沪科版数学七年级下册9.2分式的运算分层练习
一、基础夯实
1．计算 的结果是 ( )
A．1 B． C． D．
2．已知分式其中x≠±2，则A与B的关系是（ ）
A．A=B B．A=-B C．A>B D．A3．老师设计了接力游戏，通过合作的方式完成分式的化简.规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示.接力中，自己负责的一步出现错误的是 （ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
4．（2025七下·义乌月考）若，则（ ）
A．-5 B． C．-5或 D．-5或
5．（2025七下·奉化期末） 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值．
6．（2025七下·杭州期末） 先化简，再从，3，4中选取一个合适的数作为的值代入求值．
7．（2025七下·余姚期末）小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即， 通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为 .
8． 若 ， 则 的值为 .
9．小王化简 的过程如下：
解
第一步
第二步
第三步
第四步
……第五步
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
10．以下是某同学化简分式 的部分运算过程：
解：原式=
=
=
（1）上面的运算过程中第 步出现了错误， 原因是 .
（2） 请你写出完整的解答过程．
二、能力提升
11．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025七下·杭州月考）已知，，，，则P、Q、R的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
13．（2025七下·浙江月考）已知实数两两不相等，若，则（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
14．（2025七下·柯桥月考）已知（且），，，…，，若，则x的值为 ．
15．（2025七下·钱塘期末）
（1）若展开后不含x的一次项，求k的值．
（2）先化简，再求值：，其中．
16．（2025七下·柯桥期末）先化简，再求值：，其中a＝4．
17．（2025七下·余姚期末）先化简：，并在，，，中选一个合适的值代入求值．
18．（2025七下·温州期末）数学课上，老师要求同学们对进行化简，下面是小温及小州同学的部分运算过程：
小温同学的解法： 原式 =…… 小州同学的解法： 原式= =……
（1）小温同学解法的依据是 ，小州同学解法的依据 （填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③分配律；④乘法交换律.
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.
19．（2025七下·浙江月考）若三个非零实数满足，则 ．
20．（2023七下·柯桥期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式N是分式的“互联分式”．如与，因为，，所以是的“互联分式”．
（1）判断分式与分式是否是“互联分式”，请说明理由；
（2）小红在求分式的“互联分式”时，用了以下方法：
设的“互联分式”为，则，
，．
请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”．
（3）解决问题：
仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数，的值，使是的“互联分式”．
三、创新拓展
21．（2025七下·慈溪期末） 在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：
.
（1） 判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）：
① ( ) ；
② ( ) .
（2） 若分式 的值为整数，求满足条件的所有整数 a 的值.
（3） 若分式 和 的值同时为整数，求满足条件的所有实数 x 的值.
22．（2025七下·滨江期末） 小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知．
小滨：的值始终等于1．
小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2．
（1）试判断小滨的说法是否正确，并说明理由．
（2）在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）．
（i）值始终保持不变的代数式有： ▲ （填序号）；
根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式 ▲ ．
（ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由．
23．（2025七下·奉化期末） 若满足方程，则 ．
24．（2023七下·谯城期末）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由．
25．（2025七下·柯桥期末）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如：
①；
②；
③
（1）仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（2）仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（3）已知x、y均为正整数，，且M、N均为正数．若M+N＝3，请求出x、y的值．
26．（2023七下·谯城期末）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“完美分式”，常数称为“完美值”，如分式，，，则与互为“完美分式”，“完美值”．
（1）已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”；
（2）已知分式，，若与互为“完美分式”，且“完美值”，其中为正整数，分式的值为正整数．
①求所代表的代数式；
②求的值．
27．（2025七下·诸暨期末）规定一种新的运算“”，其中，x为正整数.其运算规则如下：①；②（其中b为常数）.
（1）计算： ， ；
（2）已知，求p，q的值.
（3）已知（其中m，n均不为0），化简并计算：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：=，
故答案为：B.
【分析】将（a-2）看成一个整体，再通分化简即可.
2．【答案】B
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴-B=.
∵
∴A=-B.
故答案为：B.
【分析】先通分计算B，再把所得结果和A比较，即可得到答案.
