沪科版数学七年级下册8.4因式分解分层练习
一、基础夯实
1．（2025七下·奉化期末） 下列因式分解正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、无法因式分解，A错误；
B、，B错误；
C、， C正确；
D、， D错误.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
2．将 因式分解， 应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：，系数可以提取3，字母可提取ab(x-y)2， 应提取的公因式是.
故答案为：A．
【分析】系数取最大公因数，都含有的字母或式子取最低次，将所得的因数、字母（或式子）相乘就是公因式.
3．（2025七下·金华期末） 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、，符合题意，A正确；
B、，不符合题意，B错误；
C、不能用平方差公式分解因式，C错误；
D、不能用平方差公式分解因式，D错误.
故答案为：D.
【分析】由因式分解的概念可得，多项式应化为几个整式的积的形式，用平方差公式进行分解因式时，需要先转化为的形式，所以判断每个选项的多项式能否转化为的形式是解题关键。
4．（2025七下·杭州月考）若9x2+（k﹣2）x+16能用完全平方公式因式分解，则k的值为（ ）
A．±24 B．±26 C．26或﹣22 D．﹣26或22
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：若9x2+(k-2)x+16能用完全平方公式因式分解，
则k-2=±2×3×4，
解得k=26或k=-22，
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式的结构特征解答即可.
5．（2024七下·连州期末）计算∶ ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：
；
故答案为：．
【分析】把124×122转化成（123+1）（123-1），利用平方差公式，即可简便运算得出结果。
6．（2024七下·汝城期中）如果把多项式分解因式得，那么 ， ．
【答案】－2；2
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】∵分解因式得
∴
∴
∴
解得
故答案为：-2，2.
【分析】根据分解因式得 ，可得到，将展开后得到m，n的方程，即可得到答案.
7．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
（3）解：原式
.
（4）解：原式
.
（5）解：原式
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式计算即可；
（2）先提取公因式-1，然后利用完全平方公式计算即可；
（3）直接利用完全平方公式计算即可；
（4）先提取公因式，然后利用完全平方公式计算即可；
（5）将原式变形为，然后利用完全平方公式计算即可.
8．用简便方法计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=8(7582-2582)=8×(758-258)(758+258)=8×500×1016=4064000
（2）解：原式=.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）先提取公因式8，再利用平方差公式进行分解后按含括号的有理数的混合运算的运算顺序计算即可；
（2）对分子和分母分别利用平方差公式分解后按含括号的有理数的混合运算的运算顺序计算即可.
9．用分组分解法分解因式：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）先利用二二分组法将多项式的前两项及后两项分别分为一组，第一组利用平方差公式分解因式，第二组利用提公因式法因式分解，最后组间再利用提取公因式法分解因式即可；
（2）先利用三一分组法将多项式的前三项及后一项分别分为一组，第一组利用完全平方公式分解因式，组间再利用平方差公式分解因式即可.
二、能力提升
10．（2025七下·德清期末） 若实数a，b满足，，则的值是 ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】先提公因式 ab，然后代入求值即可.
11．（2024七下·义乌期末）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：，
，，当时，多项式有最小值．
已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为 ．
【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴.
∴当时，的最大值为，
故答案为：3．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则和题意可得，，即可得出，代入ab，根据配方法可得当时，的最大值为.
12．（2024七下·覃塘期中）在日常生活中，如取款、上网都需要密码，有一种用因式分解产生的密码，方便记忆，其原理是：对于多项式，其因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是，，，于是就把“162180”作为一个六位数的密码．对于多项式，若取，，用上述方法产生的密码是 ．（写出一个即可）
【答案】212616
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：
，
当，时，，，，
∴产生的密码是212616或211626或262116或261621或162126或162621，
故答案为：212616（答案不唯一）．
【分析】先对进行因式分解得再把数值x=21，y=5代入计算得21、26、16对进行随机排列即可得答案．
13．计算：
【答案】解：原式=
=
=.
