《创新课堂》11.4.2　第1课时　课后达标检测 课件 高中数学必修四(人教B版)同步讲练测

(共33张PPT)
课后达标检测
√
1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1＝BC，P为C1D1的中点，则二面角B-PC1-C的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，PC1⊥平面BCC1B1，CC1，BC1 平面BCC1B1，所以PC1⊥CC1，PC1⊥BC1，所以∠BC1C即为二面角B-PC1-C的平面角．又BB1＝BC，所以CC1＝BC，所以∠BC1C＝45°.
√
2．已知直线l⊥平面α，则过l与α垂直的平面　(　　)
A.有1个 B．有2个
C.有无数个 D．不存在
解析：由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．
√
3．如图，在三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，且△BCD是锐角三角形，那么必有(　　)
A.平面ABD⊥平面ADC
B.平面ABD⊥平面ABC
C.平面ADC⊥平面BCD
D.平面ABC⊥平面BCD
解析：因为AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B，BC，BD 平面BCD，所以AD⊥平面BCD，因为AD 平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD，故C正确；
由△BCD为锐角三角形知A错误；
易知B，D错误．故选C.
√
4．已知锐二面角α-l-β，P∈α，点P到β的距离为m，点P到l的距离为2m，则二面角的α-l-β的大小为(　　)
A.75° B．60°
C.45° D．30°
√
5．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后的△ABC是(　　)
A.等边三角形 B．直角三角形
C.锐角(非等边)三角形 D．钝角三角形
√
6.(多选)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断正确的是(　　)
A.BC⊥平面PAC
B.AE⊥EF
C.AC⊥PB
D.平面AEF⊥平面PBC
√
√
解析：对于A，由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，BC 底面圆，得PA⊥BC.又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC，A正确；
对于B，因为AE 平面PAC，所以BC⊥AE，又AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC 平面PBC，所以AE⊥平面PBC.又EF 平面PBC，所以AE⊥EF，B正确；
对于C，由B可知AE⊥平面PBC，AE与AC相交，因而AC与平面PBC不垂直，所以AC⊥PB不成立，C错误；
对于D，由B可知，AE⊥平面PBC，又AE 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC，D正确．
7．正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为____________．
8．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是____________．
解析：因为PA＝PB＝PC，所以P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上，又Rt△ABC的外心为BC的中点，设为O，则PO⊥平面ABC，又PO 平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.
垂直
9.(2024·威海月考)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，AC∩BD＝O，M是PC上的一动点，当点M满足_____________________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
DM⊥PC(答案不唯一)
解析：由题知底面ABCD为菱形，则AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD，又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又PC 平面PAC，所以BD⊥PC.若假设DM⊥PC，又BD∩DM＝D，BD，DM 平面MBD，所以PC⊥平面MBD，又PC 平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD，假设成立．故答案可以为DM⊥PC.(注：其他满足题意的答案均可，如BM⊥PC，OM⊥PC等．)
10.如图，在四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.证明：平面ACD⊥平面ABC.
证明：由题意得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD.
又△ACD为直角三角形，
所以∠ADC＝90°，
取AC的中点O，
连接DO，BO，
则在Rt△ACD中，
DO⊥AC，DO＝AO，
又△ABC是正三角形，故BO⊥AC，
所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，
所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，
故∠DOB＝90°，
所以平面ACD⊥平面ABC.
√
11．(多选)在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是(　　)
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
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√
解析：已知PA⊥底面ABCD，可得PA⊥AD，PA⊥CD，又底面ABCD为矩形，所以AD⊥AB，CD⊥AD，而 AB∩PA＝A，AD∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，AD，PA 平面PAD，
所以AD⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又AD 平面PAD，CD 平面PCD，
所以平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，所以A，D正确；
又BC∥AD，所以BC⊥平面PAB，
又BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB，所以B正确；
因为平面PCD⊥平面PAD，显然C选项不正确．故选ABD.
12．(2024·德州期末)如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝
3，PB＝PC＝BC＝6，则二面角P-BC-A的正弦值为__________．
13．已知在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，二面角P-AB-C为45°，则该四棱锥的高的值为____________．
1
(1)求证：PE⊥平面ABCD；
(2)求二面角P-DC-B的大小．
解：由(1)知PE⊥平面ABCD，
又DC 平面ABCD，
所以PE⊥DC，
又由(1)知DE⊥DC，PE∩DE＝E，PE，
DE 平面PDE，
所以DC⊥平面PDE，又DP 平面PDE，
所以DC⊥PD，
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√
√
对于B，因为EF在B1D1上，B1D1∥BD，BD⊥AC，所以B1D1⊥AC，即EF⊥AC，故B正确；
对于C，点A到直线EF的距离等于点A到D1B1的距离，为定值，故C正确；
对于D，在该正方体中，D1D⊥平面ABCD，又D1D 平面D1DBB1，所以平面D1DBB1⊥平面ABCD，即平面DEB⊥平面ABC，故平面DEB与平面ABC所成的角为90°，故D错误．
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点(不含B).
(1)平面AEF与平面PBC是否垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由．
解：垂直．证明如下：因为PA⊥底面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC，又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
因为AE 平面PAB，所以BC⊥AE.
因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，
因为PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，
所以AE⊥平面PBC.
因为AE 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.
(2)线段BC上是否存在点F，使二面角B-AE-F的平面角的大小为45°？