《创新课堂》2.2第二课时　基本不等式的应用 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共46张PPT)
第二课时　基本不等式的应用
知识点一　利用基本不等式比较大小
01
知识点二　利用基本不等式证明不等式
02
知识点三　基本不等式的实际应用
03
目录
课时作业
04
知识点一
利用基本不等式比较大小
01
PART
【例1】　已知a，b，x，y都是正实数，且 ＋ ＝1，x2＋y2＝8，则ab
与xy的大小关系是 .
解析：因为1＝ ＋ ≥2 ＝2 ，所以ab≥4，当且仅当a＝b＝2
时，等号成立；xy≤ ＝4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以
ab≥xy.
ab≥xy
【规律方法】
利用基本不等式比较大小的注意点
（1）要灵活运用基本不等式，特别注意其变形；
（2）应注意成立的条件，即a＋b≥2 成立的条件是a＞0，b＞0，等
号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立
的条件是a＝b.
训练1　若实数a，b满足0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的
是（　　）
B. a2＋b2
C. 2ab D. a
解析：由题知0＜a＜b，且a＋b＝1，所以0＜a＜ ， ＜b＜1，故排除D；由a2＋b2＞2ab变形可得a2＋b2＞ ＝ ，故排除A. 故选B.
√
知识点二
利用基本不等式证明不等式
02
PART
【例2】　（链接教材P46练习2题）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋
c＝1.求证： （ －1）（ －1）≥8.
证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝1，
所以 －1＝ ＝ ≥ ，
同理 －1≥ ， －1≥ .
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得 ≥ · · ＝8，
当且仅当a＝b＝c＝ 时，等号成立.
变式　在本例条件下，求证： ＋ ＋ ≥9.
证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，
所以 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝3＋ ＋ ＋
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝ 时，等号成立.
【规律方法】
1. 利用基本不等式证明不等式的策略
利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，
若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑
等，使之达到能使用基本不等式的条件.
2. 利用基本不等式证明不等式的注意事项
（1）多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
（2）累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
（3）对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模
型再使用.
训练2　已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a＋b＋c≥ ＋ ＋ .
证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，
所以由基本不等式，得a＋b≥2 ，当且仅当a＝b时，等号成立，
b＋c≥2 ，当且仅当b＝c时，等号成立，
a＋c≥2 ，当且仅当a＝c时，等号成立.
上面三式相加，得2a＋2b＋2c≥2 ＋2 ＋2 ，即a＋b＋
c≥ ＋ ＋ ，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
03
PART
知识点三
基本不等式的实际应用
【例3】　某电商自营店，其主打商品每年需要6 000件，每年进n次货，
每次购买x件，每次购买商品需手续费300元.已购进未卖出的商品要付库
存费，可认为年平均库存量为 ，每件商品库存费是每年10元，则要使总
费用（手续费＋库存费）最低，则每年进货次数为 .
10
解析：由题得nx＝6 000，x＝ .设总费用为y元，则y＝300n＋ ×10
＝300n＋5x＝300n＋ .因为n＞0，所以300n＋
≥2 ＝6 000，当且仅当300n＝ ，即n＝10时，y取最小
值，即总费用最低.
【规律方法】
利用基本不等式解决实际问题的步骤
训练3　如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2（图
中阴影部分），上、下空白各宽2 dm，左、右空白各宽1 dm，则四周空白
部分面积的最小值是 dm2.
56
解析：设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y
dm2.由题意，得y＝（x＋4）· －72＝8＋2 ≥8＋
2×2 ＝56，当且仅当x＝ ，即x＝12时等号成立.即四周空白部
分面积的最小值为56 dm2.
1. 设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是（　　）
A. s≥t B. s＞t
C. s≤t D. s＜t
解析：　因为b2＋1≥2b，所以a＋2b≤a＋b2＋1，当且仅当b＝1时等
号成立，所以s≥t.
