《创新课堂》2.3第一课时　二次函数与一元二次方程、不等式 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共52张PPT)
2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
1. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义（数学抽象）.
2. 能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集（数学抽象、数学运算）.
3. 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系（直观想象）.
4. 能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决（数学建模、数学运算）.
课标要求
汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素.一般来说，刹车距离与车速是二次函数关系.我们可以根据汽车的刹车距离估计汽车是否超过规定限速.
情景导入
第一课时
二次函数与一元二次方程、不等式
知识点一　一元二次不等式的概念
01
知识点二　一元二次不等式的解法
02
提能点　含参一元二次不等式的解法
03
目录
课时作业
04
知识点一
一元二次不等式的概念
01
PART
问题1　给出下面四个不等式：
①x2－x－6＞0；
②x2－x－6≤0；
③－x2＋2x≥0；
④2x2＋x＋5＜0.
以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数
是多少？
提示：每个不等式只含有一个未知数；未知数的最高次数是2.
【知识梳理】
定义 只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等
式，称为一元二次不等式
一般
形式 ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，
a≠0
未知数　
2　
训练1　（1）下列不等式中是一元二次不等式的为（　C　）
A. ax2＋2x＋1＞0 B. x2－y＞0
C. －x2－3x＜0 D. ＞0
解析：只有－x2－3x＜0是一元二次不等式，其他都不是.
（2）若把ab≠0，a2b＋2ab2＋9＞0看成关于a的一元二次不等式，则a
的二次项系数为 .
C
解析：由ab≠0知，b≠0且a≠0，a2b＋2ab2＋9＞0可化为ba2＋2b2a＋9
＞0，故a的二次项系数为b.
b
【规律方法】
一元二次不等式概念中的关键词
（1）一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数（或参数）；
（2）二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.
知识点二
一元二次不等式的解法
02
PART
问题2　（1）二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有几个交点？其交点
与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？
提示：两个交点，交点的横坐标正好是方程x2－12x＋20＝0的根.
（2）能否从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找到x2－12x＋20＜0的
解集？
提示：能.
【知识梳理】
1. 二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的
叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点.
　　提醒：零点不是点，是函数的图象与x轴交点的横坐标.
实
数x　
2. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系（a＞0）
根的判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx
＋c的图象
ax2＋bx＋c
＝0的根 有两个不相等的实数根
x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实
数根
根的判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
ax2＋bx＋c
＞0的解集
ax2＋bx＋c
＜0的解集
{x｜x＜x1或x＞x2}
R
{x｜x1＜x＜x2}


　　提醒：一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根
【例1】　（链接教材P52例1、例2、例3）解下列不等式：
（1）x2－7x＋12＞0；
解：方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4.
根据y＝x2－7x＋12的图象（图1），
可得原不等式的解集为{x｜x＜3或x＞4}.
（2）－x2－2x＋3≥0；
解：不等式两边同乘以－1，得x2＋2x－3≤0，方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.
根据y＝x2＋2x－3的图象（图2），可得原不等式的解集为{x｜－3≤x≤1}.
解：方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1.
根据y＝x2－2x＋1的图象（图3），可得原不等式的解集为 .
（4）x2－2x＋2＞0.
（3）x2－2x＋1＜0；
解：因为Δ＜0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解.
根据y＝x2－2x＋2的图象（图4），可得原不等式的解集为R.
【规律方法】
解一元二次不等式的一般步骤
（1）化标准：通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系
数为正；
（2）判别式：对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应
方程的判别式；
（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无
实根；
（4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；
（5）写解集：根据图象写出不等式的解集.
训练2　解下列不等式：
（1）（2x－1）（x＋3）＜0；
解：易知方程（2x－1）（x＋3）＝0的两个实数根分别为x1＝－3，x2＝
，作出函数y＝（2x－1）·（x＋3）的图象，如图1所示，由图象可得原
不等式的解集为 .
（2）2x2＜x－1；
解：原不等式可化为2x2－x＋1＜0，因为Δ＜0，所以方程2x2
－x＋1＝0无实数根，作出函数y＝2x2－x＋1的图象，如图2
所示.根据图象得不等式2x2－x＋1＜0的解集为 .因此，原不
等式的解集为 .
（3）－6x2－x＋2≤0.
解：对于方程－6x2－x＋2＝0，因为Δ＞0，
所以方程－6x2－x＋2＝0有两个不等实数根，解得x1＝－ ，x2＝ .
作出二次函数y＝－6x2－x＋2的图象，如图3所示.根据图象得不等式－
6x2－x＋2≤0的解集为 .