【知识点】因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】利用平方差公式将每一个因式变形后，先计算括号内的加减法，再计算乘法即可求解.
14．（2024七下·桂林期中）将下列多项式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）首先根据完全平方公式，将原式整理为，再结合平方差公式，进行因式分解，即可得到答案；
（2）根据题意，将原式整理为，然后提公因式，即可得到答案.
15．（2024七下·新田期中）因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）解：；
原式
（2）解：
原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可．
16．（2024七下·绍兴期末）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，例如：计算图1的面积．把图1看作一个大正方形． 它的面积是；如果把图1 看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
（1）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ．
（2）利用（1）中的结论解决以下问题：
已知，，求的值；
（3）如图3，正方形边长为a，正方形边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接、，若，，求图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：∵，，，∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∴（负根舍去），
∵阴影部分的面积为：
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：正方形的面积可表示为：，
还可以表示为：，
∴．
故答案为：；
【分析】（1）根据局部和整体表示正方形的面积即可解题论；
（2）利用（1）中结论计算解题；
（3）根据完全平方公式的变形得到，然后表示阴影部分的面积再因式分解，然后整体代入求值即可．
17．（2025七下·滨江期末） 生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码．
（1）对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码．
（2）对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：
=x(3x-y)(3x+y)，
当x=10， y=10时，
3x-y=3×10-10=20，
3x+y=3×10+10=40，
这个个六位数密码是102040.（答案不唯一）
（2）解：能，理由为：
因为x = 25， 这个六位数密码为242527，
24=25-1，
所以其中一个因式是(x-1)，
27=25+2，
所以另外一个因式是(x+2)，
所以
-2x，
所以p=1， q=-2.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】(1)先提取公因式x，然后利用平方差公式将式子进行因式分解，将x=10，y=10代入求出三个因式的值，表示出密码即可；
(2)当x = 25时， 六位数密码为242527， 即另外两个因式的结果分别是24、27，所以另外两个因式表示为x﹣1、x+2， 所以这个因式表示为x(x﹣1)(x+2)， 据此求出p、q.
18．（2024七下·慈溪期末）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为 同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
【答案】（1）解：（1）根据题意观察老师列的竖式发现：
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
（3）解：根据题意得：
∴
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
n=m+4=4．
∴m=0， n=4
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。
（2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值．
（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
．
（3）解：根据题意得：
∴，，
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，．
19．（2024七下·潜山期末）阅读与思考
整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：．
（2）分解因式：．
（3）若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值．
【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：原式，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴或或或
即整数p的值可能为5或或1或．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）根据例题仿写，即可求解；
（2）先提公因式，再根据例题仿写，即可求解；
（3）将常数进行分解即可求得．
三、创新拓展
20．（2025七下·慈溪期末） 已知m，n均为正整数，且，.若，则mn的值为 .
【答案】20或2024
【知识点】因式分解的应用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，，
m，n均为正整数，91=191=713
或
或
或
故答案为：20或2024 .
【分析】根据题意可得，利用因式分解可得，由91=191=713可推出m、n的两个二元一次方程组，解之即可确定m、n值，进而可解.