3．【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：甲的计算过程是对的，
乙的计算过程是错误的，在把1-x变形为x-1时，应为-(x-1)，
即为
丙的计算过程是对的，
丁的过程是错误的，应为.
故答案为：D
【分析】根据分式的运算法则进行计算即可。特别要注意在代数式变形过程中符号的变化，约分过程中各项的变化。
4．【答案】D
【知识点】比的性质；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：设，
当a+b+c≠0时，，，
代入，得
当a+b+c=0时，有c=-(a+b)，代入，得
故答案为：D.
【分析】将三个相等的分式设为同一常数k，建立方程组，分两种情况处理：当a+b+c≠0时，利用等比定理求出k的值，代入目标式化简；当a+b+c=0时，通过变量替换直接计算目标式的值.
5．【答案】解：原式=，
，
当时，原式==.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】利用分式的基本性质进行化简，再代入x的值求得代数式的值，其中要注意分式有意义时x的取值范围.
6．【答案】解：原式=
=
把x=-4代入，得原式=
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先通过通分，将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减，再按照同分母分式的加减法则以及分式的乘除法法则进行化简，代入合适的数计算分式的值时，也要考虑避免使分母为零。
7．【答案】
【知识点】分式的除法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】根据被除式、除式和商式之间的关系可知，被污染的代数式（除式）等于被除式除以商式，然后计算并化简即可。
8．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：原式==
∵
∴
∴，
当时，原式=．
故答案为：
【分析】先化简待求值的式子，得出结果ab-b2； 此时观察条件式，可发现含有ab、b2以及常数项， 对条件式进行变形处理后即得到ab-b2的值.
9．【答案】因式分解；三；
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
小王计算的第一步是将第一个分式的分母利用平方差公式分解因式；计算过程的第三步出现了错误，错在分子相减的时候，应该是减去第二个分子整体，所以各项应该变号；正确的计算结果是.
故答案为：因式分解；三；.
【分析】根据异分母分式的减法法则，首先将第一个分式的分母利用平方差公式分解因式，确定出各个分母的最简公分母(x+2)(x-2)，然后将第二个分式的分子、分母同时乘以x-2通分为同分母分式，然后按照同分母分式的减法法则：分母不变，分子相减进行计算，最后约分化简得出结果后即可逐项判断得出答案.
10．【答案】（1）③；分子相减时未变号
（2）解：原式
=]×
=
×
=
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）、运算过程中第③步出现错误，分子相减时未变号，因为分子相减时应为x+1-(x-2)，即x+1-x+2.
故答案为：③；分子相减时未变号.
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=
=
=，
故答案为：B.
【分析】根据分式的混合运算法则并结合平方差公式，即可求解.
12．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： 由题意得：P＞1，Q＜1，R＜1，
∵Q-R=，
∴Q＜R，
故答案为：C.
【分析】 先判断P>1，为三者当中最大的数，再对Q，R作差利用分式的减法的法则进行求解即可.
13．【答案】B
【知识点】分式的化简求值-设参数法
【解析】【解答】解：设
故答案为：B.
【分析】由于两两不相等，因此可设比值为，则可分别表示出，再求它们的和即可.
14．【答案】-2024
【知识点】分式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
，
，
由此发现规律，即3个为一组，以、、-x循环；
∴2024÷3=672余2，
即，解得x=-2024
故答案为：-2024 .
【分析】本题主要考查分式的计算以及规律的寻找。
首先根据，代入可以依次计算并表示出a2、a3、a4，这时可以发现规律，即3个为一组，以、、-x循环；然后找到a2024对应的分式，计算即可求出x的值。
15．【答案】（1）解：
=
=
∵展开后不含x的一次项，
∴2k-6=0，解得k=3
（2）解：原式=
=
=
当 时，
原式=
=-2
【知识点】整式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法法则计算并合并同类项，利用多项式不含x的一次项得到2k-6=0，即可计算出k的值；
（2）利用分式的基本性质通分并计算，再把除法运算化为乘法运算约分即可化简求值.
16．【答案】解：
，
当a＝4时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用异分母分式的加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答.
