《创新课堂》章末检测（四）　指数函数与对数函数 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共34张PPT)
章末检测（四）指数函数与对数函数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若alog53＝1，则3a＋9a的值为（　　）
A. 15 B. 20
C. 25 D. 30
解析：　因为alog53＝1，所以a＝ ＝log35，所以3a＋9a＝ ＋
（32 ＝5＋25＝30.
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2. 函数f（x）＝ 的定义域为（　　）
A. （－1，＋∞）
B. （－∞，－2）∪（－2，－1）
C. （1，＋∞）
D. （－∞，－2）∪（－2，1）
解析：　由题意可得 解得x＜－1且x≠－2，所以定义域
为（－∞，－2）∪（－2，－1），故选B.
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3. 由表格中的数据，可以判断方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是
（　　）
x 0 1 2 3 4
ex 1 2.72 7.39 20.09 54.60
3x＋2 2 5 8 11 14
A. （0，1） B. （1，2）
C. （2，3） D. （3，4）
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解析：设f（x）＝ex－3x－2，由题表知，f（0），f（1），f（2）均为负值，f（3），f（4）均为正值，因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为（2，3），故选C.
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4. 设a＝0.50.4，b＝log0.50.4，c＝log40.5，则a，b，c的大小关系是
（　　）
A. a＜b＜c B. b＜c＜a
C. c＜b＜a D. c＜a＜b
解析：　因为0＜0.50.4＜0.50＝1，即0＜a＜1，又b＝log0.50.4＞
log0.50.5＝1，c＝log40.5＜log41＝0，所以b＞a＞c.故选D.
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5. 设函数f（x）＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）的图象过点（0，
0），其反函数的图象过点（1，2），则a＋b＝（　　）
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
解析：　函数f（x）＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）的图象过点
（0，0），其反函数的图象过点（1，2），则 即
解得 则a＋b＝4.
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6. 设函数f（x）＝ln（2＋x）－ln（2－x），则f（x）是（　　）
A. 奇函数，且在（0，2）上单调递增
B. 奇函数，且在（0，2）上单调递减
C. 偶函数，且在（0，2）上单调递增
D. 偶函数，且在（0，2）上单调递减
解析：依题意， 解得－2＜x＜2，即f（x）的定义域为
（－2，2），因为f（－x）＝ln（2－x）－ln（2＋x）＝－f（x），则f
（x）是奇函数，又y＝ln（2＋x）在（0，2）上单调递增，y＝ln（2－
x）在（0，2）上单调递减，则y＝－ln（2－x）在（0，2）上单调递增，
所以f（x）在（0，2）上单调递增.
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7. 点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐
射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r（单位：米）的关
系视为ΔL＝10lg （单位：dB），取lg 5≈0.7，则r从5米变化到80米
时，衰减量的增加值约为（　　）
A. 18 dB B. 20 dB
C. 24 dB D. 27 dB
解析：　当r＝5时，ΔL1＝10lg ，当r＝80时，ΔL2＝10lg 1 600π，则
衰减量的增加值约为ΔL2－ΔL1＝10lg 1 600π－10lg ＝80lg 2＝80（lg 10
－lg 5）≈80×（1－0.7）＝24.故选C.
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8. 已知函数f（x）＝ （a＞0且a≠1）在R上
为单调函数，则函数值f（2）的取值范围是（　　）
A. B.
C. [1，4） D. [2，5）
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解析：　因为f（x）＝（x－1）2＋4a为对称轴为x＝1，开口向上的抛
物线，所以当x＞1时，f（x）单调递增，当x≤1时，f（x）＝1＋loga｜
x－2｜＝1＋loga（2－x），又因为f（x）在R上为单调函数，所以
解得 ≤a＜1，所以2≤1＋4a＜5，可得2≤f
（2）＜5.故选D.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部
分分，有选错的得0分）
9. 设函数y＝ln（x2－x＋1），则下列命题中正确的是（　　）
A. 函数的定义域为R
B. 函数是增函数
C. 函数的值域为R
D. 函数的图象关于直线x＝ 对称
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解析：　因为x2－x＋1＝（x－ ）2＋ ＞0恒成立，所以函数的定义
域为R，则A正确；又函数y＝ln（x2－x＋1）在（ ，＋∞）上是增函
数，在（－∞， ）上是减函数，B错误；由x2－x＋1＝（x－ ）2＋
≥ 可得y＝ln（x2－x＋1）≥ln ，所以函数的值域为 ，C错
误；函数的图象关于直线x＝ 对称，D正确.
