《创新课堂》11.1.2　构成空间几何体的基本元素 课件 高中数学必修四(人教B版)同步讲练测

(共30张PPT)
11．1.2　构成空间几何体的基本元素
1.了解构成空间几何体的基本元素：点、线、面．　2.会用运动的观点了解点、线、面、体之间的生成关系，并能用符号语言描述空间中点、直线、平面之间的位置关系．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
国家体育场的主体建筑“鸟巢”主要由巨大的门式钢架组成，共有24根桁架柱，其结构科学简单，设计新颖独特，为国际上极富特色的巨型建筑．与“鸟巢”相呼应的是“水立方”——国家游泳中心．国家游泳中心也是北京奥运会标志性建筑，它以冰晶状的亮丽身姿，装点着奥林匹克公园．
思考　你能说出它们作为一个空间几何体是由哪些基本元素构成的吗？
提示：点、线、面．
一　点、线、面的位置关系及符号表示
1．空间中的点、线、面
(1)构成空间几何体的基本元素：____________．
(2)从运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成________，线动成________，面动成________．
点、线、面
线
面
体
2．点、线、面的位置关系及符号表示
类别 位置关系 符号表示 图形
点线 点A在直线l上 A∈l
点A在直线l外 A l
点面 点A在平面α内 A∈α
点A在平面α外 A α
类别 位置关系 符号表示 图形
线线 两直线平行 ______
两直线异面 a∩b＝______ 且a与b______
两直线相交 a∩b＝P
a∥b

不平行
类别 位置关系 符号表示 图形
线面 直线a在平面α内 a α
直线 在平 面外 直线a与平面α平行 a∥α
直线a与平 面α相交于点A a∩α＝A
直线a与平面α垂直 ______
a⊥α
类别 位置关系 符号表示 图形
面面 两平面平行 α∥β
两平面相交 α∩β＝l
用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上；
(2)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
【解】 (1)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图1.
(2)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图2.
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
[跟踪训练1] 如图所示，用符号语言可表述为(　　)
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
解析：由题图知，平面α与平面β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m与n相交于A点．故A正确．
√
二　空间中点、线、面的位置关系
如图，在长方体 ABCD -A1B1C1D1中，写出所有满足下列关系的答案．
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系；
(3)与直线AB平行的平面，并用合适的符号表示；
(4)与平面BCC1B1平行的平面，并用合适的符号表示；
(5)与直线AD垂直的平面，并用合适的符号表示．
【解】　(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1綉BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C既不平行，又不相交，则直线A1B与直线B1C异面．
(3)与直线AB平行的平面有平面A1B1C1D1，平面DCC1D1，平面A1B1CD.
符号表示：AB∥平面A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，AB∥平面A1B1CD.
(4)与平面BCC1B1平行的平面为平面ADD1A1，
符号表示：平面BCC1B1∥平面ADD1A1.
(5)与直线AD垂直的平面有平面ABB1A1，平面DCC1D1.
符号表示：AD⊥平面ABB1A1，AD⊥平面DCC1D1.
(1)解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直．
(2)长方体和正方体是立体几何中的重要几何体，加深对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的位置关系．
[跟踪训练2] 如果点M是两条异面直线a，b外一点，则过点M且与a，b都平行的平面个数的所有可能值是(　　)
A．1　　　 B．2　　　C．0或1　　　 D．无数
解析若点M与直线a构成的平面与直线b平行，则过M且与a，b都平行的平面个数为0；
若点M与直线b构成的平面与直线a平行，则过M且与a，b都平行的平面个数为0；
若过点M与直线a构成的平面不与直线b平行，或过点M与直线b构成的平面不与直线a平行，则过点M且与a，b都平行的平面个数为1.故选C.
√
三　距离问题
概念 对应图形
射影 给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条________．如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影)
垂线
概念 对应图形
距离 点面 线段________为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离
线面 当直线与平面________时，直线上________一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离
面面 当平面与平面________时，一个平面上______一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离
AB
平行
任意
平行
任意
已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝10，AD＝8，AA1＝6.求：
(1)点B到平面DCC1D1的距离；
(2)直线A1B1到平面ABCD的距离；
(3)平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离．
【解】　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝BC＝8.
(1)因为BC⊥平面DCC1D1，所以点B到平面DCC1D1的距离等于线段BC的长，为8.
(2)因为直线A1B1∥平面ABCD，所以直线A1B1到平面ABCD 的距离等于线段A1A的长，为6.
(3)因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以两平面之间的距离等于AB的长，为10.
空间距离包含空间两点间的距离，空间点与直线间的距离，直线与平面间的距离，平面与平面间的距离．这些距离最终都转化为两点间的距离，即空间问题的解决最终要转化为平面问题．
[注意]　线面距离是在直线与平面平行的前提下存在的，同理面与面之间的距离也是建立在两平面平行的基础上．
[跟踪训练3] 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A1到平面ABCD的距离是________，直线B1C1到平面ABCD的距离是________．
a
a
解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为直线A1A⊥平面ABCD，点A为点A1在平面ABCD内的射影，所以线段A1A的长，即为点A1到平面ABCD的距离，A1A＝a.因为直线B1C1∥平面ABCD，所以直线B1C1上任意一点到平面ABCD的距离都是直线B1C1到平面ABCD的距离，又因为点B1∈直线B1C1，且点B1到平面ABCD的距离为a，所以直线B1C1到平面ABCD的距离为a.
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
解析：由点与平面、直线与平面、平面与平面图形的画法可知A，C，D正确，B选项直线应画在平行四边形里面．故选B.
2．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　)
A．共面 B．平行
C．异面 D．平行或异面
解析：若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若直线a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．
√
√
3．(多选)下列命题中错误的是(　　)
A．空间三点可以确定一个平面
B．三角形一定是平面图形
C.若点A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D．若A∈l，l α，则A∈α
√
解析：对于A，若空间中三点共线，则无法确定平面，故A错误；
对于B，三角形一定是平面图形，故B正确；
对于C，若点A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则此四点可能在平面α与平面β的交线上，无法确定平面α和平面β是否重合，故C错误；
对于D，由点、直线、平面的位置关系知D正确．故选AC.
4．(2024·沈阳月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝3，AA1＝5，则直线BC到平面ADD1A1的距离为________，平面ABB1A1与平面CDD1C1之间的距离为________．
解析：直线BC到平面ADD1A1的距离为AB＝2，平面ABB1A1与平面CDD1C1之间的距离为AD＝3.
2
3
1．已学习：空间点、线、面及其位置关系和距离问题．
2．须贯通：规范立体几何中的三种语言，能熟练进行它们之间的相互转换．
3．应注意：三种语言的相互转化．