21．（2024七下·鄞州期末）如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中M与N都是两位数，M与N的十位数字相同，个位数字之和为6，则称此数为“如意数”，并把数A分解成的过程，称为“完美分解”．例如，因为，21和25的十位数字相同，个位数字之和为6，所以525是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是 ；
（2）把一个“如意数”A进行“完美分解”，即，M与N的和记为P，M与N的差记为Q，若能被11整除，则A的值为 ．
【答案】165；1088
【知识点】因式分解的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）∵自然数A的个位数字不为0，
∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：，
故答案为：；
（2）由题意，设两位数M和N的十位数字均为，M的个位数字为，则N的个位数字为，且m为1至9的自然数，
，，
，，
∵，自然数A的个位数字不为0，
∴，
解得：，
∴为5 、4或者3，
∵，
∴，
∴为5或者4 ，
，即的分子是奇数，
当时，，分子是奇数，分母是偶数，则该数不是整数，
不符合题意，舍去；
当时，，
能被11整除，且m为1至9的自然数，
满足条件的整数只有3，
，
即，
故答案为：1088．
【分析】（1）利用“如意数”的定义判断解题；
（2）设两位数M和N的十位数字均为，M的个位数字为，则N的个位数字为，从而可得，，表示 ，根据题意可以求出、的值解答即可．
22．（2024七下·浏阳期末）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“等等数”．比如：四位数，，是 “等等数”；四位数，，不是“等等数”．
（1）直接写出最小的“等等数” ．
（2）若一个“等等数”，满足个位上的数字是百位上的数字的两倍，且千位上的数字与十位上的数字之和为8，则所有满足条件的“等等数” ．
【答案】；或或
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）∵是四位正整数中千位上的数字，故若使得四位正整数是最小的“等等数”，
∴取最小的正整数是，取最小的整数是，
∵，
∴，
∴，．
∴最小的“等等数”是．
故答案为：；
（2）根据题意知：，，
∵，
∴，
∴当，，此时，；∵，则这个“等等数”是；
当，，此时，；∵，则这个“等等数”是；
当，，此时，；则这个“等等数”是；
∴满足条件的“等等数”是或或．
故答案为：或或．
【分析】（1）根据是千位上的数，以及最小的正整数是1和最小的四位数百位上是0，可求出和的值，结合题意即可求解
（2）根据题意得到：，，结合题意推得，分别写出满足等式的所有情况，结合题意分析即可求解．
23．（2024七下·沿河期中）如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
（1）请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：________________（用式子表达）．
（2）应用公式计算：
（3）应用公式计算：
【答案】（1），，；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，，
∴ 所得到的公式为，故答案为：，，；
【分析】（1）观察图形可知：S1=大正方形的面积-小正方形的面积，S2=长方形的面积，然后根据两面积相等可得公式；
（2）直接逆用（1）中的公式把原式每一项写成乘积的形式，从而可得，进而进行化简可得答案；
（3）在运算式前面乘以，再逐步使用公式进行计算即可．
（1）解：，，
可得公式：；
（2）
；
（3）
．
24．（2024七下·北仑期中）阅读并解决问题．
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题．
（1）利用“配方法”分解因式：；
（2）19世纪的法国数学家苏菲热门解决了“把分解因式”这个问题：，请你把因式分解；
（3）若，求m和n的值．
【答案】（1）解：原式
（2）解：
（3）解：∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）给整式前两项加上4可得到一个完全平方式，此时为保证整式大小不变，还得给后面的常数项减去4，恰好把这个二次三项式表示成两个整式平方差的形式，可直接利用平方差公式分解因式；
（2）由于和分别是两个平方式和的平方，且它们乘积的2倍即也是一个平方式，因此给原式加上再减去后可得到两个整式的平方差，利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（3）利用配方法可把等式的左边表示成两个非负数的和，由于它们的和为0，则每一个非负数都等于0．
25．（2024七下·云溪期中）阅读材料：
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决：
（1）因式分解：
（2）因式分解：
（3）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【答案】（1）解：令，
则，
将“A”还原，可以得到：
原式；
（2）解：令，
则，
将“B”还原，可以得到：
原式
；
（3）解：
，
∵n为正整数，
∴正整数．
∵，
∴代数式的值一定是某个整数的平方．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣换元法
【解析】【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可；
（2）设，则原式后，再将B还原，最后再利用完全平方公式即可得到答案；
（3）先计算，再利用完全平方公式即可．
1 / 1沪科版数学七年级下册8.4因式分解分层练习
一、基础夯实
1．（2025七下·奉化期末） 下列因式分解正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．将 因式分解， 应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七下·金华期末） 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七下·杭州月考）若9x2+（k﹣2）x+16能用完全平方公式因式分解，则k的值为（ ）
A．±24 B．±26 C．26或﹣22 D．﹣26或22
5．（2024七下·连州期末）计算∶ ．
6．（2024七下·汝城期中）如果把多项式分解因式得，那么 ， ．
