝150，
∴（21﹣x）（x﹣14）＝﹣150，
设21﹣x＝a，x﹣14＝b，
则（21﹣x）（x﹣14）＝ab＝﹣150，
a+b＝（21﹣x）+（x﹣14）＝7，
∴（21﹣x）2+（x﹣14）2
＝（21﹣x）2+（14﹣x）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝49﹣2×（﹣150）
＝349，
∴阴影部分的面积和为349平方单位．
【知识点】完全平方公式及运用；整体思想
【解析】【解答】解：（2）设2025-x=a，2020-x=b
则（2025-x）（2020-x）=ab=5
a-b=（2025-x）-（2020-x）=5
∴2025-x）2+（2020-x）2=a2+b2=(a-b)2+2ab=52+2×5=35
故答案为：35
【分析】（1）根据题意设 80﹣x＝a，x﹣50＝b，求出a+b的值，结合完全平方公式整体代入即可求出答案.
（2）根据题意设2025-x=a，2020-x=b，求出a-b的值，结合完全平方公式整体代入即可求出答案.
（3）由题意得，FC＝（21﹣x），EC＝（14﹣x），阴影部分的面积和为 （21﹣x）2+（14﹣x）2，根据题意设21﹣x＝a，x﹣14＝b，求出a+b的值，结合完全平方公式整体代入即可求出答案.
13．【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2
（2）解：∵a+b＝10，ab＝12，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76；
（3）解：设 8﹣x＝a，x﹣2＝b，
∵长方形的两邻边分别是8﹣x，x﹣2，
∴ a+b＝8﹣x+x﹣2＝6，
∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2ab＝20，
∴ ab＝8，
∴ 这个长方形的面积＝（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；转化思想
【解析】【分析】（1）分析图示整体正方形面积（a+b）2和拆分后的正方形面积a2+2ab+b2可得完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2
（2）利用完全平方公式变形由(a + b)2 = a2 +2ab +b2， 得a2 + b2 = (a +b)2 - 2ab；代入a+b=10、ab=12，计算得结果。
（3）设元转化：令8﹣x＝a，x﹣2＝b，则面积为ab，且a+b=6；再通过完全平方公式变形即可求出长方形的面积。
14．【答案】（1）①
（2）解：∵边长为 a， b 的长方形，它的周长为 12，面积为 5
∴2(a+b)=12，ab=5
∴a+b=6
∴(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=12
（3）解：延长GF交BC于点M
设AE=a，则正方形AEFG的面积为a2，正方形ABCD的面积为为(a+2)2
∵正方形ABCD与正方形AEFG面积和为74
∴(a+2)2+a2=74
∴a2+2a+1=36
∴(a+1)2=36
∴a+1=6（负号舍去）
∴a=5
∵
=2a+2
=12
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）由图1可得：S大正方形=4S矩形+S小正方形
∴
故答案为：①
【分析】（1）根据S大正方形=4S矩形+S小正方形即可求出答案.
（2）根据题意a+b=6，ab=5，代数式去括号，再整体代入即可求出答案.
（3）延长GF交BC于点M，设AE=a，则正方形AEFG的面积为a2，正方形ABCD的面积为为(a+2)2，根据题意建立方程，解方程可得a=5，再根据割补法求阴影部分面积即可求出答案.
15．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，，，
，，，
，，，
原式
．
故答案为：3．
【分析】通过观察可发现a，b，c都有，只需要将其两两作差就可以得到a，b，c之间的关系式，再将原式进行变形，构造出完全平方式，再代入求解即可.