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10. 已知函数f（x）的定义域为D，若对任意x∈D，都存在y∈D，使
得f（y）＝－f（x）成立，则称函数f（x）为“M函数”.下列所给出的
函数中是“M函数”的有（　　）
A. y＝x2 B. y＝
C. y＝2x－1 D. y＝ln（x＋1）
解析：依题意得，若b是f（x）的值域中的数，则－b也是值域中的数，即f（x）的值域关于原点对称，选项A中函数的值域为[0，＋∞），不是“M函数”；选项B中函数的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞），是“M函数”；选项C中函数的值域为（0，＋∞），不是“M函数”；选项D中函数的值域为R，是“M函数”.故选B、D.
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11. 已知函数f（x）＝ ，则下列结论中正确的有（　　）
A. f（x）的图象关于原点对称
B. f（x）的图象关于y轴对称
C. f（x）的值域为（－1，1）
D. x1，x2∈R，且x1≠x2， ＜0恒成立
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解析：对于选项A，f（x）＝ ，则f（－x）＝ ＝ ＝－f（x），则f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确；对于选
项B，因为f（1）＝－ ，f（－1）＝ ≠f（1），故f（x）的图象不关
于y轴对称，故B错误；对于选项C，f（x）＝ ＝－1＋ ，令1＋2x
＝t，t∈（1，＋∞），则g（t）＝－1＋ ，易知－1＋ ∈（－1，1），
故f（x）的值域为（－1，1），故C正确；
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对于选项D，f（x）＝ ＝－1＋ ，因为t＝1＋2x在R上为增函数，
y＝－1＋ 在（1，＋∞）上单调递减，由复合函数单调性的判断法则可得
f（x）在R上为减函数，故 x1，x2∈R，且x1≠x2， ＜0恒
成立，故D正确.故选A、C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 若函数f（x）＝xln（x＋ ）为偶函数，则a＝ .
解析：由f（x）为偶函数及y＝x为奇函数，知y＝ln（x＋ ）为奇
函数，所以ln（－x＋ ）＋ln（x＋ ）＝ln（a＋x2－x2）＝
ln a＝0，解得a＝1.
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13. 设α，β是方程lg 2x－lg x－3＝0的两根，则logαβ＋logβα＝ .
解析：由根与系数的关系可知lg α＋lg β＝1，lg αlg β＝－3，logαβ＋logβα
＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝－ .
－
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14. 已知函数f（x）＝ 若函数g（x）＝f（x）－k
有两个不同的零点，则实数k的取值范围是 .
解析：画出函数f（x）的图象如图.要使函数g（x）＝f
（x）－k有两个不同零点，只需y＝f（x）与y＝k的图
象有两个不同交点，由图易知k∈ .

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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）求下列各式的值：
（1） ＋ ＋ －0.52＋ ；
解： ＋ ＋ －0.52＋
＝ ＋ ＋ － ＋1＝（π－3）＋2＋ － ＋1＝π＋2.
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（2）（log43＋log83）（log32＋log92）－ .
解：（log43＋log83）（log32＋log92）－
＝ log23× log32－5＝ × －5＝－ .
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16. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝x2＋（m－2）x＋5－m有两
个零点，且都大于2，求实数m的取值范围.
解：函数f（x）＝x2＋（m－2）x＋5－m有两个大于2的零点，即方程x2
＋（m－2）x＋5－m＝0有两个不相等的实数解，且都大于2.