03
PART
提能点
含参一元二次不等式的解法
【例2】　解关于x的不等式（ax－2）（x＋1）≥0（x∈R，a≥0）.
解：①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a＞0时，原不等式化为 （x＋1）≥0，
解得x≥ 或x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x｜x≤－1}；当a＞0时，不等式
的解集为 .
变式　若把本例中的“a≥0”改为“a＜0”，求该不等式的解集.
解：当a＜0时，原不等式化为 （x＋1）≤0.
当 ＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤ ；
当 ＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当 ＜－1，即－2＜a＜0时，解得 ≤x≤－1.
综上所述，当－2＜a＜0时，不等式的解集为 ；当a＝－2
时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为.
【规律方法】
含参数的一元二次不等式的解法
训练3　解关于x的不等式x2＋（1－a）x－a＜0.
解：原不等式可化为（x＋1）（x－a）＜0，方程x2＋（1－a）x－a＝
0的两根为x1＝－1，x2＝a.又函数y＝x2＋（1－a）x－a的图象开口向
上，
则当a＜－1时，原不等式的解集为{x｜a＜x＜－1}；
当a＝－1时，原不等式的解集为 ；
当a＞－1时，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜a}.
1. 不等式（2x＋1）（x－3）≥0的解集为（　　）
A.
B.
C.
D. {x｜x≥3}
解析：　因为（2x＋1）（x－3）≥0，解得x≤－ 或x≥3，所以不等
式（2x＋1）（x－3）≥0的解集为{x｜x≤－ 或x≥3}.故选C.
√
2. 〔多选〕下列不等式是一元二次不等式的是（　　）
A. x2＋ x＜－1
B. x2＋ ＋1＜0
C. x2＋ ＋1＜0
D. x2＋1＜0
解析：由于x2＋ ＋1＜0，x2＋ ＋1＜0不符合一元二次不等式的定义，只有x2＋ x＜－1，x2＋1＜0是一元二次不等式.故选A、D.
√
√
3. 若0＜m＜1，则不等式（x－m）（x－ ）＜0的解集为
.
解析：∵0＜m＜1，∴ ＞1＞m，故原不等式的解集为{x｜m＜x＜ }.
{x｜m＜x
＜ }
4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）的部分对应值如表所示：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是 .
解析：根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）图
象的草图，如图.由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解
集是{x｜x＜－2或x＞3}.
{x｜x＜－2或x＞3}
课堂小结
1.理清单
（1）一元二次不等式的概念及解法；
（2）含参的一元二次不等式的解法.
2.应体会
解不含参数的一元二次不等式常利用数形结合法；解含参数的一元二次
不等式需要分类讨论.
3.避易错
解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准.
课时作业
04
PART
1. 不等式x2－4x－5＞0的解集是（　　）
A. {x｜－1＜x＜5} B. {x｜x＜－1或x＞5}
C. {x｜0＜x＜5} D. {x｜－1＜x＜0}
解析：　x2－4x－5＞0，即（x＋1）（x－5）＞0，解得x＞5或x＜－
1，所以原不等式的解集是{x｜x＜－1或x＞5}.故选B.
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2. 不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是（　　）
A. {x｜x＜－1} B.
C. D.
解析：　－2x2＋x＋3＜0，即2x2－x－3＞0，即（2x－3）（x＋1）＞
0，所以x＞ 或x＜－1.
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3. 不等式（－x＋1）（2x＋1）≥0的解集为（　　）
A. B.
C. D.
解析：因为（－x＋1）（2x＋1）≥0，即（x－1）（2x＋1）≤0，
解得－ ≤x≤1，所以原不等式的解集为 .故选D.
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4. 设m＋n＞0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）＞0的解集是
（　　）
A. {x｜x＜－n或x＞m} B. {x｜－n＜x＜m}
C. {x｜x＜－m或x＞n} D. {x｜－m＜x＜n}
解析：　不等式变形为（x－m）（x＋n）＜0，由m＋n＞0，得m＞
－n，所以不等式的解集为{x｜－n＜x＜m}.
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5. 〔多选〕下列关于x的不等式x2－（a＋1）x＋a＞0的解集讨论正确的
是（　　）
A. 当a＝1时，解集为
B. 当a＞1时，解集为{x｜x＞a}
C. 当a＜1时，解集为{x｜x＜a或x＞1}
D. 无论a取何值，解集均不为空集
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解析：原不等式可化为（x－1）（x－a）＞0.当a＝1时，原不等式为（x－1）2＞0，解得x≠1，故A错误；当a＞1时，不等式的解集为{x｜x＜1或x＞a}，故B错误；当a＜1时，不等式的解集为{x｜x＞1或x＜a}，故C正确；对于一元二次方程x2－（a＋1）x＋a＝0，Δ＝（a＋1）2－4a＝（a－1）2≥0，所以无论a取何值，不等式的解集均不为空集，故D正确.故选C、D.
