《创新课堂》3.1.2第二课时　分段函数 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共55张PPT)
第二课时　分段函数
1. 了解分段函数的概念（数学抽象）.
2. 会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象并能应用（数学运算、直观想象）.
3. 能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题（数学建模）.
课标要求
　　某地区的电费依据不同的时间段来收取，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些.反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用.生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税问题等.这些都与我们今天要研究的分段函数有关.
情景导入
知识点一　分段函数
01
知识点二　分段函数的图象及应用
02
知识点三　分段函数在实际问题中的应用
03
目录
课时作业
04
知识点一
分段函数
01
PART
问题1　某市公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5千米以内，票价2
元；（2）5千米以上，每增加5千米，票价增加1元（不足5千米的按5千米
计算）.已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途（包括起点站和终
点站）有11个汽车站.
（1）从起点站出发，公共汽车的行程x（千米）与票价y有函数关系吗？
提示：有函数关系.
（2）函数的表达式是什么？
提示：y＝
（3）上述函数是两个函数吗？
提示：是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同.
【知识梳理】
1. 定义：函数y＝f（x）在定义域内不同部分上，有不同的 ，
像这样的函数称为分段函数.
2. 本质：函数在定义域的不同子集内，有着不同的 .
解析式　
对应关系　
【例1】　已知函数f（x）＝
（1）求f（－2），f（3），f（f（－ ））；
解：由－2∈（－∞，－1]，3∈[1，＋∞），－ ∈（－1，1），知f（－
2）＝4＋1＝5，
f（3）＝ ，f（－ ）＝3×（－ ）＋5＝ ，
f（f（－ ））＝f（ ）＝ .
（2）若f（x）＞3，求实数x的取值范围.
解：①当x≤－1时，x2＋1＞3，解得x＜－ 或x＞ ，
又x≤－1，所以x＜－ ；
②当－1＜x＜1时，3x＋5＞3得x＞－ ，
又－1＜x＜1，所以－ ＜x＜1；
③当x≥1时， ＞3，得x＜ ，
又x≥1，所以x∈ ，
综上x的取值范围是（－∞，－ ）∪ .
变式　本例条件不变，若f（a）＝4，求实数a的值.
解：当a≤－1时，f（a）＝a2＋1＝4，a＝－ 或a＝ （舍），
当－1＜a＜1时，f（a）＝3a＋5＝4，a＝－ ，符合题意.
a≥1时，f（a）＝ ＝4，a＝ ，不符合题意，舍去.
综上当f（a）＝4时，a的值为－ 或－ .
【规律方法】
1. 分段函数求函数值的方法
（1）确定要求值的自变量属于哪一段区间；
（2）代入该段的解析式求值，当出现f（f（x0））的形式时，应从内到
外依次求值.
2. 已知函数值求参数取值的步骤
（1）先对参数的取值范围分类讨论；
（2）然后代入不同的解析式中；
（3）通过解方程求出参数的值；
（4）检验所求的值是否在所讨论的区间内.
训练1　已知函数f（x）＝
（1）求f（f（ ））的值；
解：因为f（ ）＝｜ －1｜－2＝－ ，
所以f（f（ ））＝f（－ ）＝ ＝ .
（2）若f（a）＝ ，求a的值.
解：f（a）＝ ，若｜a｜≤1，则｜a－1｜－2＝ ，
得a＝ 或a＝－ .
因为｜a｜≤1，所以a的值不存在；
若｜a｜＞1，则 ＝ ，得a＝± ，符合｜a｜＞1.
所以若f（a）＝ ，则a的值为± .
知识点二
分段函数的图象及应用
02
PART
问题2　如图所示的函数图象，你能写出该函数的解析式吗？函数的定义
域和值域呢？
提示：由于f（x）的图象由两条线段组成，因此可设f（x）＝
将点（－1，0），（0，1）代入f（x）＝ax＋b，
点（1，－1）代入f（x）＝cx可得f（x）＝
由图可知函数f（x）的定义域为[－1，1]，值域为[－1，1）.
【例2】　已知函数f（x）＝－x2＋2，g（x）＝x，令φ（x）＝min{f
（x），g（x）}（即f（x）和g（x）中的最小者）.
（1）分别用图象和解析式表示φ（x）；
解：在同一个坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象如图1.
由图1中函数取值的情况，结合函数φ（x）的定义，可得函数φ（x）的图象如图2.
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.
结合图2，得出φ（x）的解析式为φ（x）＝
（2）求函数φ（x）的定义域和值域.
解：由图2知，φ（x）的定义域为R，φ（1）＝1，　
∴φ（x）的值域为（－∞，1].
【规律方法】
分段函数图象的画法
（1）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，
先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，要
特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏；
（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去
掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
训练2　已知函数f（x）＝1＋ （－2＜x≤2）.
（1）用分段函数的形式表示函数f（x）；
解：当0≤x≤2时，f（x）＝1＋ ＝1，
当－2＜x＜0时，f（x）＝1＋ ＝1－x.
