《创新课堂》3.2.1第一课时　函数的单调性 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共67张PPT)
第一课时　函数的单调性
1. 能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增（单调递减）和增函数（减函数）的概念（数学抽象）.
2. 理解函数在某区间上具有（严格的）单调性和单调区间的概念（数学抽象）.
3. 能运用定义法证明函数的单调性（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
　　我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律.
情景导入
情景导入
　　如果我们以x表示时间间隔（单位：h），y表示记忆保持量（单位：
%），则不难看出，图中y是x的函数，记这个函数为y＝f（x）.这个函
数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
知识点一　直观感知函数的单调性
01
知识点二　函数的单调性与单调区间
02
提能点　函数单调性的简单应用
04
目录
课时作业
05
知识点三　函数单调性的判定与证明
03
知识点一
直观感知函数的单调性
01
PART
问题1　（1）观察下面三个函数图象，他们的图象有什么变化规律？
提示：函数y＝x的图象从左向右看是上升的；函数y＝x2的图象在y轴左
侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图象在y轴左侧是上升
的，在y轴右侧是下降的.
（2）怎样理解函数图象在某区间上是上升的还是下降的？
提示：从左向右看图象上升，意味着函数在某区间上函数值随着自变量的
增大而增大，该函数图象在此区间上是上升的；反之，该函数图象在此区
间上是下降的.
【知识梳理】
函数 单调递增（增函数） 单调递减（减函数）
图示
条件 设函数f（x）的定义域为D，区间I D：如果 x1，x2∈I，
当x1＜x2时， 都有 都有
f（x1）＜f（x2）
f（x1）＞f（x2）
函数 单调递增（增函数） 单调递减（减函数）
结论 f（x）在区间I上单调
f（x）在区间I上调
特别定义 当函数f（x）在它的定义域
上单调递增时，称f（x）
为 当函数f（x）在它的定义域上
单调递减时，称f（x）为

递
增
递减
增函数　
减
函数　
　　提醒：（1） x1，x2∈I，且x1≠x2，都有（x1－x2）[f（x1）－f
（x2）]＞0或 ＞0 f（x）在I上单调递增；（2） x1，
x2∈I，且x1≠x2，都有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0或
＜0 f（x）在I上单调递减.
【例1】　〔多选〕下列说法正确的是（　　）
A. 若x1，x2∈I，当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），则y＝f（x）在I上单
调递增
B. 若f（x）为R上的减函数，则f（0）＞f（1）
C. 函数f（x）＝ 在（－∞，0]和（0，＋∞）都单调递
增，则f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数
D. 若f（x）在I上单调递减，则 x1，x2∈I，当f（x1）＜f（x2）时，一
定有x1＞x2
√
√
解析：对于选项A，在区间上取x1，x2没有强调任意性，不符合函数f（x）在I上单调递增的定义，A错误；对于B，由减函数的定义，f（0）＞f（1）成立，B正确；对于C，由f（x）在（－∞，0]和（0，＋∞）都单调递增，但在（－∞，＋∞）不单调递增，从而f（x）在（－∞，＋∞）不是增函数，C错误；对于D，由函数f（x）在I上单调递减，则 x1，x2∈I，f（x1）＜f（x2） x1＞x2，故D正确.
【规律方法】
　　函数在I上单调递增（减）与增（减）函数概念的深度理解
（1）定义中对区间I的理解：①I D（定义域）；②区间I一定是连续
的；
（2）定义中x1，x2同属于区间I且具有任意性；
（3）单调递增：x1＜x2 f（x1）＜f（x2）；单调递减：x1＜x2 f
（x1）＞f（x2）；
（4）函数y＝f（x）若在定义域上的两个子区间I1，I2上分别都单调递增
（减），但f（x）在I1∪I2上不一定单调递增（减）；
（5）只有y＝f（x）在其定义域D上单调递增（减）才称y＝f（x）为增
（减）函数.
训练1　下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1＜x2
时，都有f（x1）＞f（x2）的是（　　）
A. f（x）＝ B. f（x）＝（x－1）2
C. f（x）＝ D. f（x）＝x3－2
解析：　由题意知f（x）在（0，＋∞）上单调递减.函数f（x）＝
在[－1，＋∞）上为增函数；函数f（x）＝（x－1）2在（－∞，
1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增；函数f（x）＝ 在（0，＋
∞）上单调递减；函数f（x）＝x3－2在R上为增函数.故选C.