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6. 〔多选〕已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中
正确的是（　　）
A. b＝－2a
B. a＋b＋c＜0
C. a＋c＜b
D. abc＜0
√
√
√
解析：由题意得a＜0，对称轴x＝－ ＝1，则b＝－2a＞0，故A正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，则a＋c＜b，故C正确；当x＝0时，y＝c＞0，则abc＜0，故D正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，故B错误.
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7. 二次函数y＝x2－4x＋3的零点为 .
解析：由零点的定义知，令x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3，故函数y＝x2
－4x＋3的零点为1和3.
1和3
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8. 不等式（x＋5）（3－2x）≥6的解集为 .
解析：不等式（x＋5）（3－2x）≥6可化为2x2＋7x－9≤0，即（x－1）
（2x＋9）≤0，解得－ ≤x≤1.

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9. 写出一个解集为{x｜－2＜x＜3}的关于x的一元二次不等式：
.
解析：由一元二次不等式的解法可知，解集为{x｜－2＜x＜3}的一元二次
不等式可以是（x＋2）（x－3）＜0，即x2－x－6＜0.
x2－x
－6＜0（答案不唯一）
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10. 解下列不等式：
（1）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）；
解：由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝ .
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象（图略）知，原不等式的解集为
.
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（2）0≤x2－2x－3＜5.
解：由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3，
由x2－2x－3＜5得－2＜x＜4.
∴－2＜x≤－1或3≤x＜4.
∴原不等式的解集为{x｜－2＜x≤－1或3≤x＜4}.
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11. 若0＜a＜1，则不等式x2－3（a＋a2）x＋9a3≤0的解集为（　　）
A. {x｜3a2≤x≤3a} B. {x｜3a≤x≤3a2}
C. {x｜x≤3a2或x≥3a} D. {x｜x≤3a或x≥3a2}
解析：　因为0＜a＜1，所以0＜3a2＜3a.因为方程x2－3（a＋a2）x＋
9a3＝0的两根分别为3a和3a2，所以不等式的解集为{x｜3a2≤x≤3a}.
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12. 若a＜0，则关于x的不等式a（x＋1） ＜0的解集为
　 .
解析：因为a＜0，所以原不等式等价于（x＋1）· ＞0，方程（x＋
1） ＝0的两根为－1，－ ，显然－ ＞0＞－1，所以原不等式的解
集为 .

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13. 若关于x的不等式x2－mx＜0恰有一个整数解1，则m的取值范围为
.
解析：由x2－mx＜0可知x（x－m）＜0，∵x2－mx＜0恰有一个整数解
1，∴0＜x＜m中只有一个整数解1，∴1＜m≤2.
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＜m≤2
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14. 已知不等式x2＋5x＋4＞0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为
B.
（1）求A∩B；
解：不等式x2＋5x＋4＞0，
即（x＋4）（x＋1）＞0，解得x＜－4或x＞－1，
所以A＝{x｜x＜－4或x＞－1}.
不等式x2＋x－6＜0，
即（x＋3）（x－2）＜0，解得－3＜x＜2，
所以B＝{x｜－3＜x＜2}，
所以A∩B＝{x｜－1＜x＜2}.
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（2）写出一个一元二次不等式，使它的解集为A∩B.
解：由A∩B＝{x｜－1＜x＜2}，知一元二次不等式可以是（x＋
1）（x－2）＜0，即x2－x－2＜0.
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15. 已知关于x的不等式ax2－（3a＋1）x＋3＜0.
（1）当a＝－2时，解此不等式；
解：当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0，整理得（2x＋1）（x－3）＞0，解得x＜－ 或x＞3，故当a＝－2时，原不等式解集为{x｜x＜－ 或x＞3}.
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（2）当a＞0时，解此不等式.
解：当a＞0时，不等式ax2－（3a＋1）x＋3＜0，整理得（x－3）
＜0，
当a＝ ，即 ＝3时，不等式无解；
当0＜a＜ ，即 ＞3时，解得3＜x＜ ；
当a＞ ，即 ＜3时，解得 ＜x＜3.
综上，当a＝ 时，解集为 ；当0＜a＜ 时，解集为 ；当a
＞ 时，解集为 .
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