《创新课堂》10．2.2　复数的乘法与除法 课件 高中数学必修四(人教B版)同步讲练测

(共35张PPT)
10．2.2　复数的乘法与除法
1.掌握复数代数形式的乘、除运算．　2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)·(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，类比多项式的乘法，能否得到复数的乘法法则？
思考1　怎样定义复数的乘法？
提示：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
思考2　猜想复数的乘法满足哪些运算律？
提示：猜想，对于任意z1，z2，z3∈C，有：
(1)交换律：z1z2＝z2z1；
(2)结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；
(3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
一　复数的乘法
1．运算法则：一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_________________．
2．运算律：对于任意复数z1，z2，z3，有
交换律 z1z2＝______________
结合律 (z1z2)z3＝_____________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_____________
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
　计算：
(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；
(3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)，其中a，b∈R.
【解】　(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
(3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)
＝(a2＋b2)(a2＋b2)＝a4＋2a2b2＋b4.
(1)两个复数代数形式乘法运算的一般方法
首先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R).
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
③(1±i)2＝±2i.
[跟踪训练1] (1)复数z＝(－1＋3i)(1－i)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：z＝(－1＋3i)(1－i)＝2＋4i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限．
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√
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√
(1)两个复数代数形式的除法运算步骤
①首先将除式写为分式；
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
√
√
√
z1＋z2＝－1，C错误；
z1z2＝1，D正确．
(2)已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则ab＝________．
4
[跟踪训练3] (1)已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0(q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为(　　)
A．2i＋3 B．－2i－3
C．2i－3 D．－2i＋3
解析：根据题意，方程的另一个根为－6－(2i－3)＝－3－2i.故选B.
√
(2)若关于x的方程x2－kx＋3＝0有虚数根，则实数k的取值范围是____________________．
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
√
√
√
解析：易知两个虚数根的实部相等，虚部互为相反数，所以另一个根为－3－4i，A正确；
又(－3＋4i)(－3－4i)＝25＝q，即q＝25，又－6＝－p，解得p＝6，所以pq＝150，p－q＝－19，B错误，C正确；
1
5．已知2i＋a(a∈R)是方程2x2－12x＋b＝0的一个虚数根，则实数b＝________．
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1．已学习：复数代数形式的乘、除运算及复数范围内解方程．
2．须贯通：复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；复数的除法运算要“分母实数化”，类似于实数运算的“分母有理化”；与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等把复数问题转化为实数问题求解，根与系数的关系仍然成立．
3．应注意：(1)在复数的运算中忽视i2＝－1造成运算失误；
(2)实系数一元二次方程的虚数根成对出现，且互为共轭复数．