《创新课堂》2.2第一课时　基本不等式 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共55张PPT)
2.2　基本不等式
1. 知道基本不等式 ≤ （a＞0，b＞0）的几何背景，能结合具体实例解释基本不等式成立的条件（逻辑推理）.
2. 利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的不等式（数学运算、逻辑推理）.
3. 会用基本不等式求解实际应用题（数学建模）.
课标要求
　有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起探究一下吧！
情景导入
第一课时　基本不等式
知识点一　基本不等式
01
知识点二　基本不等式的几何解释
02
提能点　利用配凑法求最值
04
目录
课时作业
05
知识点三　基本不等式与最值
03
知识点一
基本不等式
01
PART
问题1　（1）由教材中的“赵爽弦图”我们得到了一个什么样的不等式？
提示：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时，取得等
号）.
（2）如果a＞0，b＞0，我们用 ， 分别替换上式中的a，b，能得
到什么样的结论？
提示：用 ， 分别替换上式中的a，b可得到a＋b≥2 ，即
≤ ，当且仅当a＝b时，等号成立.
（3）上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a＞
0，b＞0都能成立？请给出证明.
提示：法一（作差法） － ＝
＝ ＝ ≥0，
即 ≥ ，当且仅当a＝b时，等号成立.
只需证－（ － ）2≤0，
显然（ － ）2≥0成立，故原不等式成立，当且仅当a＝b时，等号
成立.
法二（性质法） 要证 ≤ ，
只需证2 ≤a＋b，
只需证2 －a－b≤0，
【知识梳理】
1. 如果a＞0，b＞0，那么 ，当且仅当a＝b时，等号成
立.
2. 叫做正数a，b的 ， 叫做正数a，b的
.
3. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平
均数.
　　提醒：“当且仅当”的含义：①当a＝b时取等号，即a＝b ＝
；②仅当a＝b时取等号，即 ＝ a＝b.
≤　
算术平均数　
几何平
均数　
不小于　
【例1】　〔多选〕下列说法正确的是（　　）
A. 对 a，b∈R， ≥ 成立
B. 若a＞0，b＞0且a≠b，则a＋b＞2
C. 对 a，b∈R，a2＋b2≥2ab
D. 若x＞2，则x＋ ≥2中可以取等号
解析：A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立；D项，x＋ ≥2 ＝2取等号的条件为 无解，不等式中不可取等号.
√
√
【规律方法】
利用基本不等式判断命题真假的步骤
（1）检查是否满足应用基本不等式的条件；
（2）应用基本不等式；
（3）检验等号是否成立.
训练1　下列不等式的推导过程正确的是 .（填序号）
①因为a，b为正实数，所以 ＋ ≥2 ＝2；
②因为a∈R，a≠0，所以 ＋a≥2 ＝4；
③若x＜0，则x＋ ＝－ ≤－2· ＝－4.
解析：②中，因为a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，所以 ＋
a≥2 ＝4是错误的；①和③可由基本不等式推导得到，正确.
①③
知识点二
基本不等式的几何解释
02
PART
问题2　如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，
过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.
（1）线段OD，CD的长度分别是多少？
提示：OD＝ ，
因为△ADC∽△DBC，所以利用相似比可得CD＝ .
（2）你能否利用语言文字描述以上结论？
提示： 表示圆的半径的长. 表示圆内任意半弦长.
（3）如何利用这个图形得到基本不等式的几何解释？
提示：根据直角三角形三边关系可知，OD＞CD，当且仅当点O与点C重
合时，OD＝CD，所以 ≥ ，当且仅当a＝b时，等号成立.即圆
内任意半弦长小于或等于圆的半径长.
知识点三
基本不等式与最值
03
PART
问题3　（1）试写出基本不等式的几种变形.
提示：当a＞0，b＞0时，有①a＋b≥2 ；②ab≤ .
（2）由基本不等式的变形你能发现什么规律？
提示：若两个正数的和为定值，我们可以求这两个数乘积的最大值；若两
个正数的乘积为定值，我们可以求这两个数和的最小值.
【知识梳理】
已知x，y都是正数，则
（1）如果积xy等于定值P，那么当 时，和x＋y有最小
值 ；
（2）如果和x＋y等于定值S，那么当 时，积xy有最大值 .
　　提醒：三个关键点：①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各
项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.
x＝y　
2 　
x＝y　
S2
【例2】　（链接教材P45例1）（1）若x＞0，求y＝4x＋ 的最小值；
解：∵x＞0，∴由基本不等式得y＝4x＋ ≥2 ＝2 ＝12，
当且仅当4x＝ ，即x＝ 时等号成立，
∴y＝4x＋ 的最小值为12.
（2）若x＋y＝40，且x，y都是正数，求xy的最大值.
解：由xy≤ ＝400，当且仅当x＝y＝20时，等号成立，则所求
最大值为400.
【规律方法】
利用基本不等式求最值的策略
训练2　（1） 的最小值是 　2 　；
解析： ＝｜a｜＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当｜a｜
＝ ，即a＝± 时，取等号.
（2）若0＜a＜2，则 的最大值为 .