7．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
8．用简便方法计算：
（1）
（2）
9．用分组分解法分解因式：
（1） ．
（2） ．
二、能力提升
10．（2025七下·德清期末） 若实数a，b满足，，则的值是 ．
11．（2024七下·义乌期末）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：，
，，当时，多项式有最小值．
已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为 ．
12．（2024七下·覃塘期中）在日常生活中，如取款、上网都需要密码，有一种用因式分解产生的密码，方便记忆，其原理是：对于多项式，其因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是，，，于是就把“162180”作为一个六位数的密码．对于多项式，若取，，用上述方法产生的密码是 ．（写出一个即可）
13．计算：
14．（2024七下·桂林期中）将下列多项式因式分解：
（1）；
（2）．
15．（2024七下·新田期中）因式分解：
（1）
（2）
16．（2024七下·绍兴期末）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，例如：计算图1的面积．把图1看作一个大正方形． 它的面积是；如果把图1 看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
（1）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ．
（2）利用（1）中的结论解决以下问题：
已知，，求的值；
（3）如图3，正方形边长为a，正方形边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接、，若，，求图3中阴影部分的面积．
17．（2025七下·滨江期末） 生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码．
（1）对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码．
（2）对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由．
18．（2024七下·慈溪期末）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为 同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
19．（2024七下·潜山期末）阅读与思考
整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：．
（2）分解因式：．
（3）若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值．
三、创新拓展
20．（2025七下·慈溪期末） 已知m，n均为正整数，且，.若，则mn的值为 .
21．（2024七下·鄞州期末）如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中M与N都是两位数，M与N的十位数字相同，个位数字之和为6，则称此数为“如意数”，并把数A分解成的过程，称为“完美分解”．例如，因为，21和25的十位数字相同，个位数字之和为6，所以525是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是 ；
（2）把一个“如意数”A进行“完美分解”，即，M与N的和记为P，M与N的差记为Q，若能被11整除，则A的值为 ．
22．（2024七下·浏阳期末）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“等等数”．比如：四位数，，是 “等等数”；四位数，，不是“等等数”．
（1）直接写出最小的“等等数” ．
（2）若一个“等等数”，满足个位上的数字是百位上的数字的两倍，且千位上的数字与十位上的数字之和为8，则所有满足条件的“等等数” ．
23．（2024七下·沿河期中）如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
（1）请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：________________（用式子表达）．
（2）应用公式计算：
（3）应用公式计算：
24．（2024七下·北仑期中）阅读并解决问题．
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题．
（1）利用“配方法”分解因式：；
（2）19世纪的法国数学家苏菲热门解决了“把分解因式”这个问题：，请你把因式分解；
（3）若，求m和n的值．
25．（2024七下·云溪期中）阅读材料：
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决：
（1）因式分解：
（2）因式分解：
（3）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、无法因式分解，A错误；
B、，B错误；
C、， C正确；
D、， D错误.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
2．【答案】A
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：，系数可以提取3，字母可提取ab(x-y)2， 应提取的公因式是.
故答案为：A．
【分析】系数取最大公因数，都含有的字母或式子取最低次，将所得的因数、字母（或式子）相乘就是公因式.
3．【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、，符合题意，A正确；
B、，不符合题意，B错误；
C、不能用平方差公式分解因式，C错误；
D、不能用平方差公式分解因式，D错误.
故答案为：D.
【分析】由因式分解的概念可得，多项式应化为几个整式的积的形式，用平方差公式进行分解因式时，需要先转化为的形式，所以判断每个选项的多项式能否转化为的形式是解题关键。
4．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：若9x2+(k-2)x+16能用完全平方公式因式分解，
则k-2=±2×3×4，
解得k=26或k=-22，
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式的结构特征解答即可.