√
2. 某校团委组织了一场竞赛活动，要用警戒线围出400 m2的矩形活动区
域，则所用警戒线的长度的最小值为（　　）
A. 30 m B. 50 m
C. 80 m D. 110 m
解析：　设该矩形区域的长为x m，则宽为 m，则所用警戒线的长度
为2 ≥2×2 ＝80，当且仅当 ＝x，即x＝20时，等号成
立.所以所用警戒线的长度的最小值为80 m.故选C.
√
3. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部
分），矩形花园面积的最大值为 .
400
解析：由题意设矩形花园的长为x（x＞0），宽为y（y＞
0），矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花
园是矩形，则△ADE∽△ABC，所以 ＝ ，又因为AG＝
BC＝40，所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40，由
基本不等式x＋y≥2 ，得xy≤400，当且仅当x＝y＝20
时等号成立，此时矩形花园面积最大，最大值为400.
4. 已知a，b都是正数，求证： ≥4.
证明：∵a＞0，b＞0，
∴a＋ ≥2 ＝2，b＋ ≥2 ＝2.
由不等式的性质，得 ≥4，
当且仅当a＝1且b＝1时，等号成立.
课堂小结
1.理清单
（1）利用基本不等式比较大小及证明不等式；
（2）基本不等式的实际应用.
2.应体会
（1）利用基本不等式证明不等式的关键是以“已知”看“可知”，逐步
推向“未知”，证明的常用方法有综合法、分析法；
（2）利用基本不等式解决实际问题时，首先要审清题意，然后将实际问
题转化为数学问题.
3.避易错
生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围.
课时作业
04
PART
1. “ab≤2”是“a2＋b2≤4”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：若取a＝2，b＝－1，则ab≤2成立，但a2＋b2＞4，即“ab≤2” / “a2＋b2≤4”，充分性不成立；若a2＋b2≤4，则2ab≤a2＋b2≤4，可得ab≤2，即“a2＋b2≤4” “ab≤2”，必要性成立.所以“ab≤2”是“a2＋b2≤4”的必要不充分条件.
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2. 若直角三角形的面积为18，则两条直角边的和的最小值是（　　）
B. 6
D. 12
解析：　设直角三角形的两直角边分别为a，b，因为直角三角形的面积
为18，即ab＝36，所以两条直角边的和a＋b≥2 ＝12，当且仅当a＝
b＝6时取等号，所以两条直角边的和的最小值是12.
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3. 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面
造价是20元/m2，侧面造价是10元/m2，则该容器的最低总造价是（　　）
A. 80元 B. 120元
C. 160元 D. 240元
解析：　设底面相邻两边的长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝
4 xy＝4.T＝4×20＋（2x＋2y）×1×10＝80＋20（x＋y）≥80＋
20×2 ＝80＋20×4＝160（当且仅当x＝y＝2时取等号）.故该容器的
最低总造价是160元.故选C.
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4. 已知－6＜a＜3，则下列选项中正确的是（　　）
解析：　∵－6＜a＜3，∴3－a＞0，a＋6＞0.∴
≤ ＝ ，当且仅当3－a＝a＋6时等号成立，即a＝－
时等号成立，故选B.
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5. 〔多选〕小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b（a＜b），其全程
的平均速度为v，则下列结论正确的是（　　）
解析：设甲、乙两地之间的距离为s.因为a＜b，所以v＝ ＝ ＜ ＝ .又v－a＝ －a＝ ＝ ＞0，所以v＞a，所以a＜v＜ ，故选A、D.
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6. 〔多选〕已知某出租车公司为升级服务水平，购入了一批豪华轿车投入
运营，据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润y（万元）与运营年数x
的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是（　　）
A. 车辆运营年数越多，利润越高
B. 车辆在第6年时，总利润最高
C. 车辆在前5年的平均利润最高
D. 车辆每年都能盈利
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解析：由题意可知，y＝－x2＋12x－25是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确； ＝－x＋12－ ＝－（x＋ ）＋12≤－2 ＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误.
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7. 已知a，b是不相等的正数，x＝ ，y＝ ，则x，y的大小
关系是 .
解析：x2＝ ，y2＝a＋b＝ .因为a＋b＞2
（a≠b），所以x2＜y2，因为x，y＞0，所以x＜y.
x＜y
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8. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的
浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C＝ ，则经
过 h后池水中药品的浓度达到最大.