2
解析：当0＜a＜2时，2－a＞0，则 ≤ ＝1，当且
仅当2－a＝a，即a＝1时，等号成立.
1
04
PART
提能点
利用配凑法求最值
【例3】　（1）已知x＞3，求y＝2x＋ 的最小值；
解：因为x＞3，所以2x－6＞0，
所以y＝2x＋ ＝（2x－6）＋ ＋6≥2 ＋6＝
2×2＋6＝10，
当且仅当2x－6＝ ，即x＝4时取等号，
所以y＝2x＋ 的最小值是10.
（2）已知0＜x＜ ，求y＝ x（1－3x）的最大值.
解：因为0＜x＜ ，所以1－3x＞0，
所以y＝ ·3x（1－3x）≤ ＝ × ＝ ，
当且仅当3x＝1－3x，即x＝ 时，等号成立.
所以y＝ x（1－3x）的最大值为 .
【规律方法】
配凑法的应用技巧
　　为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设
条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本
不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
训练3　（1）已知a＞0，b＞0，a＋2b＝4，则ab的最大值是（　B　）
A. B. 2
C. 2 D. 4
解析：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝4，∴ab＝ a·2b≤ ＝ ×
＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时，等号成立.∴ab的最大值为2.
B
（2）已知x＜0，则 ＋4x的最大值为 　－8 　.
解析：因为x＜0，所以－x＞0，所以 ＋（－4x）≥2 ＝
8 ，当且仅当 ＝－4x，即x＝－ 时取等号，所以 ＋4x≤－
8 ，所以当x＜0时， ＋4x的最大值为－8 .
－8
1. 不等式a2＋ ≥4中，等号成立的条件是（　　）
A. a＝4 B. a＝
C. a＝－ D. a＝±
解析：此不等式等号成立的条件为a2＝ ，即a＝± .
√
2. 已知0＜x＜1，则x（1－x）的最大值为 　 　，此时x＝ 　 　.
解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x（1－x）≤ ＝
＝ ，当且仅当x＝1－x，即x＝ 时“＝”成立，即当x＝ 时，x
（1－x）取得最大值 .
3. 已知正实数x，y满足xy＝1，则x＋4y的最小值是 .
解析：正实数x，y满足xy＝1，则x＋4y≥2 ＝4，当且仅当x＝
4y，即x＝2，y＝ 时，取得等号.


4
4. 已知m，n＞0，且m＋n＝16，则 mn的最大值为 .
解析：因为m，n＞0，且m＋n＝16，所以mn≤ ＝ ＝64，
当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64，所以 mn的最大值为32.
32
课堂小结
1.理清单
（1）基本不等式的推导与证明；
（2）求简单代数式的最值.
2.应体会
求最值的常用方法有配凑法.
3.避易错
忽略利用基本不等式求最值的条件：“一正、二定、三相等”，尤其是
“当且仅当，等号成立”这八个字.
课时作业
05
PART
1. 不等式（x－2y）＋ ≥2成立的前提条件为（　　）
A. x≥2y B. x＞2y
C. x≤2y D. x＜2y
解析：　因为不等式成立的前提条件是x－2y和 均为正数，所以x－
2y＞0，即x＞2y.
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√
2. 下列各式中最小值为2的是（　　）
A. y＝t＋ （t＞1） B. y＝ ＋
C. y＝t＋ （t＞1） D. y＝t＋ ＋1（t＞0）
解析：　A中，y＝t＋ ≥2，当且仅当t＝1时等号成立，又t＞1，所以
等号取不到；B中，y＝ ＋ ≥2，当且仅当t＝1时等号成立；C中，y
＝t＋ ＝t－1＋ ＋1≥3；D中，y＝t＋ ＋1≥3.
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3. 3x2＋ 的最小值是（　　）
A. 3 －3 B. 3
C. 6 D. 6 －3
解析：　3（x2＋1）＋ －3≥2 －3＝2 －3＝
6 －3，当且仅当x2＝ －1时等号成立，故选D.
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4. 已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则（1＋x）·（1＋y）的最大值为
（　　）
A. 9 B. 16
C. 25 D. 36
解析：　法一　（1＋x）（1＋y）＝xy＋x＋y＋1＝xy＋9≤ ＋
9＝25，当x＝y＝4时取等号，故选C.
√
法二　10＝（x＋1）＋（y＋1）≥2 ，解得（x＋1）
（y＋1）≤25，当x＝y＝4时取等号，故选C.
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5. 〔多选〕已知实数a，b，下列不等式一定成立的是（　　）
A. ＋ ＞ B. a＋ ≥2
C. ｜ ＋ ｜≥2 D. 2（a2＋b2）≥（a＋b）2
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解析：　当a＝－1，b＝－1时，ab＞0， ＋ ＞ 不成立，故A不符合题意；当a＜0时，a＋ ≥2不成立，故B不符合题意；｜ ＋ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立，故C符合题意；∵2（a2＋b2）－（a＋b）2＝a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2，故D符合题意.故选C、D.