√
知识点二
函数的单调性与单调区间
02
PART
问题2　（1）函数f（x）＝x2在区间[－2，－1]和区间[2，＋∞）上各有
什么特点？
提示：在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[2，＋∞）上单调递增.
（2）函数y＝f（x）的图象如图所示，写出f（x）的单调递增区间.
提示：由图可知，函数y＝f（x）的单调递增区间为[－3，1].
【知识梳理】
如果函数y＝f（x）在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f
（x）在这一区间具有（严格的） ，区间I叫做y＝f（x）
的 .
单调性　
单调区间　
（2）f（x）＝
解：函数f（x）＝－ 的单调区间为（－∞，0），（0，＋∞），其在
（－∞，0），（0，＋∞）上都是单调递增的.
【例2】　求下列函数的单调区间，并指出该函数的单调性.
（1）f（x）＝－ ；
解：当x≥1时，f（x）是单调递增的，当x＜1时，f（x）是单调递减
的，所以f（x）的单调区间为（－∞，1），[1，＋∞），并且函数f
（x）在区间（－∞，1）上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增.
（3）f（x）＝－x2＋2｜x｜＋3.
解：因为f（x）＝－x2＋2｜x｜＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f（x）的单调区间为（－∞，－1]，（－1，0），
[0，1），[1，＋∞）.
f（x）在区间（－∞，－1]，[0，1）上单调递增，在区间
（－1，0），[1，＋∞）上单调递减.
【规律方法】
1. 求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例
函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若所给函数不是上述函数
但函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.
2. 一个函数出现两个或两个以上的区间上具有相同的单调性，不能用
“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开.
训练2　（1）如图所示，写出函数在每一单调区间上的单调性；
解：函数在[－1，0]，[2，4]上单调递减，在[0，2]，[4，5]上单调
递增.
（2）写出f（x）＝｜x2－2x－3｜的单调区间.
解：先画出f（x）＝ 的图象，如图.所以f（x）＝｜x2－2x－3｜的单调递减区间为（－∞，－1]，[1，3]；单调递增区间为[－1，1]，[3，＋∞）.
知识点三
函数单调性的判定与证明
03
PART
【例3】　证明函数f（x）＝ 在区间（2，＋∞）上单调递减.
证明： x1，x2∈（2，＋∞），且x1＜x2，
f（x1）－f（x2）＝ － ＝ ＝ .
因为2＜x1＜x2，
所以x2－x1＞0， ＞4， ＞4，
所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.
所以函数f（x）＝ 在区间（2，＋∞）上单调递减.
【规律方法】
利用定义证明函数单调性的步骤
（1）取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2；
（2）作差变形：作差f（x1）－f（x2）（或f（x2）－f（x1）），并通过
因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式；
（3）定号：确定f（x1）－f（x2）（或f（x2）－f（x1））的符号，当符
号不确定时，进行分类讨论；
（4）结论：根据定义确定单调性.
训练3　证明函数f（x）＝x＋ 在区间（1，＋∞）上单调递增.
证明： x1，x2∈（1，＋∞），且x1＜x2，
有f（x1）－f（x2）＝ － ＝（x1－x2）＋ ＝
（x1－x2）＋ ＝（x1－x2）· ＝ ，
∵x2＞x1＞1，
∴x1－x2＜0，x1x2＞1，则－1＋x1x2＞0，
∴ ＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）＝x＋ 在区间（1，＋∞）上单调递增.
04
PART
提能点
函数单调性的简单应用
角度1　已知函数的单调性求参数
【例4】　若函数f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3在区间（－∞，3]上单
调递增，则实数a的取值范围是 .
解析：f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3＝－（x＋a＋1）2＋（a＋1）2＋
3.因此函数的单调递增区间为（－∞，－a－1]，因为f（x）在（－∞，
3]上单调递增，所以3≤－a－1，解得a≤－4，即实数a的取值范围为
（－∞，－4].
（－∞，－4]
角度2　利用单调性解不等式
【例5】　已知函数y＝f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，且f（2x－
3）＞f（5x－6），则实数x的取值范围为 .