17．【答案】解：原式=，
=，
=，
=，
∵ a-2≠0，a2-1≠0，a-1≠0，
∴ a≠-1，1，2，
∴ a=-2，
原式=.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先通分计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后计算减法即可，根据分式有意义的条件可得a-2≠0，a2-1≠0，a-1≠0可确定a的值，将其代入化简后的式子求值即可.
18．【答案】（1）②；③
（2）解：小温同学的解法：
原式=
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】 （1）小温同学利用分式的基本性质，先把括号内通分，再约分；小州同学利用乘法的分配律先约分，再进行同分母的加法运算；
（2）先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，然后约分即可．
19．【答案】0
【知识点】分式的化简求值-设参数法
【解析】【解答】解：设
原式＝
故答案为：0.
【分析】先设，则可分别用含m的代数式表示出a、b、c，再把a、b、c代入到所求代数式中进行计算即可.
20．【答案】（1）解：分式与分式是“互联分式”，理由如下：
∵，，
∴分式是分式的“互联分式”，
（2）解：设的“互联分式”为，则，
∴，
∴．
（3）解：由（1）（2）可得，的“互联分式”是，
∵是的“互联分式”
∴，
整理得
解得．
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用分式的减法法则化简，根据分式的乘法法则计算，然后结合“互联分式”的概念进行判断；
（2）设的“互联分式”为N，则-N=×N，代入求解即可；
（3）由（1）（2）可得：的“互联分式”是，结合题意可得4b+2=4a-2且bx+b=bx+a+4b+2，联立求解可得a、b的值.
21．【答案】（1）是；否
（2）解：因为的值为整数，所以为7的因数
，
而a为正整数，所以或者8
（3）解： 设(m为整数)，
则
为整数，为整数，
为1，7，-1，-7
当时，；
当时，，；
当时，，舍去；
当时，，舍去；
综上或.
【知识点】分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】解：（1）①，所以“是”；
②，所以“否”.
【分析】（1）①将原式根据题目例题变形并计算后进行判断即可；②将原式根据题目例题变形并计算后进行判断即可；
（2）将原式根据题目例题变形并计算，根据题意确定符合题意的正整数a即可；
（3）设 ，带入 后转化成关于m的分式，然后根据题目例题变形得到，然后讨论满足m，都是整数的值即可.
22．【答案】（1）解：小滨的说法正确，理由如下：
∴小滨的说法正确
（2）解：（i）①②④；；
∴当 时， 有最小值，最小值为9，
∴当 时， 有最大值，最大值为
∴当 时， 有最小值，最小值为
无最大值，
无最小值，即 没有最大值，
有最小值 没有最大值
【知识点】分式的化简求值-整体代入；分式的化简求值-其他方法
【解析】【解析】
③当 时，
当 时，
的值不是定值；
∴①②④是定值，③不是定值；
满足题意的式子可以为
证明如下：
故答案为： ①②④；
【分析】(1)把所求分式变形为 再把第一个分式约分，再计算分式加法即可得到结论；
(2)(i)把①变形为 再把第一个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；把②变形为 再把两个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；分别求出 和 ， 时③的结果即可得到结论；把④中的两个分式通分化简即可得到结论；
(ii)把 通分得到 进一步得到 再证明 从而得到当 时， 有最小值，最小值为9，且 无最大值，据此可得结论.
23．【答案】2
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：2.
【分析】对方程进行变形可得，再将其整体代入代数式中，通过通分化简求得代数式的值.
24．【答案】（1）
（2）解：猜想第个等式为．
理由：左边
，
∴左边=右边，
∴等式成立．
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）第1个等式：；
第2个等式：；
第2个等式：；
......
