《创新课堂》11.4.1　第2课时　直线与平面垂直的性质及线面角 课件 高中数学必修四(人教B版)同步讲练测

(共37张PPT)
11．4.1　直线与平面垂直
第2课时　直线与平面垂直的性质及线面角
1.理解直线和平面垂直的性质定理，会应用性质定理判断两条直线的平行．　2.掌握直线与平面所成的角，会求空间中的距离．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，把这个结论推广到空间有如下结论：
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行．
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行．
思考　这两个结论是否正确？
提示：结论(1)错误，结论(2)正确．
一　直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于________平面的两条直线平行
符号语言 若l⊥α，m⊥α，则l∥m
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线
点拨　直线垂直于平面，则该直线垂直于平面内的所有直线．
同一个
　如图，在正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
【证明】　如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD，
因为DD1⊥平面ABCD，　
AC 平面ABCD，
所以DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，
DD1，BD 平面BDD1B1，
所以AC⊥平面BDD1B1，
又BD1 平面BDD1B1，
所以AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，
所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥A1D，A1D∥B1C，所以EF⊥B1C.
又因为EF⊥AC，AC∩B1C＝C，
AC，B1C 平面AB1C，
所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1.
线面垂直性质定理应用的关注点
(1)适用前提：已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直；证明的关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面．
(2)注意：证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．
[跟踪训练1] 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.求证：AE∥MN.
证明：因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
所以AE⊥AB.又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，
PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
二　直线与平面所成的角
1.如图，AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，则△ABC是直角三角形，其中AB⊥BC.另外，因为B为A在平面α内的射影，所以直线BC称为直线AC在平面α内的射影．特别地，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角．
2．关于线面角的说明
规定 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是________
范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是_______________
90°　
0°　
0°≤θ≤90°
　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，C1A交A1C于点O，∠BAC＝90°.
(1)求证：C1A⊥平面A1B1C；
【解】　证明：在正方形ACC1A1中，C1A⊥A1C，因为∠BAC＝90°，所以AB⊥AC，
又因为侧面ABB1A1是正方形，所以AB⊥AA1，
因为AC∩AA1＝A，AC，AA1 平面ACC1A1，
所以AB⊥平面ACC1A1，而C1A 平面ACC1A1，
则AB⊥C1A，而A1B1∥AB，
所以A1B1⊥C1A，而A1B1∩A1C＝A1，
又A1B1，A1C 平面A1B1C，
所以C1A⊥平面A1B1C.
(2)求直线B1C1与平面A1B1C所成的角．
求直线与平面所成的角的步骤
√
解析：过点C1作C1O⊥B1D1于点O，连接OB，
由长方体的性质知，BB1⊥平面A1B1C1D1，又C1O 平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥C1O，
因为B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1 平面BB1D1D，
所以C1O⊥平面BB1D1D，
所以∠C1BO即为直线BC1与平面BB1D1D所成的角．
在Rt△B1C1D1中，B1C1·C1D1＝B1D1·C1O，
三　直线与平面垂直的综合应用
(1)求证：AB⊥平面ADD1A1；
(2)求四棱锥C-BDD1B1的体积．
(1)线线、线面垂直问题的解题策略
证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，由此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面．
(2)空间中距离的转化
①利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的某一点到平面的距离．
②利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．
③通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．
[跟踪训练3] 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，AB＝AC，F是B1C1的中点，点E在棱CC1上．
(1)证明：A1F⊥B1E；
解：证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，易证CC1⊥A1F，
又AB＝AC，即A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1，又CC1∩B1C1＝C1，CC1，
B1C1 平面B1C1CB，
所以A1F⊥平面B1C1CB，
因为B1E 平面B1C1CB，所以A1F⊥B1E.
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
1．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直
B.过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直
C.过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行
D.过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直
解析：由线面垂直的性质及线面平行的性质知A，B，C正确；
过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直，D错误．
√
√
√
2．已知直线AB交平面α于点O(A，B在平面同一侧)，AB＝2OA，AC⊥平面α，BD⊥平面α，若AC＝1，则BD＝__________．
解析：如图，因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，则AC∥BD，又AB＝2OA，故BD＝3AC＝3.
3
45°
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE.
证明：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.因为AE 平面PAD，所以CD⊥AE.
又因为AE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为l⊥平面PCD，
所以l∥AE.
1．已学习：直线与平面垂直的性质定理、直线与平面所成的角、距离问题．
2．须贯通：(1)直线与平面垂直的性质定理提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的理论根据；
(2)求直线与平面所成的角的步骤：一作、二证、三求、四答，其中作出线面角是关键，而确定斜线在平面上的射影是作角的突破口．
3．应注意：两条直线必须垂直于同一个平面或分别垂直于两个平行平面才有平行关系．