《创新课堂》9．2 正弦定理与余弦定理的应用 课件 高中数学必修四(人教B版)同步讲练测
文档属性
| 名称 | 《创新课堂》9．2 正弦定理与余弦定理的应用 课件 高中数学必修四(人教B版)同步讲练测 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
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文档简介
(共40张PPT)
9．2 正弦定理与余弦定理的应用
1.理解测量中有关名词、术语的确切含义． 2.能将实际问题转化为解三角形问题． 3.能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形．例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量．
思考 假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？
提示：问题转化为求不便到达的两点A，B之间的距离(如图)，可选定可到达位置C，D，用米尺测量CD＝m，用测量角度的工具测得∠ACB＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ACD＝θ，∠ADC＝φ，先在△BCD中求出BC，再在△ACD中求出AC，最后在△ABC中求AB即可．
一 实际测量中有关名词、术语
1．基线的概念与选取原则
(1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
(2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
2．测量中相关角的概念
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．
(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示).
(3)方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图2所示).
【即时练】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在测量中，选取的基线越短，测量的精确度越高．( )
(2)仰角与俯角都是目标视线与铅垂线所成的角．( )
(3)方位角的范围是(0，π).( )
(4)“视角”就是“仰角”．( )
×
×
×
×
2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的( )
A．东偏北45°10′方向上
B．东偏北44°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上
D．西偏南44°50′方向上
√
解析：如图所示，可知Q在P的南偏西44°50′方向上，故选C.
3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
解析：根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示．由图知α＝β.故选B.
√
分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．
√
(2)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________ km.
【解析】 因为A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，所以B＋D＝π，所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD· CD cos D＝52＋32－2×5×3cos D＝34－30cos D，①
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝52＋82－2×5×8cos B＝89－80cos B＝89＋80cos D，②
联立①②，解得AC＝7.
7
测量距离问题的基本类型及方案
类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达
图形
方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB
√
√
√
测量高度问题的基本类型及方案
类型 图形 方法
底部可达 测得BC＝a，∠BCA，AB＝a·tan ∠BCA
底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．在△ACD中，先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值
点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数．在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值
√
测量角度问题的解题思路
√
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．(教材P15T3改编)从地面上观察一处建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为( )
A．α＋β B．α－β
C．β－α D．α
解析：如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C.
√
√
1．已学习：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案．
2．须贯通：求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把实际问题转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法．
3．应注意：测量中有关术语的含义，如方位角、方向角．
9．2 正弦定理与余弦定理的应用
1.理解测量中有关名词、术语的确切含义． 2.能将实际问题转化为解三角形问题． 3.能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形．例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量．
思考 假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？
提示：问题转化为求不便到达的两点A，B之间的距离(如图)，可选定可到达位置C，D，用米尺测量CD＝m，用测量角度的工具测得∠ACB＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ACD＝θ，∠ADC＝φ，先在△BCD中求出BC，再在△ACD中求出AC，最后在△ABC中求AB即可．
一 实际测量中有关名词、术语
1．基线的概念与选取原则
(1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
(2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
2．测量中相关角的概念
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．
(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示).
(3)方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图2所示).
【即时练】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在测量中，选取的基线越短，测量的精确度越高．( )
(2)仰角与俯角都是目标视线与铅垂线所成的角．( )
(3)方位角的范围是(0，π).( )
(4)“视角”就是“仰角”．( )
×
×
×
×
2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的( )
A．东偏北45°10′方向上
B．东偏北44°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上
D．西偏南44°50′方向上
√
解析：如图所示，可知Q在P的南偏西44°50′方向上，故选C.
3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
解析：根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示．由图知α＝β.故选B.
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分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．
√
(2)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________ km.
【解析】 因为A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，所以B＋D＝π，所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD· CD cos D＝52＋32－2×5×3cos D＝34－30cos D，①
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝52＋82－2×5×8cos B＝89－80cos B＝89＋80cos D，②
联立①②，解得AC＝7.
7
测量距离问题的基本类型及方案
类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达
图形
方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB
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测量高度问题的基本类型及方案
类型 图形 方法
底部可达 测得BC＝a，∠BCA，AB＝a·tan ∠BCA
底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．在△ACD中，先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值
点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数．在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值
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测量角度问题的解题思路
√
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．(教材P15T3改编)从地面上观察一处建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为( )
A．α＋β B．α－β
C．β－α D．α
解析：如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C.
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1．已学习：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案．
2．须贯通：求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把实际问题转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法．
3．应注意：测量中有关术语的含义，如方位角、方向角．