解析：∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，且f（2x－3）＞f（5x－
6），∴2x－3＞5x－6，即x＜1.∴实数x的取值范围为（－∞，1）.
（－∞，1）
【规律方法】
由函数单调性求参数范围的处理方法
（1）已知函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的
条件；
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性；
若为分段函数——数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临
界值的大小.探求参数满足的条件.
（2）当函数f（x）的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调
性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式（组），
然后求解，此时注意函数的定义域.
　　提醒：注意f（x）的单调区间与f（x）在某区间上单调的区别.
训练4　（1）设函数f（x）＝（a－1）x＋1是在R上的减函数，则有
（　D　）
A. a≥1 B. a≤1
C. a＞1 D. a＜1
解析：若函数f（x）＝（a－1）x＋1是R上的减函数，则a≠1，否则f
（x）＝1为常数函数，不合题意，故f（x）＝（a－1）x＋1为一次函
数，且有a－1＜0，所以a＜1.
D
（2）已知函数f（x）是定义在[－2，2]上的增函数，且f（x－2）＜f
（1－x），则x的取值范围为 .
解析：∵f（x）是定义在[－2，2]上的增函数，且f（x－2）＜f（1－
x），∴x－2＜1－x，∴x＜ .又f（x）的定义域为[－2，2]，
∴ ∴ ∴0≤x≤3，综上，0≤x＜ .

函数y＝f（g（x））的单调性
　　由教材第77页函数单调性的概念，拓展以下内容.
1. 复合函数
一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过变量u，y可
以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的复
合函数，记作y＝f（g（x）），其中y＝f（u）叫做复合函数y＝f（g
（x））的外层函数，u＝g（x）叫做复合函数y＝f（g（x））的内层
函数.
2. 复合函数的单调性
若函数y＝f（u）在U内单调，u＝g（x）在X内单调，且集合{u｜u＝
g（x），x∈X} U.
（1）若y＝f（u）是增函数，u＝g（x）是增（减）函数，则y＝f（g
（x））是增（减）函数；
（2）若y＝f（u）是减函数，u＝g（x）是增（减）函数，则y＝f（g
（x））是减（增）函数.
小结：同增异减（内外函数单调性相同则增，内外函数单调性相反则
减）.
【典例】　（1）判断函数f（x）＝ 在x∈[3，8]上的单调性.
解：函数f（x）＝ ＝1＋ ，可分解为函数y＝1＋ 和函数u
＝x－1.
因为x∈[3，8]，所以u∈[2，7]，
显然函数u＝x－1在x∈[3，8]上单调递增，
函数y＝1＋ 在u∈[2，7]上单调递减，
由复合函数的单调性，知f（x）＝ 在x∈[3，8]上单调递减.
（2）求函数f（x）＝ 的单调区间.
解：可以分解函数为：u＝－x2＋4x＋5，y＝ ，
对于u所表示的二次函数，如图，
注意定义域，即u≥0，解得－1≤x≤5.
且二次函数对称轴为x＝2，所以二次函数在（－1，2）上
单调递增，在（2，5）上单调递减，
又由于y＝ 为增函数，所以可得：
f（x）的单调递增区间是（－1，2），
f（x）的单调递减区间是（2，5）.
【规律方法】
判断复合函数单调性的步骤
　　先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调
性，最后根据各层函数的单调性确定复合函数的单调性.
【迁移应用】
1. 已知函数f（x）＝ ，x∈[2，6].判断此函数在x∈[2，6]上的单
调性.
解：函数f（x）＝ 可分解为函数y＝ 和函数u＝1－x.
因为x∈[2，6]，所以u∈[－5，－1]，
显然函数u＝1－x在x∈[2，6]上单调递减，函数y＝ 在u∈[－5，－1]
上单调递减，
由复合函数的单调性，知f（x）＝ 在x∈[2，6]上单调递增.
2. 求y＝ 的单调区间.
解：设y＝ ，u＝7－6x－x2，由u≥0，u＝－x2－6x＋7≥0解得原复
合函数的定义域为：－7≤x≤1，y＝ 在定义域[0，＋∞）上单调递
增，所以原函数的单调性与二次函数的u＝－x2－6x＋7的单调性相同.
u＝－x2－6x＋7＝－（x＋3）2＋16在x≤－3时单调递增.