16．【答案】（1）解：由题意可知这个两位数为（10m+5)
（10m+5)2 =（10m)2+2·10m-5+52，
=100m2+100m+25，
∴猜想正确。
（2）解：①： 7221；
②满足(10a+b)(10a+10-b) =100a(a+1)+b(10-b)即可，如23×27=621。··
③由题意可知，两个两位数分别是(10a+b)，(10a+10-b)，
结果可表示为100a(a+1)+b(10-b)，
即规律为(10a+b)(10a+10-b)=100a(a+1)+b(10-b)， ·
(10a+b)(10a+10-b)=100a2+100a-10ab+10b-b2=100a2+100a+10b-b2
100a(a+1)+b(10-b)=100a2+100a+10b-62
∴(10a+b)(10a+10-b)=100a(a+1)+b(10-b)，
即②中规律是正确的。
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：（2）①按照规律：十位数字相同（都是8）、个位数字和为，积的前两位：；积的后两位：，所以.
故答案为：7221.
②延续 “十位相同、个位和为 10” 的规律，先选定十位数字a和一个个位数字b ，确定另一数个位为10 - b，再拆分 “前两位(a×(a + 1)） + 后两位(b×(10 - b)）” 构造等式，本质是规律的直接应用与模仿构造，通过固定十位、搭配个位的方式生成新例子 ，如23×27=621（答案不唯一，符合规律即可 ）
故答案为：23×27=621.（答案不唯一，符合规律即可 ）
【分析】（1）用代数表示数（将个位为5的两位数表示为 ），结合完全平方公式展开，通过分析展开式中项的倍数特征（是100的倍数），验证猜想，核心是代数化表示与公式运算；
（2）①通过观察已知等式规律（十位同、个位和为10），直接套用规律计算结果；
②构造符合规律的数（确定十位与个位数字），生成新等式；
③用代数表示数（和 ），通过多项式乘法展开左右两边，验证等式成立，核心是规律的观察归纳与代数证明.
17．【答案】（1）；2
（2）解：由信息1和信息2可知
能被9整除．
（3）解：，理由如下：
将输入运算程序，得：
减去得：
而四位数可以表示为：．
所以
即
所以
即．
【知识点】整式的混合运算；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；求代数式的值-程序框图；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：（1）①可表示为
②∵，
∴，
解得：；
故答案为：；2；
【分析】（1）①根据题意列出代数式即可求解；
②根据数字的表示方法结合题意列出方程，进而即可求解；
（2）根据数字的表示方法结合题意进行整式的加减运算，进而化简求出结果，从而即可求解；
（3）根据流程图和数字的表示方法进行计算，进而即可求解。
18．【答案】7
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形纸片ABCD的边长为a，正方形纸片EFGH的边长为b，
∴AD=a， AM = EH =b，
∴MD=AD-AM =a-b，
∵图中 (1)中正方形MHND的周长为8，
∴4MD=8，
∴MD=2，
∴a-b=2，
在图 (2) 中， AB=AD=a， BH =BF=GF=b，
∵三角形ABH的面积是3，
∴AB·BH=6，
∴ab=6，
由a-b=2， 得： (a-b)2 = 4，
∴a2+b2-2ab=4，
∴(a+b)2=4+4ab=4+4×6=28，
∵点P是AF的中点，
∴图 (2)中阴影部分的面积是7.
故答案为：7.
【分析】设正方形纸片ABCD的边长为a，正方形纸片EFGH的边长为b，则图中 (1)中正方形MHND的边长为 进而得 ，根据图 (2)中三角形ABH的面积是3得( 由此得 再分别求出 则 据此即可得出图 (2)中阴影部分的面积.
19．【答案】（1）解：8×3-2×9=6
（2）解：
=
=
=
=
∵∴原式=3×9+2=29
（3）解： ∵
∴
∴
∴
∴
∵的三边长为，且a＞0，b＞0，c＞0
∴解得（舍去负根），a=2，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；有理数的加、减混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）考查阅读材料的理解，按照材料中的计算步骤操作即可。
（2）将两个行列式放在一起运算，通过整式的化简可得m与n的关系式，将关系式进行变形得到与相关的形式，代入数值计算即可。
（3）由两个行列式相等，可以得到关于a、b、c之间的代数关系式，根据代数式的系数特点可以转化为两个完全平方式相加等于0的情况，即可求解a、b、c的值，从而得到三角形的周长。
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