《创新课堂》11.1.4　棱锥与棱台 课件 高中数学必修四(人教B版)同步讲练测

(共38张PPT)
11.1.4　棱锥与棱台
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱锥、棱台的结构特征，理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．
2．能运用棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算．
学 习
目 标
新知学习 探究
PART
01
第一部分
　　前面学习了棱柱的结构特征，结合平时观察到的实物模型，你能不能说出棱锥、棱台具有的结构特征呢？让我们本节课一起学习吧！
思考1　各个面都是三角形的几何体一定是三棱锥吗？
提示：不一定．如图所示的几何体，各个面都是三角形，但该几何体不是三棱锥．
思考2　有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥吗？试举例说明．
提示：不一定，如图．
思考3　观察下图，如何将棱锥变换成下方的几何体？

提示：用平行于题图中棱锥底面的平面，去截棱锥，即可得到对应的下方的几何体．
一　棱锥的结构特征
1．棱锥的概念
定义 如果一个多面体有一个面是_________，且其余各面是有一个公共顶点的_________，则称这个多面体为棱锥
图形及 表示

如图可记作：棱锥P-ABCD或棱锥P-AC
多边形　
三角形　
相关 概念 底面(底)：________的那个面
侧面：有公共顶点的各________
侧棱：相邻两侧面的________
顶点：各侧面的________
高：过棱锥的顶点作棱锥底面的______，所得到的线段(或它的长度)
分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
多边形　
三角形　
公共边　
公共顶点　
垂线　
正多边形
　　(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．棱锥的各个侧面都是三角形
B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C．棱锥的侧棱平行
D．由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥
√
√
√
【解析】　由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；
四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；
棱锥的侧棱相交于一点，不平行，故C错误；
由四个平面围成的封闭图形是四面体，也就是三棱锥，故D正确．
　　判断一个几何体是不是棱锥，关键看它是否具备棱锥的两个本质特征：
(1)有一个面是多边形；
(2)其余各面是有一个公共顶点的三角形．
以上两个本质特征缺一不可．
[跟踪训练1] 说出图中几何体的名称，并用字母表示出该几何体，同时指出其顶点、侧面、底面及侧棱．
解：该几何体为五棱锥；用字母可表示为五棱锥P-ABCDE；顶点为点P；侧面为△PAB，△PBC，△PCD，△PDE，△PAE；底面为五边形ABCDE；侧棱为PA，PB，PC，PD，PE.
二　棱台的结构特征
1．棱台的结构特征
定义 一般地，用________________的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台
图形及 表示

如图可记作：棱台ABCD-A′B′C′D′
平行于棱锥底面　
相关 概念 上底面：平行于棱锥底面的________
下底面：原棱锥的________
侧面：其余各面
侧棱：相邻两侧面的公共边
顶点：侧棱与上(下)底面的公共点
高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的________所得到的线段(或它的长度)
分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
截面　
底面　
垂线　　
2.特殊的棱台
正棱台：由________截得的棱台．
正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为正棱台的斜高．
正棱锥
　　　(多选)下列选项中错误的是(　　)
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
√
√
√
【解析】　A中的平面不一定平行于底面，故A错误；
由棱台的定义知，D正确；
B，C可用反例去检验，如图所示，
侧棱延长线不能相交于一点，故B，C错误．
判断棱台结构特征的方法
(1)举反例法：结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：
①定底面，两个互相平行的面即为底面；
②看侧棱延长线是否相交于一点．
[跟踪训练2] 下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确的是________．(填序号)
解析：①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥；
③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
①②
【变式探究】
1．(设问变式)若本例条件不变，求正三棱锥的斜高．
2．(综合变式)若将本例中“正三棱锥”改为“正四棱锥”，其他条件不变，求正四棱锥的高．
(1)有关棱锥的计算以正棱锥最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角三角形中，常用到两类直角三角形：正棱锥的斜高、高、底面内切圆的半径构成的直角三角形；正棱锥的高、侧棱、底面外接圆的半径构成的直角三角形．
(2)关于棱台的计算以正棱台最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角梯形中，常用到两类直角梯形：正棱台的两底面中心的连线、两底面相应的内切圆的半径和斜高构成的直角梯形，正棱台的两底面中心的连线、侧棱和两底面相应的外接圆的半径构成的直角梯形．
√
【解析】　将正三棱锥A-BCD沿AC剪开，如图，因为∠BAD＝20°，所以∠CAC′＝60°，又△CB1D1的周长为CD1＋D1B1＋B1C′，所以要使△CB1D1的周长最小，则C，D1，B1，C′共线，此时CD1＋D1B1＋B1C′＝CC′.又正三棱锥A-BCD的侧棱长为4，△CAC′是等边三角形，所以(CD1＋D1B1＋B1C′)min＝4.
(1)此类问题常将几何体沿某几条棱剪开，使展开后的图形放在同一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．
[跟踪训练4] 根据如图所示的几何体的平面展开图，画出立体图形．
解：该几何体是以四边形ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．其立体图形如图所示．
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
√
1．对于棱锥，下列叙述正确的是(　　)
A．四棱锥共有四条棱 B．五棱锥共有五个面
C．六棱锥的顶点有六个 D．任何棱锥都只有一个底面
解析：对于A，因为四棱锥共有八条棱，故A错误；
对于B，因为五棱锥共有六个面，故B错误；
对于C，因为六棱锥的顶点有七个，故C错误；
对于D，根据棱锥的定义知，D正确．故选D．
2．如图所示，三棱台A′B′C′-ABC截去三棱锥A′-ABC后，剩余部分的几何体是(　　)
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．不规则几何体
解析：由题图知，在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′-ABC，剩余部分是四棱锥A′-BB′C′C．
√
√
4.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的
平面所截，得到正六棱台和较小的正六棱锥．
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2)若大棱锥的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积．
1．已学习：棱锥、棱台的结构特征．
2．须贯通：棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关键；多面体表面距离最短问题，常将多面体的侧面展开转化为平面上两点间的距离问题．
3．应注意：棱台的各侧棱延长后交于一点．