《创新课堂》3.1.2第一课时　函数的表示法 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共55张PPT)
第一课时　函数的表示法
1. 掌握函数的三种表示方法（数学抽象、数学运算）.
2. 掌握函数图象的作法和应用（直观想象）.
3. 会求函数的解析式（数学运算）.
课标要求
　　本章第一节学习函数概念时列举了以下三个函数：
　　（1）某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后匀速运行了半小时，此时列车行进的路程s与时间t的关系可以表示为s＝350t（0≤t≤0.5）（解析式表示）；
　　（2）某市某日的空气质量指数I与这一天内任意一时刻t h的关系可用一条曲线表示（图象表示）；
（3）国际上反映人民生活质量高低的通用标准：恩格尔系数，该函数是以列表形式给出了年份与对应恩格尔系数的值（列表表示）；
　　以上三种表示方法就是今天要学习的函数的表示法：解析法、图象法、列表法.
情景导入
知识点一　函数的表示方法
01
知识点二　函数的图象
02
提能点　求函数的解析式
03
目录
课时作业
04
知识点一
函数的表示方法
01
PART
问题1　已建成的京沪高速铁路总长约1 317千米，设计速度目标值为380千
米/时.若火车速度按300千米/时计算，行驶x小时后，路程为y千米，则y
是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x，x∈[0，4.39]叫做
该函数的解析式.
（1）上述函数的表示方法是什么？
提示：解析法.
（2）还有其他形式的函数表示法吗？
提示：图象法、列表法.
【知识梳理】
【例1】　购买某种饮料x听，所需钱数为y元.若每听2元，试分别用解析
法、列表法、图象法将y表示成x（x∈{1，2，3，4}）的函数，并指出这
个函数的值域.
解：（1）解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}，值域y∈{2，4，6，8}.
（2）列表法：如表所示.
x/听 1 2 3 4
y/元 2 4 6 8
（3）图象法：图象由点（1，2），（2，4），（3，6），（4，8）组成，如图所示.
【规律方法】
理解函数表示法的三个关注点
（1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示
函数，都必须满足函数的定义；
（2）列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角
度描述函数；
（3）函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表
示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
训练1　某答题游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一
道题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参
与者的得分y与答错题目道数x（x∈{0，1，2，3，4，5}）之间的函数关
系y＝f（x）.
解：（1）用列表法可将函数y＝f（x）表示为
x 0 1 2 3 4 5
y 50 40 30 20 10 0
（2）用图象法可将函数y＝f（x）表示为
（3）用解析法可将函数y＝f（x）表示为y＝50－10x，x∈{0，1，2，
3，4，5}.
知识点二
函数的图象
02
PART
问题2　y＝x＋2与y＝x＋2，x∈[2，＋∞），以及y＝x＋2，x∈
2，3， 的图象一样吗？为什么？
提示：不一样，y＝x＋2的图象是一条直线；y＝x＋2，x∈[2，＋∞）
是一条射线；y＝x＋2，x∈{1，2，3，4}是四个点；图象不同的原因是
定义域不同.
【知识梳理】
描点法作图的步骤：
（1）明确函数的 ；
（2）化简函数 ；
（3）列表；
（4）描点；
（5）根据实际情况选择是否 .
定义域　
解析式　
连线　
【例2】　作出下列函数的图象并求出其值域.
（1）y＝－x，x∈{0，1，－2，3}；
解：列表
x 0 1 －2 3
y 0 －1 2 －3
函数图象是四个点（0，0），（1，－1），（－2，2），（3，－3），其值域为{0，－1，2，－3}.
（2）y＝ ，x∈[2，＋∞）；
解：列表
x 2 3 4 5 …
y 1 …
画图象，当x∈[2，＋∞）时，图象是反比例函数y＝ 的一部分，观察图象可知其值域为（0，1].
（3）y＝x2＋2x，x∈[－2，2）.
解：列表
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x＜2之间的部分.
由图可得函数的值域为[－1，8）.
