《创新课堂》3.1.1第二课时　函数的概念（二） 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共57张PPT)
第二课时　函数的概念（二）
1. 会判断两个函数是不是同一个函数（逻辑推理）.
2. 能正确使用区间表示数集（直观想象）.
3. 会求一些简单函数的值域（数学运算、直观想象）.
课标要求
　　正方形的周长l与边长x有着什么样的对应关系？根据上一节课所学知识，如何解释正方形的周长l与边长x的对应关系？同学们能否利用已知的函数判断上述函数l＝4x与正比例函数y＝4x是否相同？
情景导入
知识点一　区间的概念
01
知识点二　同一个函数
02
提能点　求函数的值域
03
目录
课时作业
04
知识点一
区间的概念
01
PART
问题1　运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速
度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350公里/时
之间.
（1）如何表示列车运行速度的范围？
提示：用描述法表示：{v｜200≤v≤350}.
（2）还可以用其他形式表示列车运行速度的范围吗？
提示：还可以用区间表示.
【知识梳理】
1. 设a，b是两个实数，而且a＜b.我们规定：
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为
；
（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为
；
（3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区
间，分别表示为 ， .这里的实数a与b都叫做相
应区间的端点.
[a，
b]　
（a，
b）　
[a，b）　
（a，b]　
2. 区间的表示
设a，b∈R，且a＜b，规定如下：
集合表示 区间表示 数轴表示
{x｜a≤x≤b} [a，b]
{x｜a＜x＜b} （a，b）
{x｜a≤x＜b} [a，b）
{x｜a＜x≤b} （a，b]
集合表示 区间表示 数轴表示
{x｜x≥a}
{x｜x＞a}
{x｜x≤b}
{x｜x＜b}
[a，＋∞）
（a，＋∞）
（－∞，b]
（－∞，b）
【例1】　把下列数集用区间表示：
（1）{x｜x≥－1}；
解：{x｜x≥－1}＝[－1，＋∞）.
（2）{x｜x＜0}；
解：{x｜x＜0}＝（－∞，0）.
（3）{x｜－1＜x＜1}；
解：{x｜－1＜x＜1}＝（－1，1）.
（4）{x｜－2＜x≤2且x≠0}.
解：{x｜－2＜x≤2且x≠0}＝（－2，0）∪（0，2].
【规律方法】
用区间表示数集的关键点
（1）区间左端点值小于右端点值；
（2）区间两端点之间用“，”隔开；
（3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
（4）以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
训练1　 （1）集合{x｜0＜x＜1或2≤x≤5}用区间表示为
；
解析：{x｜0＜x＜1或2≤x≤5}＝（0，1）∪[2，5].
（2）已知区间（a2＋a＋1，3]，则实数a的取值范围是 .
（0，1）
∪[2，5]
解析：由题意可知a2＋a＋1＜3，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1，所以
实数a的取值范围是（－2，1）.
（－2，1）
知识点二
同一个函数
02
PART
问题2　补充下列表格并观察这两个函数有什么共同点？
三要素函数 定义域 对应关系 值域
f（x）＝x＋2
f（t）＝t＋2
提示：共同点：这两个函数的定义域、值域、对应关系完全相同.
R
f（x）＝x＋2
R
R
f（t）＝t＋2
R
【知识梳理】
如果两个函数的定义域 ，并且对应关系 ，即相同的
自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.
相同　
完全一致　
A. f（x）＝ ，g（x）＝
B. f（x）＝ · ，g（x）＝
C. f（x）＝ ，g（x）＝x＋3（x≥2）
D. 汽车匀速行驶时，路程与时间的函数关系f（t）＝80t（0≤t≤5）与
一次函数g（x）＝80x（0≤x≤5）
【例2】　〔多选〕下列各组函数表示同一个函数的是（　　）
√
√
解析：　A项，f（x）＝ ，g（x）＝ ，不是同一个函数，对应关系不同；B项，是同一个函数，定义域、对应关系都相同；C项，f（x）＝｜x＋3｜，g（x）＝x＋3，不是同一个函数，对应关系不同，定义域也不同；D项，是同一个函数，定义域、对应关系都相同.
【规律方法】
判断两个函数为同一个函数应注意的三点
（1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即
使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数；
（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因
变量是没有限制的；
（3）在化简解析式时，必须是等价变形.