第6个式子：；
故答案为：；
【分析】（1）根据所给的式子找出规律：第一项分子都是1，分母分别为：1+2，2+2，3+2，4+2......故第6个式子的第一项为：；第二项的分子都是2，分母分别为：12+2×1，22+2×2，32+2×3......故第6个式子的第二项为：；等式右边，分别为：故第6个式子的右边为：，所以可得第6个式子为：+=。
（2）根据（1）所找的规律，写出第n个式子，并根据分式的加法运算法则，证明等式成立。
25．【答案】（1）解：1；
2（x﹣1）；
（2）解：
＝x2
＝x2﹣3x+9；
（3）解：∵1，
1，
因为M+N＝3，
所以113，
即1，
令x﹣5＝a，7y﹣5＝b，
∴，
∴ab﹣5a﹣5b＝0，
∴ab﹣5a﹣5b+25＝25，
∴（ab﹣5a）﹣（5b﹣25）＝25，
∴a（b﹣5）﹣5（b﹣5）＝25，
∴（a﹣5）（b﹣5）＝25，
∵M、N均为正数，x、y均为正整数，
∴a，b为正整数，
∴或或，
∴或（此时y，舍去）或（此时y，舍去），
∴a＝6，b＝30，
∴x＝11，y＝5，
经检验，符合题意，
∴x＝11，y＝5．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】(1)仿照示例，把分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式即可；
(2)分步进行，仿照示例，把分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式即可；
(3)先把分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，结合M、N均为正数，x、y均为正整数，转化为求方程整数解的情况，得到结果.
26．【答案】（1）解：∵，
∴A与B是“完美分式”，且“完美值”；
（2）解：①∵与互为“完美分式”，
∴，
，
，
∴；
②∵，
∴．
∵为正整数，分式的值为正整数，
∴．
【知识点】分式的加减法；定义新运算
【解析】【分析】（1）计算A+B，根据运算结果，可判断是不是"完美分式"并得出"完美值"；
（2）①根据"完美分式"的定义，以及"完美值"，列式可求得E所表示的代数式；
②由①知：D=，化简得：D=，根据D为正整数，x也为正整数，可得x的值。
27．【答案】（1）；
（2）解：由题意可将等式化为
整理得
于是，解得
（3）解：由题意等量关系可化为
整理得
于是，即有，代入得
原式=
【知识点】含乘方的分式混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：（1）3=3，；
【分析】(1)直接根据题目所给信息进行填空即可；
(2)由题意可列关于a的方程，左右对照即可知p、q的值；
(3)根据题意将等量关系转化为关于a的式子，再整体代入即可化简代数式.
1 / 1沪科版数学七年级下册9.2分式的运算分层练习
一、基础夯实
1．计算 的结果是 ( )
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：=，
故答案为：B.
【分析】将（a-2）看成一个整体，再通分化简即可.
2．已知分式其中x≠±2，则A与B的关系是（ ）
A．A=B B．A=-B C．A>B D．A【答案】B
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴-B=.
∵
∴A=-B.
故答案为：B.
【分析】先通分计算B，再把所得结果和A比较，即可得到答案.
3．老师设计了接力游戏，通过合作的方式完成分式的化简.规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示.接力中，自己负责的一步出现错误的是 （ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：甲的计算过程是对的，
乙的计算过程是错误的，在把1-x变形为x-1时，应为-(x-1)，
即为
丙的计算过程是对的，
丁的过程是错误的，应为.
故答案为：D
【分析】根据分式的运算法则进行计算即可。特别要注意在代数式变形过程中符号的变化，约分过程中各项的变化。
4．（2025七下·义乌月考）若，则（ ）
A．-5 B． C．-5或 D．-5或
【答案】D
【知识点】比的性质；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：设，
当a+b+c≠0时，，，
代入，得
当a+b+c=0时，有c=-(a+b)，代入，得
故答案为：D.
【分析】将三个相等的分式设为同一常数k，建立方程组，分两种情况处理：当a+b+c≠0时，利用等比定理求出k的值，代入目标式化简；当a+b+c=0时，通过变量替换直接计算目标式的值.
5．（2025七下·奉化期末） 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值．
【答案】解：原式=，
，
当时，原式==.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】利用分式的基本性质进行化简，再代入x的值求得代数式的值，其中要注意分式有意义时x的取值范围.