结合图象（图略）可知
解得－5＜m＜－4.
故实数m的取值范围是（－5，－4）.
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17. （本小题满分15分）已知定义在[－1，1]上的奇函数f（x），当
x∈[－1，0]时的解析式为f（x）＝ － （a∈R）.
（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；
解：因为f（x）是定义在[－1，1]上的奇函数，
所以f（0）＝0，即1－a＝0，得a＝1.
设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]，
所以f（x）＝－f（－x）＝－（ － ）＝2x－4x，
即当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－4x.
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（2）求f（x）在[0，1]上的最大值.
解：f（x）＝2x－4x＝－ ＋ ，其中2x∈[1，2]，所以当
2x＝1，即x＝0时，f（x）的最大值为0.
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18. （本小题满分17分）某校学生社团心理学研究小组
在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，注意
力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.
当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当
t∈（14，45]时，曲线是函数y＝loga（t－5）＋
83（a＞0且a≠1）图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳.
（1）试求p＝f（t）的函数关系式；
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解：由题意知，当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为（12，82），且曲线过点（14，81），则可得f（t）＝－ （t－12）2＋82，t∈（0，14].
当t∈（14，45]时，曲线是函数y＝loga（t－5）＋83（a＞0且a≠1）图象的一部分，且曲线过点（14，81），则易得a＝ ，
则f（t）＝lo （t－5）＋83，t∈（14，45].
则p＝f（t）＝
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（2）老师在什么时间段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明
理由.
解：由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，
当t∈（0，14]时，令f（t）＝－ （t－12）2＋82＞80，
解得12－2 ＜t≤14.
当t∈（14，45]时，令f（t）＝lo （t－5）＋83＞80，解得14＜t＜32.
综上可得，12－2 ＜t＜32.
故老师在（12－2 ，32）这一时间段内讲解核心内容，学生听课效
果最佳.
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19. （本小题满分17分）若函数f（x）在定义域内的某区间I上是严格增
函数，而y＝ 在区间I上是严格减函数，则称函数y＝f（x）在区
间I上是“弱增函数”.
（1）判断f（x）＝x·ex，g（x）＝2x＋1在区间（0，＋∞）上是否是
“弱增函数”（不需证明）？
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解：由于 ＝ex在（0，＋∞）上是严格增函数，所以f（x）
＝x·ex在区间（0，＋∞）上不是“弱增函数”；
g（x）＝2x＋1在区间（0，＋∞）上是严格增函数， ＝2＋ 在区
间（0，＋∞）上是严格减函数，所以g（x）＝2x＋1在区间（0，＋∞）
上是“弱增函数”.
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（2）若h（x）＝x2＋ x＋b（其中常数m∈R，b＞0）在区间
（0，1]上是“弱增函数”，求m，b应满足的条件；
解：由题意可知，h（x）＝x2＋ x＋b（其中常数m∈R，b
＞0）满足在（0，1]上是严格增函数，
所以对称轴x＝－ ≤0，解得m≥ ，
＝x＋ ＋ 满足在（0，1]上是严格减函数，故此必为对勾
函数，
所以对勾函数单调性分界点x＝ ≥1，b≥1，
所以综上，m≥ ，b≥1.
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（3）已知f（x）＝｜x－1｜＋k｜x－2｜（k是常数且k≠0），若存在
区间I使得y＝f（x）在区间I上是“弱增函数”，求k的取值范围.
解：由题意知，
f（x）＝
在区间（－∞，1）上，若f（x）为“弱增函数”，则必满足f（x）＝－
（k＋1）x＋2k＋1为严格增函数，
＝－（k＋1）＋ 为严格减函数，即 无解.
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同理，在区间[1，2）上，若f（x）为“弱增函数”，则必满足
解得 ＜k＜1.
在区间[2，＋∞）上，若f（x）为“弱增函数”，则必满足
解得－1＜k＜－ .
综上，k的取值范围为 ∪ .
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