由－7≤x≤1，x≤－3，解得－7≤x≤－3，
所以复合函数的单调递增区间为[－7，－3].
u＝－x2－6x＋7＝－（x＋3）2＋16在x≥－3时单调递减，
由－7≤x≤1，x≥－3，解得－3≤x≤1，
所以复合函数的单调递减区间为[－3，1].
1. 已知函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则有（　　）
A. f（3）＜f（5） B. f（3）≤f（5）
C. f（3）＞f（5） D. f（3）≥f（5）
解析：∵3＜5，且f（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴f（3）＞f
（5）.故选C.
√
2. 函数f（x）＝ 的单调递减区间是（　　）
A. （－∞，1）和（1，＋∞） B. （1，＋∞）
C. （－∞，1）∪（1，＋∞） D. （－∞，1）
解析：因为f（x）＝ 的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞），函数在（－∞，1）和（1，＋∞）上单调递减，故函数的单调递减区间为（－∞，1）和（1，＋∞）.
√
3. 〔多选〕如果函数f（x）在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，
x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中正确的是（　　）
A. ＞0
B. （x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0
C. 若x1＜x2，则f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜f（b）
D. ＞0
√
√
√
解析：因为f（x）在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），x1－x2与f（x1）－f（x2）的符号相同，故A、B、D都正确，而C中应为若x1＜x2，则f（a）≤f（x1）＜f（x2）≤f（b）.
4. 已知f（x）是定义在R上的增函数，且f（x2－3）＜f（－2x），则x
的取值范围是 .
解析：由x2－3＜－2x，即x2＋2x－3＜0，解得－3＜x＜1.
（－3，1）
课堂小结
1.理清单
（1）函数在定义域的某区间上单调递增、单调递减及增函数、减函数的
定义；
（2）函数在某区间上的单调性与函数的单调区间；
（3）函数单调性的应用.
2.应体会
数形结合法.
3.避易错
（1）函数的单调区间不能用并集；
（2）利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域；
（3）讨论分段函数单调性时注意分界点处函数值的大小比较.
课时作业
05
PART
1. 如图是函数y＝f（x）的图象，则函数f（x）的单调递减区间是（　）
A. （－1，0）
B. （1，＋∞）
C. （－1，0）∪（1，＋∞）
D. （－1，0），（1，＋∞）
解析：由图可知，f（x）的单调递减区间为（－1，0），（1，＋∞）.
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√
2. 若y＝（2k－1）x＋b是R上的增函数，则有（　　）
A. k＞ B. k＞－
C. k＜ D. k＜－
解析：由2k－1＞0，得k＞ .
√
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3. 下列函数中，在区间（0，100]上单调递减的是（　　）
A. y＝－ B. y＝x
C. y＝x2 D. y＝1－x
解析：　函数y＝1－x在（0，100]上单调递减，其余的函数在（0，
100]上均单调递增，故选D.
√
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4. 若函数f（x）＝（m－1）x＋1在R上是增函数，则f（m）与f（1）
的大小关系是（　　）
A. f（m）＜f（1） B. f（m）＞f（1）
C. f（m）≤f（1） D. f（m）≥f（1）
解析：　∵函数f（x）＝（m－1）x＋1在R上是增函数，∴m－1＞0，
解得m＞1，则f（m）＞f（1），故选B.
√
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5. 若函数f（x）＝ 是定义在R上的减函数，
则a的取值范围为（　　）
A.
B.
C.
D. ∪
√
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解析：　因为f（x）是定义在R上的减函数，所以
解得 ≤a＜ .
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6. 〔多选〕已知函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，且f（3）＝－1，
则满足f（2x－5）＞－1的实数x的可能取值是（　　）
A. B.
C. 3 D. 5
√
√
√
解析：∵函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，且f（3）＝－1，由f（2x－5）＞－1得，f（2x－5）＞f（3），所以 解得 ≤x＜4.