6．（2025七下·杭州期末） 先化简，再从，3，4中选取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】解：原式=
=
把x=-4代入，得原式=
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先通过通分，将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减，再按照同分母分式的加减法则以及分式的乘除法法则进行化简，代入合适的数计算分式的值时，也要考虑避免使分母为零。
7．（2025七下·余姚期末）小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即， 通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为 .
【答案】
【知识点】分式的除法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】根据被除式、除式和商式之间的关系可知，被污染的代数式（除式）等于被除式除以商式，然后计算并化简即可。
8． 若 ， 则 的值为 .
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：原式==
∵
∴
∴，
当时，原式=．
故答案为：
【分析】先化简待求值的式子，得出结果ab-b2； 此时观察条件式，可发现含有ab、b2以及常数项， 对条件式进行变形处理后即得到ab-b2的值.
9．小王化简 的过程如下：
解
第一步
第二步
第三步
第四步
……第五步
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
【答案】因式分解；三；
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
小王计算的第一步是将第一个分式的分母利用平方差公式分解因式；计算过程的第三步出现了错误，错在分子相减的时候，应该是减去第二个分子整体，所以各项应该变号；正确的计算结果是.
故答案为：因式分解；三；.
【分析】根据异分母分式的减法法则，首先将第一个分式的分母利用平方差公式分解因式，确定出各个分母的最简公分母(x+2)(x-2)，然后将第二个分式的分子、分母同时乘以x-2通分为同分母分式，然后按照同分母分式的减法法则：分母不变，分子相减进行计算，最后约分化简得出结果后即可逐项判断得出答案.
10．以下是某同学化简分式 的部分运算过程：
解：原式=
=
=
（1）上面的运算过程中第 步出现了错误， 原因是 .
（2） 请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）③；分子相减时未变号
（2）解：原式
=]×
=
×
=
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）、运算过程中第③步出现错误，分子相减时未变号，因为分子相减时应为x+1-(x-2)，即x+1-x+2.
故答案为：③；分子相减时未变号.
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.
二、能力提升
11．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=
=
=，
故答案为：B.
【分析】根据分式的混合运算法则并结合平方差公式，即可求解.
12．（2025七下·杭州月考）已知，，，，则P、Q、R的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： 由题意得：P＞1，Q＜1，R＜1，
∵Q-R=，
∴Q＜R，
故答案为：C.
【分析】 先判断P>1，为三者当中最大的数，再对Q，R作差利用分式的减法的法则进行求解即可.
13．（2025七下·浙江月考）已知实数两两不相等，若，则（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
【答案】B
【知识点】分式的化简求值-设参数法
【解析】【解答】解：设
故答案为：B.
【分析】由于两两不相等，因此可设比值为，则可分别表示出，再求它们的和即可.
14．（2025七下·柯桥月考）已知（且），，，…，，若，则x的值为 ．
【答案】-2024
【知识点】分式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
，
，
由此发现规律，即3个为一组，以、、-x循环；
∴2024÷3=672余2，
即，解得x=-2024
故答案为：-2024 .
【分析】本题主要考查分式的计算以及规律的寻找。
首先根据，代入可以依次计算并表示出a2、a3、a4，这时可以发现规律，即3个为一组，以、、-x循环；然后找到a2024对应的分式，计算即可求出x的值。
15．（2025七下·钱塘期末）
（1）若展开后不含x的一次项，求k的值．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：
=
=
∵展开后不含x的一次项，
∴2k-6=0，解得k=3
（2）解：原式=
=
=
当 时，
原式=
=-2
【知识点】整式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法法则计算并合并同类项，利用多项式不含x的一次项得到2k-6=0，即可计算出k的值；
（2）利用分式的基本性质通分并计算，再把除法运算化为乘法运算约分即可化简求值.
16．（2025七下·柯桥期末）先化简，再求值：，其中a＝4．
【答案】解：
，
当a＝4时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用异分母分式的加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答.
17．（2025七下·余姚期末）先化简：，并在，，，中选一个合适的值代入求值．
【答案】解：原式=，
=，
=，
=，
∵ a-2≠0，a2-1≠0，a-1≠0，
∴ a≠-1，1，2，
∴ a=-2，
原式=.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先通分计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后计算减法即可，根据分式有意义的条件可得a-2≠0，a2-1≠0，a-1≠0可确定a的值，将其代入化简后的式子求值即可.