5．【答案】
【知识点】因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：
；
故答案为：．
【分析】把124×122转化成（123+1）（123-1），利用平方差公式，即可简便运算得出结果。
6．【答案】－2；2
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】∵分解因式得
∴
∴
∴
解得
故答案为：-2，2.
【分析】根据分解因式得 ，可得到，将展开后得到m，n的方程，即可得到答案.
7．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
（3）解：原式
.
（4）解：原式
.
（5）解：原式
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式计算即可；
（2）先提取公因式-1，然后利用完全平方公式计算即可；
（3）直接利用完全平方公式计算即可；
（4）先提取公因式，然后利用完全平方公式计算即可；
（5）将原式变形为，然后利用完全平方公式计算即可.
8．【答案】（1）解：原式=8(7582-2582)=8×(758-258)(758+258)=8×500×1016=4064000
（2）解：原式=.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）先提取公因式8，再利用平方差公式进行分解后按含括号的有理数的混合运算的运算顺序计算即可；
（2）对分子和分母分别利用平方差公式分解后按含括号的有理数的混合运算的运算顺序计算即可.
9．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）先利用二二分组法将多项式的前两项及后两项分别分为一组，第一组利用平方差公式分解因式，第二组利用提公因式法因式分解，最后组间再利用提取公因式法分解因式即可；
（2）先利用三一分组法将多项式的前三项及后一项分别分为一组，第一组利用完全平方公式分解因式，组间再利用平方差公式分解因式即可.
10．【答案】
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】先提公因式 ab，然后代入求值即可.
11．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴.
∴当时，的最大值为，
故答案为：3．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则和题意可得，，即可得出，代入ab，根据配方法可得当时，的最大值为.
12．【答案】212616
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：
，
当，时，，，，
∴产生的密码是212616或211626或262116或261621或162126或162621，
故答案为：212616（答案不唯一）．
【分析】先对进行因式分解得再把数值x=21，y=5代入计算得21、26、16对进行随机排列即可得答案．
13．【答案】解：原式=
=
=.
【知识点】因式分解的应用-简便运算
【解析】【分析】利用平方差公式将每一个因式变形后，先计算括号内的加减法，再计算乘法即可求解.
14．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）首先根据完全平方公式，将原式整理为，再结合平方差公式，进行因式分解，即可得到答案；
（2）根据题意，将原式整理为，然后提公因式，即可得到答案.
15．【答案】（1）解：；
原式
（2）解：
原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可．
16．【答案】（1）
（2）解：∵，，，∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∴（负根舍去），
∵阴影部分的面积为：
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：正方形的面积可表示为：，
还可以表示为：，
∴．
故答案为：；
【分析】（1）根据局部和整体表示正方形的面积即可解题论；
（2）利用（1）中结论计算解题；
（3）根据完全平方公式的变形得到，然后表示阴影部分的面积再因式分解，然后整体代入求值即可．
17．【答案】（1）解：
=x(3x-y)(3x+y)，
当x=10， y=10时，
3x-y=3×10-10=20，
3x+y=3×10+10=40，
这个个六位数密码是102040.（答案不唯一）
（2）解：能，理由为：
因为x = 25， 这个六位数密码为242527，
24=25-1，
所以其中一个因式是(x-1)，
27=25+2，
所以另外一个因式是(x+2)，
所以
-2x，
所以p=1， q=-2.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】(1)先提取公因式x，然后利用平方差公式将式子进行因式分解，将x=10，y=10代入求出三个因式的值，表示出密码即可；
(2)当x = 25时， 六位数密码为242527， 即另外两个因式的结果分别是24、27，所以另外两个因式表示为x﹣1、x+2， 所以这个因式表示为x(x﹣1)(x+2)， 据此求出p、q.
