《创新课堂》2.1第一课时　不等关系与比较大小 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共58张PPT)
2.1　等式性质与不等式性质
1. 能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系（数学抽象）.
2. 会梳理等式的性质，理解不等式的概念，用类比的方法探究和掌握不等式的性质（逻辑推理）.
课标要求
　实际生活中：
情景导入
在数学中，我们怎样来表示相等与不等关系呢？
第一课时　不等关系与比较大小
知识点一　不等关系与不等式
01
知识点二　实数（式）的大小比较
02
提能点　不等关系的实际应用
04
目录
课时作业
05
知识点三　重要不等式
03
知识点一
不等关系与不等式
01
PART
问题1　在日常生活中，我们经常看到下列标志：
（1）上面各图中的标志有何作用？
提示：①限制高度；②最低限速；③限制质量.
（2）其含义分别是什么？
提示：①装载高度h不得超过3.5 m；②限制行驶速度v不得低于50 km/h；
③装载总质量m不得超过10 t.
（3）你能用数学式子表示上述关系吗？
提示：①h≤3.5 m；②v≥50 km/h；③m≤10 t.
【知识梳理】
1. 不等关系
用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表
示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.
2. 常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字
语言 大于，高
于，超过 小于，低
于，少于 大于或等于，至
少，不低于 小于或等于，至
多，不超过
符号
语言 ＞ ＜ ≥ ≤
【例1】　（链接教材P40练习1题）某汽车运输公司因发展需要，需购进
一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万
元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少
买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）.
解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则
【规律方法】
用不等式（组）表示不等关系的思路
（1）审题，读懂题意，分清已知量和未知量，设出未知量；
（2）找关系，寻找已知量和未知量之间有哪些不等关系（注意隐含条件
和实际意义）；
（3）列不等式（组），建立已知量和未知量之间的关系式（不重不漏）.
训练1　（1）〔多选〕下面说法正确的是（　　）
A. x与2的和是非负数，可表示为“x＋2＞0”
B. 小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＞y”
C. △ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为
“a＋b＞c且a＋c＞b且b＋c＞a”
D. 若某天的最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度t ℃可表示
为“7≤t≤13”
解析：x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，故A错误.小明比小华矮，应表示为“x＜y”，故B错误.C、D正确.
√
√
（2）京沪线上，复兴号列车的速度为350 km/h，该速度的2倍再加上100
km/h不超过民航飞机的最低速度，该速度超过了普通客车速度的3倍，请
你用不等式表示这三种交通工具的速度关系.
解：设复兴号列车的速度为v1，民航飞机的最低速度为v2，普通客车的速
度为v3，则有
知识点二
实数（式）的大小比较
02
PART
问题2　（1）对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？
提示：三种关系：a＞b；a＝b；a＜b.
（2）给定两个实数（或代数式）a，b，如何比较它们的大小？
提示：可作差比较.若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a
－b＜0，则a＜b.
【知识梳理】
文字表示 符号表示
如果a－b是正数，那么 a－b＞0
如果a－b等于0，那么 a－b＝0
如果a－b是负数，那么 a－b＜0
a＞b　
a＞b　
a＝b　
a＝b　
a＜b　
a＜b　
解：（2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＝x2＋x＋1＝ ＋ .
∵ ≥0，∴ ＋ ≥ ＞0，
∴（2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
【例2】　（链接教材P38例1）（1）比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小；
（2）已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小.
解：3x3－（3x2－x＋1）＝（3x3－3x2）＋（x－1）＝3x2（x－1）
＋（x－1）＝（3x2＋1）（x－1）.
由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴（3x2＋1）（x－1）≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1.
变式　把本例（2）中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的
大小.
解：3x3－（3x2－x＋1）＝（3x2＋1）（x－1）.
∵3x2＋1＞0，
当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.
【规律方法】
作差法比较两个实数（式）大小的基本步骤
　　提醒：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断”是目的，
“变形”是关键.其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、
有理化法等.
训练2　已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大
小.
解：∵a3＋b3－（a2b＋ab2）＝（a3－a2b）＋（b3－ab2）
＝a2（a－b）＋b2（b－a）
＝（a－b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）.
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，（a－b）2＞0，a＋b＞0，a3＋b3＞a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
知识点三
重要不等式
03
PART
问题3　如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的
图形.
（1）你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的
大小吗？
提示：能.设直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a≠b），则正
方形的边长为 .这4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积
为a2＋b2，则由图可知a2＋b2＞2ab.
（2）它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？
提示：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩
为一个点，这时有a2＋b2＝2ab，于是就有a2＋b2≥2ab.