18．（2025七下·温州期末）数学课上，老师要求同学们对进行化简，下面是小温及小州同学的部分运算过程：
小温同学的解法： 原式 =…… 小州同学的解法： 原式= =……
（1）小温同学解法的依据是 ，小州同学解法的依据 （填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③分配律；④乘法交换律.
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.
【答案】（1）②；③
（2）解：小温同学的解法：
原式=
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】 （1）小温同学利用分式的基本性质，先把括号内通分，再约分；小州同学利用乘法的分配律先约分，再进行同分母的加法运算；
（2）先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，然后约分即可．
19．（2025七下·浙江月考）若三个非零实数满足，则 ．
【答案】0
【知识点】分式的化简求值-设参数法
【解析】【解答】解：设
原式＝
故答案为：0.
【分析】先设，则可分别用含m的代数式表示出a、b、c，再把a、b、c代入到所求代数式中进行计算即可.
20．（2023七下·柯桥期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式N是分式的“互联分式”．如与，因为，，所以是的“互联分式”．
（1）判断分式与分式是否是“互联分式”，请说明理由；
（2）小红在求分式的“互联分式”时，用了以下方法：
设的“互联分式”为，则，
，．
请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”．
（3）解决问题：
仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数，的值，使是的“互联分式”．
【答案】（1）解：分式与分式是“互联分式”，理由如下：
∵，，
∴分式是分式的“互联分式”，
（2）解：设的“互联分式”为，则，
∴，
∴．
（3）解：由（1）（2）可得，的“互联分式”是，
∵是的“互联分式”
∴，
整理得
解得．
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用分式的减法法则化简，根据分式的乘法法则计算，然后结合“互联分式”的概念进行判断；
（2）设的“互联分式”为N，则-N=×N，代入求解即可；
（3）由（1）（2）可得：的“互联分式”是，结合题意可得4b+2=4a-2且bx+b=bx+a+4b+2，联立求解可得a、b的值.
三、创新拓展
21．（2025七下·慈溪期末） 在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：
.
（1） 判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）：
① ( ) ；
② ( ) .
（2） 若分式 的值为整数，求满足条件的所有整数 a 的值.
（3） 若分式 和 的值同时为整数，求满足条件的所有实数 x 的值.
【答案】（1）是；否
（2）解：因为的值为整数，所以为7的因数
，
而a为正整数，所以或者8
（3）解： 设(m为整数)，
则
为整数，为整数，
为1，7，-1，-7
当时，；
当时，，；
当时，，舍去；
当时，，舍去；
综上或.
【知识点】分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】解：（1）①，所以“是”；
②，所以“否”.
【分析】（1）①将原式根据题目例题变形并计算后进行判断即可；②将原式根据题目例题变形并计算后进行判断即可；
（2）将原式根据题目例题变形并计算，根据题意确定符合题意的正整数a即可；
（3）设 ，带入 后转化成关于m的分式，然后根据题目例题变形得到，然后讨论满足m，都是整数的值即可.
22．（2025七下·滨江期末） 小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知．
小滨：的值始终等于1．
小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2．
（1）试判断小滨的说法是否正确，并说明理由．
（2）在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）．
（i）值始终保持不变的代数式有： ▲ （填序号）；
根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式 ▲ ．
（ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）解：小滨的说法正确，理由如下：
∴小滨的说法正确
（2）解：（i）①②④；；
∴当 时， 有最小值，最小值为9，
∴当 时， 有最大值，最大值为
∴当 时， 有最小值，最小值为
无最大值，
无最小值，即 没有最大值，
有最小值 没有最大值
【知识点】分式的化简求值-整体代入；分式的化简求值-其他方法
【解析】【解析】
③当 时，
当 时，
的值不是定值；
∴①②④是定值，③不是定值；
满足题意的式子可以为
证明如下：
故答案为： ①②④；
【分析】(1)把所求分式变形为 再把第一个分式约分，再计算分式加法即可得到结论；
(2)(i)把①变形为 再把第一个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；把②变形为 再把两个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；分别求出 和 ， 时③的结果即可得到结论；把④中的两个分式通分化简即可得到结论；
(ii)把 通分得到 进一步得到 再证明 从而得到当 时， 有最小值，最小值为9，且 无最大值，据此可得结论.