【规律方法】
描点法作函数图象的三个关注点
（1）画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；
（2）图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图
象；
（3）要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要
分清这些关键点是实心点还是空心圈.
　　提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的
点等.
训练2　作出下列函数的图象：
（1）y＝1－x（x∈Z）；
解：因为x∈Z，描点（－3，4），（－2，3），（－1，2），（0，1），（1，0），…，
所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图1所示.
（2）y＝x2－4x＋3，x∈[1，3].
解：y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，
当x＝1，3时，y＝0；
当x＝2时，y＝－1，用平滑曲线连接得其图
象如图2所示.
03
PART
提能点
求函数的解析式
角度1　待定系数法求函数解析式
【例3】　已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝16x－25，求f（x）.
解：设f（x）＝kx＋b（k≠0），
则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴ ∴ 或
∴f（x）＝4x－5或f（x）＝－4x＋ .
【规律方法】
待定系数法求函数解析式
　　已知函数的类型，如一次函数、二次函数等，即可根据题意设出f
（x）的解析式（含待定的系数），再根据条件列方程（组），通过解方
程（组）求出待定系数，进而求出函数解析式.
角度2　换元法（配凑法）求函数解析式
【例4】　求下列函数的解析式：
（1）已知f（ ＋1）＝x＋2 ，求f（x）；
解：法一（换元法）　令t＝ ＋1，则x＝（t－1）2，t≥1，
所以f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1），
所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）.
法二（配凑法）　f（ ＋1）＝x＋2 ＝x＋2 ＋1－1＝（ ＋1）2
－1.
因为 ＋1≥1，所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）.
（2）已知f（x＋2）＝2x＋3，求f（x）.
解：f（x＋2）＝2x＋3＝2（x＋2）－1，
所以f（x）＝2x－1.
【规律方法】
已知f（g（x））＝h（x）求f（x）常用的两种方法
（1）换元法，即令t＝g（x）解出x，代入h（x）中得到一个含t的解析
式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围；
（2）配凑法，即从f（g（x））的解析式中配凑出“g（x）”，即用g
（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可.
角度3　方程组法（消元法）求函数解析式
【例5】　已知函数f（x）对于任意的x都有f（x）－2f（－x）＝1＋
2x，求f（x）.
解：由题意，在f（x）－2f（－x）＝1＋2x中，以－x代替x可得f（－
x）－2f（x）＝1－2x，
联立可得
消去f（－x）可得f（x）＝ x－1.
【规律方法】
　　方程组法（消元法），适用于自变量具有对称规律的函数表达式，
如：互为倒数（f（x），f（ ）），互为相反数（f（－x），f（x））
的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可.在构造对称
方程时，一般用 或－x替换原式中的x即可.
训练3　（1）已知函数f（x＋1）＝3x＋2，求f（x）；
解：法一（换元法）　令x＋1＝t，∴x＝t－1，
∴f（t）＝3（t－1）＋2＝3t－1，
∴f（x）＝3x－1.
法二（配凑法）　f（x＋1）＝3x＋2＝3（x＋1）－1，
∴f（x）＝3x－1.
（2）已知f（x）＋2f（ ）＝x（x≠0），求f（x）.
解：∵f（x）＋2f（ ）＝x，
用 代替x得f（ ）＋2f（x）＝ ，
消去f（ ）得f（x）＝ － （x≠0），
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝ － （x≠0）.
1. 由下表给出的函数y＝f（x），则f（f（1））＝（　　）
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
解析：由题意可知，f（1）＝4，f（4）＝2，∴f（f（1））＝f（4）
＝2.故选B.
√
2. 已知函数f（1－x）＝3x＋2，则f（x）的解析式是（　　）
A. f（x）＝3x－1 B. f（x）＝－3x＋1
C. f（x）＝3x＋2 D. f（x）＝－3x＋5
解析：　令1－x＝t，则x＝1－t，∴f（t）＝3（1－t）＋2＝－3t＋
5.∴f（x）＝－3x＋5.