所以f（x）＝
（2）画出函数f（x）的图象.
解：函数f（x）的图象如图所示.
03
PART
知识点三
分段函数在实际问题中的应用
【例3】　《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金
所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所
得额，此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额 税率
不超过3 000元的部分 3%
超过3 000元至12 000元的部分 10%
超过12 000元至25 000元的部分 20%
某职工每月收入为x元，应缴纳的税额为y元.
（1）请写出y关于x的函数关系式；
解：由题意，得y＝
（2）有一职工八月份缴纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是
多少？
解：∵该职工八月份缴纳了54元的税款，
∴5 000＜x≤8 000，（x－5 000）×3%＝54，
解得x＝6 800.
故这名职工八月份的工资是6 800元.
【规律方法】
分段函数的实际应用
（1）当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数
模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画；
（2）分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的
取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.
训练3　某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用
电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）关于用电量x（度）
的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解决下列问题.
（1）求y关于x的函数关系式；
解：当0≤x≤100时，设函数解析式为y＝kx（k≠0）.
将x＝100，y＝65代入，
得k＝0.65，所以y＝0.65x.
当x＞100时，设函数解析式为y＝ax＋b（a≠0）.
将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，
得 解得
所以y＝0.8x－15.
综上可得，y＝
（2）利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准；
解：由（1）知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度
时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.8元.
（3）若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105
元，则该用户该月用了多少度电？
解：当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3（元）；
当y＝105时，
因为0.65×100＝65＜105，故x＞100，
所以105＝0.8x－15，解得x＝150.
即若该用户某月用电62度，则应交费40.3元；若该用户某月交费105元，
则该用户该月用了150度电.
1. 已知函数f（x）＝ 则f（5）的值是（　　）
A. 3 B. 7
C. 10 D. 9
解析：∵5≥4，∴f（5）＝5＋5＝10.
√
2. 函数y＝｜x－1｜的图象是（　　）
解析：函数的解析式可化为y＝ 画出此分段函数的图
象，故选B.
√
3. 函数y＝f（x）的图象如图所示，观察图象可知函数y＝f（x）的定义
域、值域分别是（　　）
A. [－5，0]∪[2，6），[0，5]
B. [－5，6），[0，＋∞）
C. [－5，0]∪[2，6），[0，＋∞）
D. [－5，＋∞），[2，5]
解析：由图象可知，函数的定义域即为自变量的取值范围，即[－5，0]∪[2，6），值域即为因变量的取值范围，即[0，＋∞）.
√
4. 已知函数f（x）＝ 若f（x0）＝5，则x0＝ .
解析：若x0≤0，可得 ＋1＝5，解得x0＝－2或x0＝2（舍去）；若x0
＞0，可得－2x0＝5，解得x0＝－ ，与x0＞0矛盾，故舍去.综上可得x0
＝－2.
－2
课堂小结
1.理清单
（1）分段函数的概念；
（2）分段函数的求值；
（3）分段函数的图象及应用；
（4）分段函数的实际应用.
2.应体会
分段函数的求值及在实际问题中的应用用到分类讨论思想，分段函数的
图象及应用运用数形结合思想.
3.避易错
（1）作分段函数图象时要注意衔接点的虚实；
（2）求分段函数的函数值（或已知函数值求参数的值）时要依据自变量
的取值范围确定对应的解析式；
（3）误认为分段函数是几个函数，求定义域和值域时不是求的并集.
课时作业
04
PART
1. 著名的Dirichlet函数D（x）＝ 则D（D（x））＝
（　　）
A. 0 B. 1
C. D.
解析：∵D（x）∈{0，1}，∴D（x）为有理数，∴D（D（x））＝1.
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2. 已知函数f（x）＝ 则函数y＝f（x）的图象是
（　　）
解析：当x＝－1时，y＝0，即图象过点（－1，0），故D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点（0，1），故C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点（1，2），故B错.故选A.
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3. 已知函数f（x）＝ 若f（x）＝1，则x＝（　　）
A. 1或－5 B. －1或－5
C. －1或5 D. 1或5
解析：当x≥－1时，由3－2x＝1，得x＝1；当x＜－1时，由x＋6＝1，得x＝－5；综上，x＝1或x＝－5.
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4. 已知函数f（x）＝ 若f（m）＋f（1）＝0，则实数m＝
（　　）
A. －6 B. －4
C. 6 D. 4
解析：∵f（m）＋f（1）＝0，∴f（m）＝－f（1）＝－4，当m＞0时，4m＝－4，∴m＝－1（舍去），当m≤0时，m＋2＝－4，∴m＝－6.
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5. 某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不
超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部
分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际
用水量为（　　）
A. 13立方米 B. 14立方米
C. 18立方米 D. 26立方米
解析：　该单位职工每月应缴水费y元与实际用水量x立方米满足的关系
式为y＝ 由y＝16m，可知x＞10.令2mx－10m＝
16m，解得x＝13.