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6. 〔多选〕下列说法正确的有（　　）
A. x＋ （x≠0）的最小值是2
B. ＋ （a＜0，b＜0）的最小值是2
C. x2＋2＋ 的最小值是2
D. （a＋b） （a＞0，b＞0）的最小值是4
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解析：x＋ ≥2，需x＞0，故A不正确.因为a＜0，b＜0，所以 ＞0， ＞0，所以 ＋ ≥2 ＝2，当且仅当 ＝ ，即a＝b时，等号成立，故B正确.因为x2＋2＞0，所以x2＋2＋ ≥2 ＝2，当且仅当x2＋2＝ ，即x2＋2＝1时，等号成立，显然x2＋2＝1不成立，故C不正确.因为a＞0，b＞0，所以（a＋b） ＝1＋ ＋ ＋1＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4，当且仅当 ＝ ，即a＝b时，等号成立，故D正确.
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7. 已知y＝4x＋ （x＞0，a＞0）在x＝3时取得最小值，则a的值
为 .
解析：∵y＝4x＋ （x＞0，a＞0），∴y＝4x＋ ≥2 ＝4 ，当
且仅当4x＝ 即x＝ 时，等号成立.又∵y＝4x＋ （x＞0，a＞0）在x
＝3时取得最小值，∴ ＝3，∴a＝36.
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8. 若a＞0，且a＋b＝0，则a－ ＋1的最小值为 .
解析：由a＋b＝0，a＞0，得b＝－a，－ ＝ ＞0，所以a－ ＋1＝a
＋ ＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号.
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9. 已知x＞0，则y＝ 的最大值为 .
解析：y＝ ＝2－x－ ，∵x＞0，∴x＋ ≥4.∴y＝2－
≤2－4＝－2.当且仅当x＝ （x＞0），即x＝2时取等号，∴ymax＝－2.
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10. 已知x＞3，求y＝x＋ 的最小值，并说明x为何值时，y取得最小
值.下面是某位同学的解答过程：
解：因为x＞3，所以 ＞0，根据基本不等式有y＝x＋ ≥2 ，
其中等号成立当且仅当x＝ ，即x（x－3）＝4，解得x＝4或x＝－1
（舍），所以y＝x＋ 的最小值为2 ＝8，因此，当x＝4时，y
＝x＋ 取得最小值8.
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该同学的解答过程是否有错误？如果有，请指出错误的原因，并给出正确
的解答过程.
解：解答过程有错误，错误原因：x· 不是定值，所以最小值不一定在x
＝ 处取得.
正确解答：
因为x＞3，所以x－3＞0，y＝x＋ ＝x－3＋ ＋
3≥2 ＋3＝7，其中等号成立当且仅当x－3＝ ，
解得x＝5或x＝1（舍去），
所以当x＝5时，y＝x＋ 取得最小值7.
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11. 若a，b都是正数，则 的最小值为（　　）
A. 5 B. 7
C. 9 D. 13
解析：　因为a，b都是正数，所以 ＝5＋ ＋ ≥5＋
2 ＝9，当且仅当b＝2a时等号成立.
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12. 已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝ ＋ 的最大值
为 .
解析：∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，∴W2＝3x＋2y＋2 ≤10
＋（3x＋2y）＝20，当且仅当3x＝2y，即x＝ ，y＝ 时，等号成
立.∴W≤2 ，即W的最大值为2 .
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13. 已知t＞0，则y＝ 的最大值为 　 　.
解析：因为t＞0，y＝ ，所以 ＝ ＝t＋ ＋4≥2 ＋4＝
6，所以0＜y≤ ，当且仅当t＝ ，即t＝1时，等号成立，所以y＝
的最大值为 .

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14. 若x＞0，y＞0，且（x＋2）（y＋1）＝9，求x＋3y＋5的最小值.
解：因为x＞0，y＞0，且（x＋2）（y＋1）＝9，所以x＋3y＋5＝（x
＋2）＋3（y＋1）≥2 ＝6 ，当且仅当x＋2＝3（y
＋1），（x＋2）（y＋1）＝9，即 时，等号成立，故当
时，（x＋3y＋5）min＝6 .
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15. 如图，ABDC为梯形，其中AB＝a，CD＝b，设O为对角线的交
点.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL
表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行于
两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等
的两个梯形的线段.
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试研究线段GH，KL，EF，MN与代数式 ， ， ，
之间的关系，并据此几何图形推测这四个代数式之间的大小关系.
解：∵GH是梯形ABDC的中位线，
∴GH＝ （AB＋CD）＝ （a＋b）；
∵梯形ABLK与梯形KLDC相似，
∴ ＝ ，∴KL＝ ；
∵△AEO∽△ACD，△DOF∽△DAB，
∴ ＝ ， ＝ ，∴ ＋ ＝1，同理 ＋ ＝1，∴EF＝ ；
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∵S梯形MNDC＝S梯形ABNM＝ S梯形ABDC，设这三个梯形的高分别为h1，h2，
h，且h1＋h2＝h，
则有 （a＋b）h＝（b＋MN）h1＝（a＋MN）h2，
∴MN＝ .
由几何图形中线段长可知EF＜KL＜GH＜MN，
即 ＜ ＜ ＜ .
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