解析：当t＝0时，C＝0，当t＞0时，C＝ ＝ ≤ ＝5，当且仅
当t＝ ，即t＝2时取等号.因此经过2 h后池水中药品的浓度达到最大.
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9. 某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月
货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓
库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和
最小，仓库应建在离车站 km处.
解析：设仓库到车站的距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费
用为y2，由题意可设y1＝ ，y2＝k2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8
分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝ ，y2＝0.8x，则两项费用之
和为y＝y1＋y2＝0.8x＋ ≥2×4＝8，当且仅当0.8x＝ ，即x＝5时等
号成立.∴当仓库建在离车站5 km处时两项费用之和最小.
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10. 已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证： ≥9.
证明：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以1＋ ＝1＋ ＝2＋ ，
同理1＋ ＝2＋ ，
所以 ＝
＝5＋2 ≥5＋4＝9，
当且仅当 ＝ ，
即a＝b＝ 时等号成立，
所以 ≥9.
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11. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产
x件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平
均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
（　　）
A. 30件 B. 60件
C. 80件 D. 100件
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解析：　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则y＝
＝ ＋ ≥2 ＝30，当且仅当 ＝ ，即x＝60时等号成
立，故每批应生产产品60件.故选B.
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12. “海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了已知三角形三边长求
三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，则面积S可由
公式S＝ 求得，其中p为三角形周长的一半.现
有一个三角形的三边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为
（　　）
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解析：　因为a＝6，b＋c＝8，所以p＝ ＝7.又由三角形边长关
系可得1＜b＜7，1＜c＜7，所以S＝ ≤
× ＝ × ＝3 ，当且仅当7－b＝7－c即b
＝c＝4时等号成立，所以三角形面积的最大值为3 .
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13. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，
要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，
AD＝3米，当BM＝ 米时，矩形花坛AMPN的面积最小.
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解析：设BM＝x（x＞0），则由DC∥AM得 ＝ ，解得ND＝
，∴矩形AMPN的面积为S＝（4＋x）·（3＋ ）＝24＋3x＋ ≥24＋
2 ＝48，当且仅当3x＝ ，即x＝4时等号成立.∴当BM＝4米时，
矩形花坛AMPN的面积最小.
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14. 如图所示，设矩形ABCD（AB＞BC）的周长为24，把它沿AC翻折，
翻折后AB'交DC于点P，设AB＝x.
（1）用x表示DP，并求出x的取值范围；
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解：矩形ABCD（AB＞BC）的周长为24，
∵AB＝x，∴AD＝ －x＝12－x，
∵AB＞BC＝AD，得x＞12－x，
∴6＜x＜12，
在△APC中，∠PAC＝∠PCA，
∴AP＝PC，从而得DP＝PB'，
∴AP＝AB'－PB'＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由
勾股定理得（12－x）2＋DP2＝（x－DP）2，
∴DP＝12－ （6＜x＜12）.
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（2）求△ADP面积的最大值及此时x的值.
解：在Rt△ADP中，S△ADP＝ AD·DP＝ （12－x）
（12－ ）＝108－（6x＋ ）（6＜x＜12）.
∵6＜x＜12，
∴6x＋ ≥2 ＝72 ，当且仅当6x＝ ，即x＝
6 时，等号成立.
∴S△ADP＝108－（6x＋ ）≤108－72 ，
∴当x＝6 时，△ADP的面积取得最大值108－72 .
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15. 已知a，b，c＞0时，有 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
≥6，利用分拆、重组、配对，使用基本不等式求出最值.依此启
示，求当a，b，c＞0时， ＋ ＋ 的最小值.
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解：由于 ＋ ＋ ＋3
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ [（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋b）]（ ＋ ＋ ）
＝ ［3＋ ＋ ＋
］
＝ ［3＋ ＋ ＋ ］≥ ，
从而 ＋ ＋ ≥ ，当且仅当a＝b＝c时，原式取得最小值 .
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演示完毕 感谢观看