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6. 〔多选〕函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A. f（x）＝
B. f（x）＝
C. f（x）＝－｜x｜＋1
D. f（x）＝｜x＋1｜
解析：通过代入点（－1，0），（0，1），（1，0）来验证，可知选A、C.
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7. 〔多选〕已知函数f（x）＝ 关于函数f（x）的结论
正确的是（　　）
A. f（x）的定义域为R
B. f（x）的值域为（－∞，4）
C. f（1）＝3
D. 若f（x）＝3，则x的值是
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解析：由题意知函数f（x）的定义域为（－∞，2），故A错误；当x≤－1时，f（x）的取值范围是（－∞，1]，当－1＜x＜2时，f（x）的取值范围是[0，4），因此f（x）的值域为（－∞，4），故B正确；当x＝1时，f（1）＝12＝1，故C错误；当x≤－1时，由x＋2＝3，解得x＝1（舍去），当－1＜x＜2时，由x2＝3，解得x＝ 或x＝－ （舍去），故D正确.
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8. 函数y＝ 的值域是 .
解析：值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{y｜0≤y≤2或y＝3}.
{y｜0≤y≤2或y＝3}
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9. 某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km（含3 km），3
km后到10 km（含10 km）每多走1 km（不足1 km按1 km计）加价0.5元，
10 km后每多走1 km加价0.8元，某人坐出租车走了13 km，他应交
费 　　　　元.
11.9
解析：结合已知条件可知，某人坐出租车走了13 km应交费6＋（10－3）
×0.5＋（13－10）×0.8＝11.9（元）.　
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10. 某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月
用电量不超过100 kW·h，按0.57元/（kW·h）计费；每月用电量超过100
kW·h，其中100 kW·h仍按原标准收费，超过部分按1.5元/（kW·h）计费.
（1）设月用电x kW·h，应交电费y元，写出y关于x的函数解析式；
解：当0≤x≤100时，月电费＝月用电量×标准电价，可得y＝
0.57x；
当x＞100时，月电费＝100 kW·h的电费＋超过100 kW·h部分的电费，可得
y＝0.57×100＋1.5×（x－100）＝1.5x－93.
所以y＝
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（2）小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表：
月份 1 2 3 合计
计费金额/元 114 75 45.6 234.6
问：小赵家第一季度共用电多少？
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解：由（1）可知，当电费不超过57元时，说明月用电量不超过100kW·h；当电费超过57元时，说明月用电量超过100 kW·h.
因此用电量应使用函数的不同关系式来计算.
因为1月份、2月份电费超过57元，所以按第二个函数关系式计算，即1.5x
－93＝114，1.5x－93＝75，分别算出1月份用电138 kW·h，2月份用电112
kW·h；而3月份电费不超过57元，按第一个函数关系式计算，
有0.57x＝45.6，算出3月份用电80 kW·h.
因此，小赵家第一季度共用电330 kW·h.
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11. 已知f（x）＝ 则不等式xf（x）＋x≤2的解集是（　　）
A. {x｜x≤1} B. {x｜x≤2}
C. {x｜0≤x≤1} D. {x｜x＜0}
解析：　因为当x≥0时，f（x）＝1，所以xf（x）＋x≤2 x≤1，所
以0≤x≤1；因为当x＜0时，f（x）＝0，所以xf（x）＋x≤2 x≤2，
所以x＜0.综上，x≤1.
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12. 设函数f（x）＝ 若f（f（ ））＝4，则b＝
（　　）
A. B.
C. D. 1
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解析：　由题可知f（ ）＝3× －b＝ －b，①
则b∈ ，
② b＝ ，综上可知，b＝ .
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13. 〔多选〕设x∈R，定义符号函数sgn x＝ 则下列各式不
正确的是（　　）
A. x＝－x｜sgn x｜ B. x＝－xsgn｜x｜
C. ｜x｜＝｜x｜sgn x D. ｜x｜＝xsgn x
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解析：对于选项A，右边＝－x｜sgn x｜＝ 而左边＝x，显然不正确；对于选项B，右边＝－xsgn｜x｜＝ 而左边＝x，显然不正确；对于选项C，右边＝｜x｜sgn x＝ ＝x，x∈R，而左边＝｜x｜＝ 显然不正确；
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对于选项D，右边＝xsgn x＝ 而左边＝｜x｜＝
显然正确.
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14. 已知函数f（x）＝ 的值域为R，求实数a
的取值范围.
解：当x≥4时，f（x）＝ ＋2≥4.
因为函数f（x）＝ 的值域为R，
所以当x＜4时，f（x）＝（3－a）x＋5a满足
解得－8≤a＜3.
故实数a的取值范围是[－8，3）.
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15. 设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，如
当x＝3.14时，[x]＝[3.14]＝3；当x＝－3.14时，[x]＝[－3.14]＝－4.
于是，我们把y＝[x]叫做取整函数.请画出取整函数y＝[x]的图象.
解：依题意知函数y＝[x]的定义域为R，值域是
Z. 它的图象如图.
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