《创新课堂》培优3　空间角的求法 课件 高中数学必修四(人教B版)同步讲练测

(共35张PPT)
培优3　空间角的求法　
求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)；(2)中位线平移法；(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).
类型一 异面直线所成的角
　如图，在每个面都为等边三角形的四面体S-ABC中，若点E，F分别为SC，AB的中点，试求异面直线EF与SA所成的角．
所以FD2＋ED2＝EF2.
故△DEF是等腰直角三角形，可得∠DFE＝45°，
即异面直线EF与SA所成的角是45°.
求斜线和平面所成的角的步骤：
(1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算．
(2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角．
(3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
类型二 直线与平面所成的角
√
(2)(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列说法正确的是(　　)
A．直线BC1与DA1所成的角为90°
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
√
√
√
【解析】　如图，连接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因为AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，又BC1 平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.连接B1C，则B1C⊥BC1.因为CD∩B1C＝C，CD，B1C 平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1，又CA1 平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1，所以直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；
因为C1C⊥平面ABCD，所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠CBC1＝45°，故D正确．
角度1　定义法
在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
类型三 二面角
角度2　垂面法
过二面角的棱上一点作二面角的棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角．如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
√
【解析】　由题知平面ABD⊥平面BCD.如图，连接A1C交BD于点O，连接AO，则AO⊥BD，
因为平面ABD∩平面BCD＝BD，AO 平面ABD，
所以AO⊥平面BCD，CD 平面BCD，
所以AO⊥CD.
取CD的中点M，连接OM，AM，
则OM∥BC，
所以OM⊥CD，OM，AO 平面AOM，
角度3　垂线法
过二面角的一个面内异于棱上的点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角．如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
　如图，平面β内一条直线AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-BD-β的大小．
【解】　如图，过点A作AE⊥平面α，E为垂足，作EF⊥BD，F为垂足，连接AF，CE，因为BD 平面α，所以AE⊥BD，
因为EF∩AE＝E，EF，AE 平面AEF，
所以BD⊥平面AEF，AF 平面AEF，
所以BD⊥AF，
所以∠AFE为二面角α-BD-β的平面角．
依题意知∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，
√
√
√
(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；
解：证明：因为平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC, CD⊥AC，CD 平面ACD，
所以CD⊥平面ABC，又AB 平面ABC，
所以AB⊥CD.
又AB⊥BC，BC∩CD＝C，BC，CD 平面BCD，
所以AB⊥平面BCD，又AB 平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BCD.
(2)求二面角E-BC-D的正弦值．
解：如图，分别取BD，BC的中点F，G，连接EF，FG，EG.
因为E为AD的中点，
所以EF∥AB.
因为AB⊥平面BCD，
所以EF⊥平面BCD，
又BC 平面BCD，所以EF⊥BC.
易知FG∥CD，又CD⊥平面ABC，
所以FG⊥平面ABC，