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7. 〔多选〕下列说法正确的是（　　）
A. 函数f（x）＝ 在定义域内单调递减
B. x1，x2∈（a，b），且x1＜x2时，f（x1）≥f（x2）成立，则f（x）
在（a，b）上不是单调递增的
C. 若函数f（x）＝x2－mx的单调递减区间是（－∞，1]，则m＝2
D. 函数f（x）＝ 的单调递增区间为（－∞，－1）
√
√
√
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解析：函数f（x）＝ 在区间（0，＋∞）上单调递减，在（－∞，0）上单调递减，但是在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上不具有单调性，所以A错误；若要说明函数f（x）在某个区间上不是单调递增的，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x1＜x2时，f（x1）≥f（x2）成立即可，故B正确；函数f（x）＝x2－mx的对称轴为x＝ ，开口向上，所以单调递减区间为 ，又函数f（x）＝x2－mx的单调递减区间是（－∞，1]，所以 ＝1，故m＝2，所以C正确；由x2－2x－3＞0，得x＞3或x＜－1，所以函数f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（3，＋∞）.
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由t＝x2－2x－3在（－∞，－1）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，
并结合复合函数的单调性得函数f（x）＝ 的单调递增区间为（－
∞，－1），所以D正确.
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8. 函数y＝x2－2｜x｜＋1的单调递增区间是 .
解析：y＝x2－2｜x｜＋1＝ 作出其图象如图所示，由图象可知，函数的单调递增区间为（－1，0）和（1，＋∞）.
（－1，0）和（1，＋∞）
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9. 已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间（2，3）上是单调的，则实数a的
取值范围是 .
解析：因为二次函数y＝x2－2ax＋1的图象开口向上，且对称轴为直线x
＝a，所以当a≤2时，函数在（2，3）上单调递增；当a≥3时，函数在
（2，3）上单调递减，所以a的取值范围是（－∞，2]∪[3，＋∞）.
（－∞，2]∪[3，＋∞）
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10. 证明函数f（x）＝x－ 在（0，＋∞）上单调递增.
证明： x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝x1－ －x2＋
＝x1－x2＋ ＝ ，
因为x1，x2∈（0，＋∞）且x1＜x2，
所以x1－x2＜0，x1x2＞0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
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11. 已知定义域为R的函数f（x）在（4，＋∞）上单调递减，且函数y＝f
（x）的对称轴为x＝4，则（　　）
A. f（2）＞f（3） B. f（2）＞f（5）
C. f（3）＞f（5） D. f（3）＞f（6）
解析：　∵f（x）关于x＝4对称，且在（4，＋∞）上单调递减，∴f
（x）在（－∞，4）上单调递增，且f（5）＝f（3），f（6）＝f（2），
∴f（3）＞f（2），∴f（3）＞f（6）.
√
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12. 〔多选〕已知函数f（x）＝ 是R上的减函
数，则实数k的可能的取值有（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
√
√
√
解析：　因为函数f（x）是R上的减函数，所以
解得2≤k≤6.故A、B、C正确，D错误.
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13. 已知函数f（x）＝x2－2（k－1）x－8在[5，20]上不单调，则实数k
的取值范围是 .
解析：二次函数f（x）＝x2－2（k－1）x－8的图象的对称轴为直线x＝
k－1.因为函数f（x）＝x2－2（k－1）x－8在[5，20]上不单调，所以5
＜k－1＜20，即6＜k＜21.
（6，21）
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14. 若f（x）＝－x2＋2ax与g（x）＝ 在区间[1，2]上都单调递减，
求a的取值范围.
解：f（x）＝－x2＋2ax＝－（x－a）2＋a2，
∵f（x）在区间[1，2]上单调递减，∴a≤1.
∵g（x）＝ 在区间[1，2]上单调递减，
∴a＞0，∴0＜a≤1.故a的取值范围为（0，1].
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15. 设函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且满足条件f（4）＝1，对于
任意x1，x2∈（0，＋∞），有f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2），且当x1≠x2
时，有 ＞0.
（1）求f（16）的值；
解：∵对于任意x1，x2∈（0，＋∞），有f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2），∴令x1＝x2＝4，得f（4×4）＝f（4）＋f（4）＝2，∴f（16）＝2.
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（2）若f（x＋6）＋f（x）＞2，求x的取值范围.
解：设0＜x1＜x2，
则由 ＞0，
得f（x2）－f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数.
由（1）知，f（16）＝2，
∴f（x＋6）＋f（x）＞f（16），
∴f（（x＋6）x）＞f（16），∴
解得x＞2，∴x的取值范围是（2，＋∞）.
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THANKS
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