√
3. 已知f（x）的图象恒过点（1，－1），则函数f（x－3）的图象恒过点
（　　）
A. （－2，－1） B. （4，－1）
C. （1，－4） D. （1，－2）
解析：　因为f（x）的图象恒过点（1，－1），所以当x－3＝1时，f
（x－3）＝－1，即函数f（x－3）的图象恒过点（4，－1）.
√
4. 如果一次函数f（x）的图象过点（1，0）及点（0，1），则f（3）
＝ .
解析：设一次函数的解析式为f（x）＝kx＋b（k≠0），因为其图象过点
（1，0），（0，1），所以 解得k＝－1，b＝1，所以f
（x）＝－x＋1，所以f（3）＝－3＋1＝－2.
－2
课堂小结
1.理清单
（1）函数的三种表示方法：列表法、图象法和解析法；
（2）求函数解析式的方法：待定系数法、换元法、配凑法、消元法（方
程组法）；
（3）函数图象的作法.
2.应体会
（1）明确函数类型用待定系数法；
（2）求解自变量具有对称规律的函数表达式用到函数与方程思想.
3.避易错
（1）求函数解析式时标注函数的定义域；
（2）画函数图象时易忽略定义域，同时要注意是连续曲线还是离散的点.
课时作业
04
PART
1. 如果f（ ）＝ ，则当x≠0，1时，f（x）＝（　　）
解析：　令 ＝t，则x＝ ，代入f（ ）＝ ，则有f（t）＝ ＝
，则f（x）＝ ，x≠0，1.
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√
2. 若f（x）是一次函数，2f（2）－3f（1）＝5，2f（0）－f（－1）＝
1，则f（x）＝（　　）
A. 3x＋2 B. 2x－3
C. 2x＋3 D. 3x－2
解析：　设f（x）＝ax＋b（a≠0），由题设有
解得 所以f（x）＝3x－2.
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3. 某学校高中部举行秋季田径运动会，甲、乙、丙、丁4位同学代表高一
（1）班参加男子组4×100米接力跑比赛，甲同学负责跑第二棒.在比赛
中，从甲接到接力棒到甲送出接力棒，甲同学的跑步速率v（单位：m/s）
关于跑步时间t（单位：s）的函数图象最可能的是（　　）
解析：甲在接棒前要进行助跑，接棒后要进行快跑加速，达到最大速度后需要保持匀速到送出棒，之后减速直到送出棒给下一位同学.所以，函数图象先上升，再水平，最后下降.
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4. 若f（x）对于任意实数x恒有3f（x）－2 f（－x）＝5x＋1，则f
（x）＝（　　）
A. x＋1 B. x－1
C. 2x＋1 D. －3x－1
解析：　3f（x）－2f（－x）＝5x＋1，所以3f（－x）－2f（x）＝－
5x＋1，解得f（x）＝x＋1.
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5. 已知二次函数f（x）满足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，则f
（f（2））＝（　　）
A. 49 B. 92
C. 82 D. 104
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解析：　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.因为f（2x）＋f（x－1）
＝10x2－7x＋5，所以4ax2＋2bx＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝
10x2－7x＋5，即5ax2＋（3b－2a）x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5，所以
解得 所以f（x）＝2x2－x＋1.所以f（2）
＝8－2＋1＝7，所以f（f（2））＝f（7）＝2×49－7＋1＝92.
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6. 〔多选〕已知f（2x－1）＝4x2，则下列结论正确的是（　　）
A. f（3）＝9 B. f（x）＝x2
C. f（－3）＝4 D. f（x）＝（x＋1）2
解析：令t＝2x－1，则x＝ ，∴f（t）＝4 ＝（t＋1）2.∴f（3）＝16，f（－3）＝4，f（x）＝（x＋1）2.