18．【答案】（1）解：（1）根据题意观察老师列的竖式发现：
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
（3）解：根据题意得：
∴
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
n=m+4=4．
∴m=0， n=4
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。
（2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值．
（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
．
（3）解：根据题意得：
∴，，
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，．
19．【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：原式，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴或或或
即整数p的值可能为5或或1或．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）根据例题仿写，即可求解；
（2）先提公因式，再根据例题仿写，即可求解；
（3）将常数进行分解即可求得．
20．【答案】20或2024
【知识点】因式分解的应用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，，
m，n均为正整数，91=191=713
或
或
或
故答案为：20或2024 .
【分析】根据题意可得，利用因式分解可得，由91=191=713可推出m、n的两个二元一次方程组，解之即可确定m、n值，进而可解.
21．【答案】165；1088
【知识点】因式分解的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）∵自然数A的个位数字不为0，
∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：，
故答案为：；
（2）由题意，设两位数M和N的十位数字均为，M的个位数字为，则N的个位数字为，且m为1至9的自然数，
，，
，，
∵，自然数A的个位数字不为0，
∴，
解得：，
∴为5 、4或者3，
∵，
∴，
∴为5或者4 ，
，即的分子是奇数，
当时，，分子是奇数，分母是偶数，则该数不是整数，
不符合题意，舍去；
当时，，
能被11整除，且m为1至9的自然数，
满足条件的整数只有3，
，
即，
故答案为：1088．
【分析】（1）利用“如意数”的定义判断解题；
（2）设两位数M和N的十位数字均为，M的个位数字为，则N的个位数字为，从而可得，，表示 ，根据题意可以求出、的值解答即可．
22．【答案】；或或
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）∵是四位正整数中千位上的数字，故若使得四位正整数是最小的“等等数”，
∴取最小的正整数是，取最小的整数是，
∵，
∴，
∴，．
∴最小的“等等数”是．
故答案为：；
（2）根据题意知：，，
∵，
∴，
∴当，，此时，；∵，则这个“等等数”是；
当，，此时，；∵，则这个“等等数”是；
当，，此时，；则这个“等等数”是；
∴满足条件的“等等数”是或或．
故答案为：或或．
【分析】（1）根据是千位上的数，以及最小的正整数是1和最小的四位数百位上是0，可求出和的值，结合题意即可求解
（2）根据题意得到：，，结合题意推得，分别写出满足等式的所有情况，结合题意分析即可求解．
23．【答案】（1），，；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，，
∴ 所得到的公式为，故答案为：，，；
【分析】（1）观察图形可知：S1=大正方形的面积-小正方形的面积，S2=长方形的面积，然后根据两面积相等可得公式；
（2）直接逆用（1）中的公式把原式每一项写成乘积的形式，从而可得，进而进行化简可得答案；
（3）在运算式前面乘以，再逐步使用公式进行计算即可．
（1）解：，，
可得公式：；
（2）
；
（3）
．
24．【答案】（1）解：原式
（2）解：
（3）解：∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）给整式前两项加上4可得到一个完全平方式，此时为保证整式大小不变，还得给后面的常数项减去4，恰好把这个二次三项式表示成两个整式平方差的形式，可直接利用平方差公式分解因式；
（2）由于和分别是两个平方式和的平方，且它们乘积的2倍即也是一个平方式，因此给原式加上再减去后可得到两个整式的平方差，利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（3）利用配方法可把等式的左边表示成两个非负数的和，由于它们的和为0，则每一个非负数都等于0．
25．【答案】（1）解：令，
则，
将“A”还原，可以得到：
原式；
（2）解：令，
则，
将“B”还原，可以得到：
原式
；
（3）解：
，
∵n为正整数，
∴正整数．
∵，
∴代数式的值一定是某个整数的平方．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣换元法
【解析】【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可；
（2）设，则原式后，再将B还原，最后再利用完全平方公式即可得到答案；
（3）先计算，再利用完全平方公式即可．
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