训练2　下列各组函数中是同一个函数的是（　　）
A. y＝x＋1与y＝
B. y＝x2＋1与s＝t2＋1
C. y＝2x与y＝2x（x≥0）
D. f（x）＝ ，g（x）＝x－1
解析：A、C、D选项中两函数的定义域不同，故A、C、D中不是同一个函数；B选项中两函数的定义域和对应关系均相同，是同一个函数.
√
03
PART
提能点
求函数的值域
【例3】　求下列函数的值域：
（1）y＝ －1；
解：（直接法）　∵ ≥0，∴ －1≥－1，
∴y＝ －1的值域为[－1，＋∞）.
（2）y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}；
解：（观察法）　∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，
把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3，2，
∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}.
（3）y＝ ；
解：（分离常数法）　y＝ ＝ ＝2＋ ，显然 ≠0，
∴y≠2，
故函数的值域为（－∞，2）∪（2，＋∞）.
（4）y＝2x－ .
解：（换元法）　设t＝ ，则t≥0，且x＝t2＋1，
∴y＝2（t2＋1）－t＝2（t－ ）2＋ ，
由t≥0，结合函数y＝2（t－ ）2＋ 的图象可得原函数的
值域为［ ，＋∞）.
【规律方法】
求函数值域的方法
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
（2）配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通
过配方转化为能直接看出其值域的式子的方法；
（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为
“反比例函数”的形式，便于求值域；
（4）换元法：对于一些无理函数（如y＝ax±b± ），可通过换
元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域，间接地求解原函数
的值域.
提醒：用换元法时应注意新元的取值范围.
训练3　求下列函数的值域：
（1）y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
解：∵y＝2x＋1，且x∈{1，2，3，4，5}，
∴y∈{3，5，7，9，11}.
∴函数的值域为{3，5，7，9，11}.
（2）y＝x2＋2x＋3；
解：y＝x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2，
∵（x＋1）2≥0，∴（x＋1）2＋2≥2，
∴函数的值域为[2，＋∞）.
（3）y＝x＋2 .
解：令t＝ （t≥0），
则x＝t2＋1，y＝t2＋1＋2t＝（t＋1）2，
∵t≥0，∴y＝（t＋1）2≥1，
∴函数的值域为[1，＋∞）.
抽象函数、复合函数的定义域
　　由教材第74页第17题、第18题，适度拓展以下内容.
1. 抽象函数的定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数.
2. 复合函数的概念：若函数y＝f（t）的定义域为A，函数t＝g（x）的
定义域为D，值域为C，则当C A时，称函数y＝f（g（x））为f
（t）与g（x）在D上的复合函数，其中x称为自变量，t称为中间变量，
t＝g（x）叫做内层函数，y＝f（t）叫做外层函数.
（1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f（x）的定义域
是指x的取值范围，函数y＝f（g（x））的定义域也是指x的取值范围，
而不是g（x）的取值范围；
（2）已知f（x）的定义域为A，求f（g（x））的定义域，其实质是已
知g（x）的取值范围（值域）为A，求x的取值范围；
（3）已知f（g（x））的定义域为B，求f（x）的定义域，其实质是已
知f（g（x））中x的取值范围为B，求g（x）的取值范围（值域），这
个范围就是f（x）的定义域.
3. 抽象函数或复合函数的定义域
【典例】　（1）函数y＝f（x）的定义域是[－1，3]，则f（2x＋1）的
定义域为 ；
解析：令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1，所以f（2x＋1）的定义域为
[－1，1].
（2）若函数y＝f（3x＋1）的定义域为[－2，4]，则y＝f（x）的定义域
是 .
[－1，1]
解析：由题意知，－2≤x≤4，所以－5≤3x＋1≤13，所以y＝f（x）的
定义域是[－5，13].
[－5，13]
【规律方法】
复合函数的定义域
（1）已知f（x）的定义域为[a，b]，求f（g（x））的定义域时，不等
式a≤g（x）≤b的解集即定义域；
（2）已知f（g（x））的定义域为[c，d]，求f（x）的定义域时，g
（x）在[c，d]上的范围（值域）即定义域.
【迁移应用】
1. 已知函数f（x）的定义域为[－1，2]，则f（3－2x）的定义域为
（　　）
A. ［ ，2］ B. [－1，2]
C. [－1，5] D. ［1， ］
解析：　由于函数f（x）的定义域为[－1，2]，故－1≤3－2x≤2，解
得 ≤x≤2，即函数f（3－2x）的定义域为［ ，2］.
