《创新课堂》10．1.1　复数的概念 课件 高中数学必修四(人教B版)同步讲练测

(共31张PPT)
第十章　复　数
10．1　复数及其几何意义
10．1.1　复数的概念
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．　2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．　3.掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
数系的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：
因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解；
因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解；
因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解．
思考　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解．那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？
提示：能．引入虚数单位i，使i2＝－1，则方程x2＝－1的解为x＝±i.
一　复数的有关概念
1．定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．其中称i为________，满足i2＝________．
2．表示方法：复数一般用小写字母z表示，即___________________，其中________称为z的实部，________称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b.
3．复数集：所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}．
虚数单位
－1
z＝a＋bi(a，b∈R)
a
b
【即时练】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数z＝1－i的实部是1，虚部是－i.(　　)
(2)方程x2＋1＝0的解为x＝±i.(　　)
×
√
2．复数z＝1－2i的虚部是(　　)
A．2　　　B．－2 C．2i D．－2i
解析：虚部不带i，z＝1－2i的虚部是－2.
3．若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝________．
解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4.
答案：4
√
在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部，特别注意，b连同它的符号叫做复数的虚部．
实数
虚数
a＝0
a≠0
2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【变式探究】
(设问变式)本例条件不变，则当z＞0时，m的值为(　　)
A．1 B．5 C．－2 D．3
√
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，得到实部与虚部，再求解．
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．
[跟踪训练1] (1)已知i是虚数单位，复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为(　　)
A．2 B．－2 C．±2 D．4
√
√
a＝c且b＝d
a＝0且b＝0
　(1)若xi－2i2＝y＋2yi，x，y∈R，则复数x＋yi＝(　　)
A．－2＋i B．4＋2i
C．1－2i D．1＋2i
√
(2)(2024·丹东月考)若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
√
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解；
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
[跟踪训练2] (1)(多选)下列说法正确的是(　　)
A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B．ai是纯虚数(a∈R)
C．如果复数x＋yi(x，y∈R)是实数，那么x＝0，y＝0
D．复数a＋bi(a，b∈R)可能是实数
√
√
解析：若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，即这两个复数相等，故A正确；
当a＝0时，ai＝0是实数，故B错误；
要使复数x＋yi(x，y∈R)是实数，只需y＝0，所以C错误；当b＝0时，复数a＋bi是实数，故D正确．
(2)已知x－2y＋3＋(x＋y)i＝0，x，y∈R，则x＝____，y＝____．
－1
1
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．设i是虚数单位，若复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，则实数a＝(　　)
A．5　　　　 B．－5 C．3 D．－3
解析：因为复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，所以3＋2a＝－(2－3a)，解得a＝5.
√
2．(教材P28练习AT4改编)若实数x，y满足x＋y＋(x－y)i＝2，则xy的值是(　　)
A．－2　　 B．2 C．1　　 D．－3
3．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝____________．
－4
4．(教材P28练习BT2改编)当实数m取什么值时，复数z＝(m2＋m－6)＋(m2－m－2)i(m∈R)是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
1．已学习：数系的扩充、复数的概念及分类、复数相等的充要条件．
2．须贯通：两个复数一般不能比较大小，如有大小关系，则它们一定是实数；两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等；复数问题实数化是求解复数的基本方法，体现了转化与化归的数学思想．
3．应注意：(1)复数代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)是否规范；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件是b≠0且a＝0.