【知识梳理】
一般地， a，b∈R，有a2＋b2≥ ，当且仅当 时，等号
成立.
2ab　
a＝b　
法二　因为a＞0，a＋ －2＝（ ）2＋ －2＝ ≥0，所
以a＋ ≥2.
证明：法一　因为a＞0，
所以a＋ ＝（ ）2＋ ≥2 · ＝2.
当且仅当 ＝ ，即a＝1时，等号成立.
所以a＋ ≥2.
【例3】　（链接教材P40练习3题）已知a＞0，求证：a＋ ≥2.
【规律方法】
　　在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为
重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质.
训练3　已知x，y∈R，且x2＋y2＝4，试比较xy与2的大小关系.
解：由重要不等式可知x2＋y2≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，即
4≥2xy，所以xy≤2.
04
PART
提能点
不等关系的实际应用
【例4】　某单位组织职工去北京旅游，需包车前往.甲车队说：“如果领
队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票，
按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位职工
的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.
解：设该单位职工有n人（n∈N*），全票价为x（x＞0）元，坐甲车队
的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元.
由题意，得y1＝x＋ x（n－1）＝ x＋ nx，y2＝ nx.
因为y1－y2＝ x＋ nx－ nx＝ x－ nx＝ x ，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当n＜5时，y1＞y2.
所以，当该单位职工有5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更
优惠；少于5人时，选乙车队更优惠.
【规律方法】
1. “最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这
个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论.
2. 与不等式有关的实际应用问题，解答时要注意最后将数学结论再转化到
实际问题中去，得出解决问题的方案.
训练4　某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每
类每件所需人员和预计产值如下：
电子器件种类 每件需要人员数 每件产值（万元/件）
A类 7.5
B类 6
今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发 件，最高产值
为 万元.
20
330
解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件（50－x）件.根
据题意，得 ＋ ≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝7.5x＋6（50
－x）＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总
产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元.
1. 某桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应
使车货总质量T（单位：吨）不超过40，则用不等式表示为（　　）
A. T＜40 B. T＞40 C. T≤40 D. T≥40
解析：限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.
√
2. 某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总
分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示为 .
解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即“＞”，
∴

4. 已知a＞0，b＞0，设m＝a－2 ＋2，n＝2 －b，比较m，n的大
小.
3. 不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为 .
解析：令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，即（a－2）2＝0，∴a＝2.
a＝2
解：m－n＝a－2 ＋2－2 ＋b＝（ －1）2＋（ －1）2≥0，所
以m≥n.
课堂小结
1.理清单
（1）用不等式（组）表示不等关系；
（2）作差法比较大小；
（3）重要不等式.
2.应体会
作差法比较大小的关键是差式变形，常用方法：
（1）因式分解；（2）配方.其实质是比较差与零的大小.
3.避易错
易忽视实际问题中变量隐含的限制条件.
课时作业
05
PART
1. 某厂月生活费a不低于300元，用不等式表示为（　　）
A. a≤300 B. a≥300
C. a＞300 D. a＜300
解析：依题意，生活费a不低于300元，即a≥300.故选B.
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2. 已知a1，a2∈{x｜0＜x＜1}，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N
的大小关系是（　　）
A. M＜N B. M＞N
C. M＝N D. 不确定
解析：　由题意得0＜a1＜1，0＜a2＜1，所以M－N＝a1a2－a1－a2＋1
＝（a1－1）（a2－1）＞0，故M＞N. 故选B.
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3. 某学生期中考试数学成绩x不低于90分，英语成绩y和语文成绩z的总成
绩高于200分且不高于240分，用不等式组表示为（　　）
A. B.
C. D.
解析：由题意可得 故选D.
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4. 在开山爆破时，已知导火索燃烧的速度为每秒0.5 cm，人跑开的速度为
每秒4 m，距爆破点150 m以外（含150 m）为安全区.为使导火索燃尽时人
能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：cm）应满足的不等式为（　）
A. 4× ＜150 B. 4× ＞150
C. 4× ≤150 D. 4× ≥150
解析：　由题意知，导火索从点燃到燃尽所需时间为 s，人在此时间内
跑的路程为（4× ）m，则应满足的不等式为4× ≥150，故选D.
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5. 〔多选〕下列说法正确的是（　　）
A. 某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B. 小亮的体重x kg，小谦的体重y kg，则小亮比小谦重表示为“x＞y”
C. 某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D. 某变量y不超过a可表示为“y≤a”
解析：对于A，x应满足x≤2 000，故A错；B、C、D正确.
