《创新课堂》11.4.2　第2课时　平面与平面垂直的性质 课件 高中数学必修四(人教B版)同步讲练测

(共31张PPT)
11．4.2　平面与平面垂直
第2课时　平面与平面垂直的性质
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明．　2.能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也与地面垂直．
思考　你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？由此你可以得到什么样的一般结论？
提示：找到黑板所在平面与地面所在平面的交线，在黑板上画出和该交线垂直的直线，即垂直于地面．
一般结论：两个平面α，β垂直，α∩β＝l，则α内垂直l的直线垂直于平面β.
一　平面与平面垂直的性质定理
自然语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
符号语言 α⊥β，α∩β＝m，AO α，AO⊥m AO⊥β
图形语言

应用面面垂直的性质定理的策略
[注意]　面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
[跟踪训练1] 如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC.试判断BC与平面PAC的位置关系，并证明．
解：BC⊥平面PAC.证明如下：
因为AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，所以∠ACB＝ 90°，即BC⊥AC.
又因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BC 平面ABC，所以BC⊥平面PAC.
二　垂直关系的转化
　如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为正方形，平面ABE⊥平面BCDE，AB＝AE.
(1)求证：平面ADE⊥平面ABE；
【解】　证明：因为底面BCDE为正方形，所以DE⊥BE.
因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，
DE 平面BCDE，所以DE⊥平面ABE，又DE 平面ADE，
所以平面ADE⊥平面ABE.
(2)在棱DE上求作一点P，使得CP⊥AD，并证明．
【解】　当P为DE的中点时，CP⊥AD.
证明如下：取BE的中点O，连接AO，DO(图略).
因为AB＝AE，O为BE的中点，所以AO⊥BE.
因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，
AO 平面ABE，所以AO⊥平面BCDE，
又CP 平面BCDE，所以AO⊥CP.
因为O为BE的中点，P为DE的中点，
所以△DOE≌△CPD，所以∠EDO＝∠DCP，
垂直关系的转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终得到论证，其转化关系如下：
[跟踪训练2] 已知某库房墙角处堆放了一堆沙子，现将这堆沙子抽象成三棱锥O-ABC，如图所示，已知OA，OB，OC两两垂直，OD⊥AB，证明：平面ABC⊥平面COD.
证明：因为OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，OA，OB 平面AOB，所以OC⊥平面AOB，又因为AB 平面AOB，所以OC⊥AB.又因为OD⊥AB，OC∩OD＝O，OC，OD 平面COD，所以AB⊥平面COD.由AB 平面ABC，可知平面ABC⊥平面COD.
三　空间垂直关系的探索
　如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝2PA＝2AB＝2BC＝2.
(1)求证：平面PCD⊥平面PAC.
探索垂直关系，常采用逆向思维．一般假设存在线线垂直，所利用的关系常有：
(1)等腰三角形的底边的中线与底边垂直．
(2)矩形的相邻边垂直．
(3)直径所对的圆周角的两边垂直．
(4)菱形的对角线垂直．
(5)给出长度，满足勾股定理的两边垂直．
由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路．
[跟踪训练3] (2024·抚顺月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．
解：存在，当M为AD的中点时，平面PCM⊥平面ABCD，证明如下：
当M是AD的中点时，连接CM，PM，
因为△PAD是等边三角形，所以PM⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，PM 平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PM⊥平面ABCD，
又PM 平面PCM，所以平面PCM⊥平面ABCD.
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是(　　)
A．l∥β或l β B．l∥m
C．m⊥α D．l⊥m
解析：由l⊥平面α，且α⊥β知l∥β或l β，A正确；
m与α不一定垂直，C错误；
l与m平行、相交、异面都可能，所以B，D错误．
2．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α∥γ
B．若平面α⊥平面β，则α内的任意一条直线必垂直于β内的无数条直线
C．若平面α⊥平面β，则α内一定存在直线平行于平面β
D．若平面α⊥平面β，则垂直于两个平面交线的直线垂直于平面α
√
√
解析：选BC.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α与平面γ可能平行或相交，A错误；
若平面α⊥平面β，则α内的任意一条直线必垂直于β内的无数条直线，但不一定垂直于β内的所有直线，B正确；
若平面α⊥平面β，则α内平行于交线的直线平行于平面β，C正确；
若平面α⊥平面β，则垂直于两个平面交线且位于平面β内的直线垂直于平面α，D错误．
3．如图，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：VA⊥平面VBC.
证明：因为平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC 平面ABCD，
所以BC⊥平面VAB.
又VA 平面VAB，
所以BC⊥VA.
又VB⊥平面VAD，VA 平面VAD，
所以VB⊥VA.
又VB∩BC＝B，VB，BC 平面VBC，
所以VA⊥平面VBC.
1．已学面与平面垂直的性质定理．
2．须贯通：掌握垂直关系的转化思想；线线垂直是垂直关系的基础．
3．应注意：面面垂直性质定理的条件和结论．