《创新课堂》11.4.2　第1课时　平面与平面垂直的判定 课件 高中数学必修四(人教B版)同步讲练测

(共34张PPT)
11．4.2　平面与平面垂直
第1课时　平面与平面垂直的判定
1.了解空间中平面与平面的垂直关系．　2.了解二面角的平面角的概念，并会求二面角的大小．　3.归纳并应用平面与平面垂直的判定定理．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”．在门开大的过程中，会给人两个平面“夹角”变大的感觉．
思考　把门开大一些“夹角”变大，是指哪个角变大？
提示：是门和门框所在墙的夹角，可以用题图中的∠AOB进行刻画．
一　二面角
1．定义：从一条直线出发的两个__________所组成的图形称为二面角．这条直线称为二面角的__________，这两个半平面称为二面角的__________．
2．画法：
3．记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q.
半平面　
棱　
面　
4．二面角的平面角
文字 在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角
图示

符号 OA α，OB β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l ∠AOB是二面角的平面角
范围 __________≤∠AOB≤__________
规定 二面角的大小可以用它的__________的大小来度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小．平面角是__________的二面角称为直二面角
0°　
180°
平面角　
直角
　(对接教材例1)如图，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的余弦值．
解决二面角问题的策略
(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．
(2)求二面角大小的步骤
简称为“一作、二证、三求”．
[跟踪训练1] 如图，已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.
(1)二面角B-PA-D的平面角的大小为____________；
解析：因为PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，
所以AB⊥PA，AD⊥PA，AB∩AD＝A，
所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角．
又由题意知∠BAD＝90°，
所以二面角B-PA-D的平面角的大小为90°.
90°
(2)二面角B-PA-C的平面角的大小为____________．
解析：因为PA⊥平面ABCD，AB，AC 平面ABCD，
所以AB⊥PA，AC⊥PA，AB∩AC＝A，
所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，
所以∠BAC＝45°，
故二面角B-PA-C的平面角的大小是45°.
45°
二　平面与平面垂直的判定
角度1　定义法证明面面垂直
定义 一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为_______，则称这两个平面互相垂直
画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．如图

记法 α⊥β
90°
　如图，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC，求证：平面ABC⊥平面SBC.
【证明】　因为∠BSA＝∠CSA＝60°，
SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC都是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形，
取BC的中点D，连接AD，SD，
则AD⊥BC，SD⊥BC，
利用定义证明面面垂直的方法
要证面面垂直，只要证明二面角的平面角为直角，其步骤是：
(1)找出两相交平面的平面角；
(2)证明这个平面角是直角；
(3)根据定义判定这两个相交平面互相垂直．
角度2　判定定理法证明面面垂直
两平面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面经过另外一个平面的一条______，则这两个平面互相垂直 l α，l⊥β α⊥β
　垂线
　如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD为平行四边形，∠CDA＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．求证：
(1)PB∥平面ACM；
【证明】　连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，O为AC，BD的中点，
因为M为PD的中点，所以PB∥MO，
又因为PB 平面ACM，MO 平面ACM，
所以PB∥平面ACM.
【证明】　因为∠CDA＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，
即DA⊥AC，
因为PO⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PO⊥AD，
因为AC∩PO＝O，AC，PO 平面PAC，
所以AD⊥平面PAC，
又因为AD 平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAC.
(2)平面PAD⊥平面PAC.
利用判定定理证明面面垂直的方法
要证面面垂直，只要证线面垂直，即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：
√
[跟踪训练2] (1)如图所示，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是(　　)
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABC⊥平面BCD
C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
解析：因为AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，所以DE⊥AC，BE⊥AC，又因为DE∩BE＝E，DE，BE 平面BDE，所以AC⊥平面BDE.又因为AC 平面ABC，AC 平面ACD，所以平面ABC⊥平面BDE，平面ACD⊥平面BDE，C正确．故选C.
(2)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PA＝6，BC＝8.设D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，且DF＝5.
求证：平面DEF⊥平面ABC.
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．对于直线m，n和平面α，β，下列条件一定能得到α⊥β的是(　　)
A.m⊥n，m α，n β B．m⊥n，m α，n∥β
C.m∥n，m⊥α，n⊥β D．m∥n，m⊥α，n β
解析：m⊥n，m α，n β，则平面α，β也可能相交且不垂直，A错误；
m⊥n，m α，n∥β，则平面α，β也可能相交或平行，B错误；
m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β，C错误；
m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n β，则α⊥β，D正确．
2．已知二面角α-l-β为60°，异面直线a，b分别垂直于平面α，β，则a与b所成的角为(　　)
A.30° B．60°
C．90° D．120°
√
3．(2024·丹东期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC，BD交于点O，给出∠B1AD1，∠B1OD1，∠B1CD1，其中能作为二面角B1-AC-D1的平面角的是__________．
∠B1OD1
解析：连接B1D1(图略)，
由正方体的性质知AC⊥BD，AC⊥BB1，
BD∩BB1＝B，BD，BB1 平面BB1D1D，
所以AC⊥平面BB1D1D.
因为B1O，D1O 平面BB1D1D，
所以B1O⊥AC，D1O⊥AC，
所以∠B1OD1是二面角B1-AC-D1的平面角．
4．(教材P122T5改编)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任意一点．求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.
证明：因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
所以AB⊥BB1.
又因为AB⊥BC，BB1，BC 平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因为AB 平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.
1．已学习：(1)二面角的定义；(2)平面与平面垂直的概念与判定定理．
2．须贯通：掌握面面垂直的判定方法；掌握垂直关系的转化思想．
3．应注意：应用面面垂直的判定定理的条件：线垂直于面且线在面内．