√
2. 已知函数f（x－1）的定义域为{x｜－2≤x≤3}，则函数f（2x＋1）
的定义域为（　　）
A. {x｜－1≤x≤9} B. {x｜－3≤x≤7}
C. {x｜－2≤x≤1} D. {x｜－2≤x≤ }
解析：　∵函数y＝f（x－1）的定义域为{x｜－2≤x≤3}，∴－3≤x
－1≤2，即函数f（x）的定义域为{x｜－3≤x≤2}.∴对函数f（2x＋
1），有－3≤2x＋1≤2，解得－2≤x≤ .即函数f（2x＋1）的定义域为
{x｜－2≤x≤ }.
√
1. 区间（－3，3]用集合可表示为（　　）
A. {－2，－1，0，1，3} B. {x｜－3＜x＜3}
C. {x｜－3＜x≤3} D. {x｜－3≤x≤3}
√
解析：　在数轴上表示为 ，该区间可用集合表示为{x｜－3
＜x≤3}.
2. 函数f（x）＝ （x∈R）的值域是（　　）
A. [0，1] B. [0，1）
C. （0，1] D. （0，1）
√
解析：　因为x2＋1≥1，所以0＜ ≤1，所以函数的值域为（0，1].
3. 已知区间[2a－1，11]，则实数a的取值范围是（　　）
A. （－∞，6） B. （6，＋∞）
C. （1，6） D. （－1，6）
解析：　由题意可知2a－1＜11，解得a＜6，所以实数a的取值范围是
（－∞，6）.故选A.
√
4. 函数y＝ 的定义域为 .
解析：由 解得x≥－1且x≠0，故函数的定义域为[－
1，0）∪（0，＋∞）.
[－1，0）∪（0，＋∞）
课堂小结
1.理清单
（1）用区间表示连续实数集；
（2）同一个函数；
（3）求函数的值域.
2.应体会
求二次型函数的值域用配方法，求无理函数的值域用换元法，求分式型
的函数的值域常用分离常数法.
3.避易错
（1）误认为定义域和值域相同的函数是同一个函数；
（2）求函数值域时忽略函数的定义域.
课时作业
04
PART
1. 函数y＝ 的值域为（　　）
A. [－1，＋∞） B. [0，＋∞）
C. （－∞，0] D. （－∞，－1]
解析：由题意得，x＋1≥0，则有y≥0.
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2. 已知函数f（x）＝－2x＋3的值域为[－5，5]，则它的定义域为
（　　）
A. [－5，5] B. [－7，13]
C. [－4，1] D. [－1，4]
解析：　由函数f（x）＝－2x＋3的值域为[－5，5]可知－5≤3－
2x≤5，解得－1≤x≤4.
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3. 已知函数y＝f（x）与函数y＝ ＋ 是同一个函数，则函
数y＝f（x）的定义域是（　　）
A. [－3，1] B. （－3，1）
C. （－3，＋∞） D. （－∞，1]
解析：　由于y＝f（x）与y＝ ＋ 是同一个函数，故二者
定义域相同，所以y＝f（x）的定义域为{x｜－3≤x≤1}，故写成区间形
式为[－3，1].故选A.
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4. 下列四个函数中，与y＝ 的定义域与值域均相同的是（　　）
A. y＝x＋1 B. y＝（x－1）2
C. y＝x2－1 D. y＝
解析：　y＝ ＝x，定义域为R，值域为R；对于A，y＝x＋1，定义
域为R，值域为R；对于B，y＝（x－1）2，定义域为R，值域为[0，＋
∞）；对于C，y＝x2－1，定义域为R，值域为[－1，＋∞）；对于D，y
＝ ，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），值域为（－∞，0）∪（0，
＋∞），故A的定义域与值域与y＝ 的相同.
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5. 函数y＝x＋ 的值域为（　　）
A. （－∞，1] B. [1，＋∞）
C. （－∞，1） D. （1，＋∞）
解析：　令t＝ （t≥0），则x＝ ，y＝ ＋t＝－ t2＋t
＋ ＝－ （t－1）2＋1.∵t≥0，∴当t＝1，即x＝0时，函数取得最大值
ymax＝1，∴函数y＝x＋ 的值域为（－∞，1].
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6. 〔多选〕下列各组函数为同一个函数的是（　　）
A. f（x）＝x，g（x）＝
B. f（x）＝1，g（x）＝（x－1）0
C. f（x）＝x，g（t）＝t
D. f（t）＝ ，g（t）＝t＋4（t≠4）
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解析：对于A，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；对于B，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；对于C，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数；对于D，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数.