23．（2025七下·奉化期末） 若满足方程，则 ．
【答案】2
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：2.
【分析】对方程进行变形可得，再将其整体代入代数式中，通过通分化简求得代数式的值.
24．（2023七下·谯城期末）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由．
【答案】（1）
（2）解：猜想第个等式为．
理由：左边
，
∴左边=右边，
∴等式成立．
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）第1个等式：；
第2个等式：；
第2个等式：；
......
第6个式子：；
故答案为：；
【分析】（1）根据所给的式子找出规律：第一项分子都是1，分母分别为：1+2，2+2，3+2，4+2......故第6个式子的第一项为：；第二项的分子都是2，分母分别为：12+2×1，22+2×2，32+2×3......故第6个式子的第二项为：；等式右边，分别为：故第6个式子的右边为：，所以可得第6个式子为：+=。
（2）根据（1）所找的规律，写出第n个式子，并根据分式的加法运算法则，证明等式成立。
25．（2025七下·柯桥期末）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如：
①；
②；
③
（1）仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（2）仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（3）已知x、y均为正整数，，且M、N均为正数．若M+N＝3，请求出x、y的值．
【答案】（1）解：1；
2（x﹣1）；
（2）解：
＝x2
＝x2﹣3x+9；
（3）解：∵1，
1，
因为M+N＝3，
所以113，
即1，
令x﹣5＝a，7y﹣5＝b，
∴，
∴ab﹣5a﹣5b＝0，
∴ab﹣5a﹣5b+25＝25，
∴（ab﹣5a）﹣（5b﹣25）＝25，
∴a（b﹣5）﹣5（b﹣5）＝25，
∴（a﹣5）（b﹣5）＝25，
∵M、N均为正数，x、y均为正整数，
∴a，b为正整数，
∴或或，
∴或（此时y，舍去）或（此时y，舍去），
∴a＝6，b＝30，
∴x＝11，y＝5，
经检验，符合题意，
∴x＝11，y＝5．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】(1)仿照示例，把分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式即可；
(2)分步进行，仿照示例，把分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式即可；
(3)先把分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，结合M、N均为正数，x、y均为正整数，转化为求方程整数解的情况，得到结果.
26．（2023七下·谯城期末）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“完美分式”，常数称为“完美值”，如分式，，，则与互为“完美分式”，“完美值”．
（1）已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”；
（2）已知分式，，若与互为“完美分式”，且“完美值”，其中为正整数，分式的值为正整数．
①求所代表的代数式；
②求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴A与B是“完美分式”，且“完美值”；
（2）解：①∵与互为“完美分式”，
∴，
，
，
∴；
②∵，
∴．
∵为正整数，分式的值为正整数，
∴．
【知识点】分式的加减法；定义新运算
【解析】【分析】（1）计算A+B，根据运算结果，可判断是不是"完美分式"并得出"完美值"；
（2）①根据"完美分式"的定义，以及"完美值"，列式可求得E所表示的代数式；
②由①知：D=，化简得：D=，根据D为正整数，x也为正整数，可得x的值。
27．（2025七下·诸暨期末）规定一种新的运算“”，其中，x为正整数.其运算规则如下：①；②（其中b为常数）.
（1）计算： ， ；
（2）已知，求p，q的值.
（3）已知（其中m，n均不为0），化简并计算：.
【答案】（1）；
（2）解：由题意可将等式化为
整理得
于是，解得
（3）解：由题意等量关系可化为
整理得
于是，即有，代入得
原式=
【知识点】含乘方的分式混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：（1）3=3，；
【分析】(1)直接根据题目所给信息进行填空即可；
(2)由题意可列关于a的方程，左右对照即可知p、q的值；
(3)根据题意将等量关系转化为关于a的式子，再整体代入即可化简代数式.
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