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7. 〔多选〕矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周
长为l，则下列正确的是（　　）
√
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解析：对于A，因为矩形的面积为10，矩形的长为x，宽为y，所以xy＝10，得y＝ ，所以矩形的周长为l＝2x＋ （x＞0），所以A正确；对于B，由选项A，可知y＝ （x＞0），所以B正确；对于C，因为矩形的面积为10，对角线为d，长为x，宽为y，所以x2＋y2＝d2≥2xy＝20，当且仅当x＝y＝ 时等号成立，所以x2＋y2＋2xy＝d2＋20，（x＋y）2＝d2＋20，因为x＋y＞0，所以x＋y＝ ，所以矩形的周长为l＝2 （d≥2 ），所以C错误；对于D，由选项C可知x2＋y2＝d2，xy＝10，所以d2＝x2＋ ，因为d＞0，所以d＝ （x＞0），所以D正确，故选A、B、D.
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8. 已知f（ x－1）＝2x＋3，若f（t）＝4，则t＝ 　－ 　.
解析：令 x－1＝m，则x＝2m＋2，所以f（m）＝2（2m＋2）＋3＝
4m＋7，因为f（t）＝4，所以4t＋7＝4，解得t＝－ .
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9. 已知函数F（x）＝f（x）＋g（x），其中f（x）是x的正比例函
数，g（x）是x的反比例函数，且F（ ）＝16，F（1）＝8，则F（x）
的解析式为 .
解析：设f（x）＝kx（k≠0），g（x）＝ （m≠0），则F（x）＝kx
＋ .由F（ ）＝16，F（1）＝8，得 解得 所
以F（x）＝3x＋ .
F（x）＝3x＋
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10. 画出下列函数的图象，并求出函数的定义域和值域：
（1）y＝ ；
解：反比例函数y＝ 的图象如图1所示，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），值域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
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（2）y＝－4x＋5；
解：一次函数y＝－4x＋5的图
象如图2所示，定义域为R，值域为R.
（3）y＝x2－6x＋7.
解：二次函数y＝x2－6x＋7的图象如图3所示，定义域为R，值域为[－2，＋∞）.
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11. 已知函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋
y），若f（1）＝－2，则f（3）＝（　　）
A. －6 B. －4
C. －2 D. 0
解析：由题意得，f（3）＝f（1）＋f（2）＝3f（1）＝－6.
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12. 如图，平面图形中阴影部分的面积S是关于h（h∈[0，H]）的函数，则该函数的图象大致是（　　）
解析：　由平面图形，可知S随着h的增加而减少，并且减少的趋势在减
小，当h＝ 时，阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，故选D.
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13. 已知函数f（x）是一次函数，且f（f（x）－4x）＝10恒成立，则f
（5）＝ .
解析：因为函数f（x）是一次函数，且f（f（x）－4x）＝10恒成立，令
f（x）－4x＝t，则f（x）＝4x＋t，所以f（t）＝4t＋t＝10，解得t＝
2，所以f（x）＝4x＋2，所以f（5）＝4×5＋2＝22.
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14. 已知函数f（x）＝ （a，b为常数，且a≠0）满足f（2）＝1，
方程f（x）＝x有唯一解，求函数f（x）的解析式.
解：由f（x）＝x，得 ＝x，即ax2＋（b－1）x＝0.
∵方程f（x）＝x有唯一解，
∴Δ＝（b－1）2＝0，即b＝1.
∵f（2）＝1，∴ ＝1.∴a＝ .
∴f（x）＝ ＝ .
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15. 已知函数f（x）对任意实数a，b，都有f（ab）＝f（a）＋f（b）
成立.
（1）求f（0）与f（1）的值；
解：令a＝b＝0，得f（0）＝f（0）＋f（0），解得f（0）＝0；
令a＝1，b＝0，得f（0）＝f（1）＋f（0），解得f（1）＝0.
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（2）求证：f（ ）＝－f（x）；
解：证明：令a＝ ，b＝x，
得f（1）＝f（ ）＋f（x）＝0，
∴f（ ）＝－f（x）.
（3）若f（2）＝p，f（3）＝q（p，q均为常数），求f（36）的值.
解：令a＝b＝2，得f（4）＝f（2）＋f（2）＝2p，
令a＝b＝3，得f（9）＝f（3）＋f（3）＝2q.
令a＝4，b＝9，得f（36）＝f（4）＋f（9）＝2p＋2q.
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