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7. 〔多选〕已知函数y＝x2－2x＋2的值域是[1，5]，其定义域可能是
（　　）
A. [1，3] B. [0，3]
C. [－1，2] D. [－1，0]
√
√
√
解析：因为函数y＝x2－2x＋2的值域是[1，5]，由y＝5可得x＝－1或x＝3，由y＝1可得x＝1，如图，所以其定义域可以为A，B，C中的集合，故选A、B、C.
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8. 设a∈R，函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x2－a｜，若f（2）＝1，则f
（1）＝ .
解析：由f（2）＝1＋｜22－a｜＝1可得a＝4，所以f（1）＝｜1－1｜
＋｜1－4｜＝3.
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9. 函数y＝ 的定义域用区间表示为
.
解析：要使函数有意义，需满足 即 ∴定义域为
（－∞，－4）∪（－4，4）∪（4，6].
（－∞，－4）∪（－4，4）∪
（4，6]
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10. 求下列函数的值域：
（1）y＝｜2x－1｜，x∈{0，1，2，3}；
解：∵y＝｜2x－1｜，x∈{0，1，2，3}，
∴函数的值域为{1，3，5}.
（2）y＝ ＋1；
解：∵y＝ ＋1＝ ＋1＝2－ ，且 ≠0，
∴函数的值域为{y｜y≠2}.
（3）y＝x2－4x，x∈[1，4].
解：配方，得y＝（x－2）2－4.
∵x∈[1，4]，结合图象（图略）知函数的值域为[－4，0].
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11. 已知函数f（x）的定义域为（－1，1），则函数g（x）＝f（ ）＋f
（x－2）的定义域为（　　）
A. （0，2） B. （1，2）
C. （2，3） D. （－1，1）
解析：由题意知 解得1＜x＜2.
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12. 已知函数f（x）＝ 的定义域是全体实数集，则实数m的取
值范围是 .
解析：由题意得mx2＋2mx＋1＞0恒成立，当m＝0时，mx2＋2mx＋1＝1
＞0恒成立；当m≠0时， 解得0＜m＜1.综上，实
数m的取值范围是[0，1）.
[0，1）
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13. 已知函数y＝ 的定义域为[－3，6]，则a的值为 ，b的值为 .
解析：由题意得不等式ax2＋bx＋18≥0的解集为[－3，6]，因此x＝－3
和x＝6是方程ax2＋bx＋18＝0的两个根，且a＜0，于是
解得
－1
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14. 已知函数f（x）＝ 的定义域为集合A，函数g（x）＝x2－
2x＋a，x∈[0，4]的值域为集合B，若A∪B＝R，求实数a的取值范围.
解：由题意知：函数f（x）＝ 的定义域需满足x2
－16≥0，解得x≤－4或x≥4，
所以集合A＝{x｜x≤－4或x≥4}，
函数g（x）＝x2－2x＋a＝（x－1）2＋a－1，
因为x∈[0，4]，
当x＝1时，函数g（x）取得最小值为a－1；
当x＝4时，函数g（x）取得最大值为a＋8；
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所以函数g（x）的值域为[a－1，a＋8]，
所以集合B＝[a－1，a＋8]，
因为A∪B＝R，如图所示.
所以需满足： 解得－4≤a≤－3，
故实数a的取值范围为[－4，－3].
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15. 已知函数f（x）＝ .
（1）求f（2）＋f（ ）的值；
解：因为f（x）＝ ，
所以f（2）＋f（ ）＝ ＋ ＝ ＋ ＝4.
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（2）求证：f（a）＋f（ ）是定值；
解：证明：因为f（x）＝ ，所以f（a）＋f（ ）＝ ＋
＝ ＋ ＝ ＝4，
所以f（a）＋f（ ）是定值，定值为4.
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（3）求2f（1）＋f（2）＋f（ ）＋f（3）＋f（ ）＋…＋f（2 024）
＋f（ ）＋f（2 025）＋f（ ）的值.
解：由（2）知f（a）＋f（ ）＝4，所以f（1）＋f（1）＝4，f（2）＋f（ ）＝4，f（3）＋f（ ）＝4，…，f（2 025）＋f（ ）＝4，所以2f（1）＋f（2）＋f（ ）＋f（3）＋f（ ）＋…＋f（2 024）＋f（ ）＋f（2 025）＋f（ ）＝4×2 025＝8 100.
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演示完毕 感谢观看