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6. 〔多选〕下列不等式中恒成立的是（　　）
A. a2＋2＞2a
B. a2＋b2≥2（a－b－1）
C. a2＋b2≥ab
D. （a＋3）（a－5）＞（a＋2）（a－4）
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解析：A中，a2＋2－2a＝（a－1）2＋1＞0，故A正确；B中，a2＋b2－2（a－b－1）＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝（a－1）2＋（b＋1）2≥0，故B正确；C中，a2＋b2－ab＝a2－ab＋ b2＋ b2＝ ＋ b2≥0，故C正确；D中，因为（a＋3）（a－5）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－15）－（a2－2a－8）＝－7＜0，所以（a＋3）（a－5）＜（a＋2）（a－4），故D不正确.
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7. 某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的
重量用不等式表示为 .
解析：∵某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则－
1≤x－500≤1，∴499≤x≤501.
499≤x≤501
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8. 已知P＝a2－4a＋3，Q＝－4a＋1，则P与Q的大小关系为 .
解析：∵P－Q＝（a2－4a＋3）－（－4a＋1）＝a2－4a＋3＋4a－1＝
a2＋2.∵a2≥0，∴a2＋2＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.
P＞Q
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9. 已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是 ，当且仅当a＝b
＝ 时取得最小值.
解析：由重要不等式得a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝±1时等号成立.
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10. 有学生若干个，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每
间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数.
解：设宿舍有x间，则学生有（4x＋19）人，依题意，得
解得 ＜x＜ .∵x∈N*，∴x＝10，11或12，学
生人数分别为59，63，67，故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间
63人或12间67人.
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11. 已知a＞0，b＞0，M＝ ＋ ，N＝ ，则（　　）
A. M＞N B. M＝N
C. M＜N D. 不能确定
解析：　易知M＞0，N＞0，∵M2－N2＝（ ＋ ）2－（ ）2
＝2 ＞0，∴M＞N.
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12. 我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七
十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？其意是：今有人出钱
576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比
小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则
在这个问题中大竹子每根的单价可能为（　　）
A. 6钱 B. 7钱
C. 8钱 D. 9钱
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解析：　依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，则买小竹子（78
－x）根，每根单价为（m－1）钱，所以576＝mx＋（78－x）（m－
1），即78m＋x＝654，即x＝6（109－13m），因为0≤x≤78，所以
即 所以 ≤m≤ ，根据选项知
m＝8，x＝30，所以买大竹子30根，每根8钱.
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13. 比较下列各组M与N的大小.
（1）M＝（ac＋bd）2与N＝（a2＋b2）（c2＋d2）；
解：M－N＝（a2c2＋2abcd＋b2d2）－（a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2）
＝－（ad－bc）2≤0，故M≤N.
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（2）已知a≥1，M＝ － 与N＝ － .
解：因为a≥1，
所以M＝ － ＞0，N＝ － ＞0，所以 ＝ ＝
.
因为 ＋ ＞ ＋ ＞0，
所以 ＜1，所以M＜N.
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14. 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，
和墙相对的一边长为x m.
（1）若要求菜园的面积不小于110 m2，试用不等式组表示其中的不等
关系；
解：因为矩形菜园和墙相对的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0
＜x≤18，这时菜园的另一边长为 ＝ m，
所以菜园的面积S＝x ，依题意有S≥110，即x ≥110，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
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（2）若矩形的长、宽都不能超过11 m，试求x满足的不等关系.
解：由题得 所以8≤x≤11.
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15. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三
个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，
y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为
a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是
（　　）
A. ax＋by＋cz B. az＋by＋cx
C. ay＋bz＋cx D. ay＋bx＋cz
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解析：　法一（作差法）　因为x＜y＜z，a＜b＜c，所以x－z＜0，
a－c＜0，c－b＞0，a－b＜0，z－y＞0，所以ax＋by＋cz－（az＋
by＋cx）＝（x－z）（a－c）＞0，故ax＋by＋cz＞az＋by＋cx；同
理，ay＋bz＋cx－（ay＋bx＋cz）＝（x－z）（c－b）＜0，故ay＋
bz＋cx＜ay＋bx＋cz.又az＋by＋cx－（ay＋bz＋cx）＝（a－b）（z
－y）＜0，故az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx.综上可得，最低的总费用为az
＋by＋cx.
法二（特值法）　令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3.A项：ax
＋by＋cz＝1＋4＋9＝14；B项：az＋by＋cx＝3＋4＋3＝10；C项：ay
＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11；D项：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13.因为10＜11
＜13＜14，所以最低的总费用为az＋by＋cx.
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