《创新课堂》4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共43张PPT)
4.1.2　无理数指数幂及其运算性质
1. 能结合教材探究了解无理数指数幂（数学抽象）.
2. 结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
情景导入
某大型国企2024年的生产总值为a，根据相关资料判断，未来20
年，该企业每一年的生产总值是上一年的 倍.据此回答下列问题.
　　（1）一年后，该企业的生产总值是多少？
　　（2）五年后，该企业的生产总值是多少？
知识点　无理数指数幂的运算
01
提能点一　实际问题中的指数运算
02
提能点二　实数指数幂的综合运用
03
目录
课时作业
04
知识点
无理数指数幂的运算
01
PART
问题　（1）阅读教材P108探究，思考 是不是一个确定的实数；
提示：5 是一串逐渐增大的有理数指数幂51.4，51.41，…和另一串逐渐减
小的有理数指数幂51.5，51.42，…逐步逼近的结果，它是一个确定的实数.
（2）前面我们学习了有理数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s（a＞0，r，
s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞
0，b＞0，r∈Q）.能否把r，s的取值范围由有理数推广到实数？
提示：能把有理数指数幂的运算性质推广到实数指数幂运算.
【知识梳理】
1. 无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α为无理数）是一个
确定的 .
2. 实数指数幂的运算法则
（1）aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈R）；
（2）（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈R）；
（3）（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈R）；
（4）拓展： ＝ar－s（a＞0，r，s∈R）.
　　提醒：对于无理数指数幂aα，特别强调底数a＞0，如果a＜0，比如
（－1 ，无法判断其值是1还是－1.
实数　
【例1】　化简下列各式：
（1）π4－π·ππ－2；（2）（ ；（3） ×12 .
解：（1）π4－π·ππ－2＝π4－π＋π－2＝π2.
（2）（ ＝ ＝π2－1＝π.
（3） ×12 ＝ × ＝ ＝52＝25.
【规律方法】
关于无理数指数幂的运算技巧
（1）无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同；
（2）若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根
式可以保留直接运算.
训练1　计算下列各式的值（式中字母均是正数）：
（1）（ ；（2） a－π.
解：（1）原式＝（ · ＝26·m3＝64m3.
（2）原式＝ ＝a0＝1.
提能点一
实际问题中的指数运算
02
PART
【例2】　从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混
合溶液后又用水加满，以此继续下去，则至少应倒 次后才能使酒精
的浓度低于10%.
解析：由题意，得第n次操作后溶液的浓度为 ，令 ＜ ，验
证可得n≥4.所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
4
【规律方法】
指数运算在实际问题中的应用
　　在成倍数递增（递减）、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，
用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
训练2　如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次（1个分裂成
2个），那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成 个.
解析：经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64（个）.
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03
PART
提能点二
实数指数幂的综合运用
【例3】　已知 ＋ ＝ ，求下列各式的值：
（1）a＋a－1；
解：将 ＋ ＝ 两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
（2）a2＋a－2.
解：将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，即a2＋a－2＝7.
变式　在本例条件下求a2－a－2的值.
解：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝（a2＋a－2）2－4＝
72－4＝45，∴y＝±3 ，即a2－a－2＝±3 .
【规律方法】
利用整体代换法求分数指数幂的和（差）
（1）整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结
论的结构特点，灵活运用恒等式是关键；
（2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公
式及其变形公式.
常见的变形公式：x2＋x－2＝（x±x－1）2 2，x＋x－1＝（ ± ）
2 2， ＋ ＝（ ± ）2 2.
训练3　已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，且a＞b＞0，则
＝ .
解析：∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，∴ ∵a＞b＞
0，∴ ＞ .∵ ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴ ＝
＝ .

1. · ＝（　　）
A. 103 B. 1
C. 310 D.
解析： · ＝（2×5 ＝1 .
√
2. 已知am＝4，an＝3，则 ＝（　　）
A. B. 6
C. D. 2
解析：由题意得 ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ .
√
3. 已知 ＋ ＝5（x＞0），那么 ＋ ＝（　　）
A. B. －
C. ± D. 7
解析：（ ＋ ）2＝ ＋ ＋2＝5＋2＝7.又x＞0，故 ＋ ＝ .
√
4. 式子 （a，b＞0）的值为 .
解析：原式＝ ＝ ＝ ＝
＝1.
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课堂小结
1.理清单
（1）无理数指数幂的运算；
（2）实际问题中的指数运算；
（3）实数指数幂的综合运用.
2.应体会
在解决实数指数幂的综合运用问题时采用整体代换思想.
3.避易错
在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数
指数，也不能既含有分母又含有负指数.
课时作业
04
PART
1. 下列运算中正确的是（　　）
A. ＝ B. （－a2）5＝（－a5）2
C. （ －2）0＝1 D. （－ ）5＝－
解析： ＝ ，故A错误；（－a2）5＝－ ＝－a10，（－a5）2＝a10，故B错误；当a＝4时，（ －2）0无意义，故C错误；（－ ）5＝ ，故D正确.
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√
2. 计算：3π× ＋（ ＋ ＝（　　）
A. 17 B. 18
C. 6 D. 5
解析：原式＝ ＋ ＋1＝1π＋24＋1＝18.
√
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3. 一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折（即沿对边中点连线折
叠）10次，这时，报纸的厚度为（　　）
A. 2.56厘米 B. 5.12厘米
C. 10.24厘米 D. 20.48厘米
解析：0.01×210＝10.24（厘米）.
√
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4. 已知 ＋ ＝4，则 ＝（　　）
A. 2 B. 4 C. 14 D. 16
解析：因为 ＋ ＝4，所以（ ＋ ）2＝42，即a＋a－1＋2＝16，所以a＋a－1＝14，所以 ＝ ＝a＋a－1＝14，故选C.
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5. 若 ＋ ＝3，则 ＝（　　）
A. B. C. D.
解析：　由题意得 ＝9，且a＞0，所以a＋ ＝7，故 ＝
＝ .
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6. 〔多选〕下列计算正确的是（　　）
A. ＝
B. （ ）（－3 ）÷ ＝－9a（a＞0，b＞0）
C. ＝
D. 已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2
√
√
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解析：　 ＝ ＝ ，故A错误；（ ）·（－3 ）
÷ ＝－9 · ＝－9a，故B正确； ＝ ＝（32
＝ ＝ ，故C正确；因为x2＋x－2＝（x＋x－1）2－2＝2，所以（x＋x
－1）2＝4，则x＋x－1＝±2，故D错误.故选B、C.
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7. 求值： － －（π－3）0＝ .
解析：原式＝（22 － －1＝2－1－ －1＝ － －1＝－2.
－2
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8. 化简 ＝ .
解析：原式＝ ＝ ＝ ＝1.
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9. 已知x－ ＝1，其中x＞0，则 － － ＝ .
解析：由x－ ＝1，x＞0可得x2＝x＋1，原式＝ － －
＝ － － ＝x－ ＝ ＝1.
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10. （1）当x＝ ，y＝2－ 时，求（ － ）·（ ＋
＋ ）的值；
解：原式＝（ － ）[（ ）2＋ ＋（ ）2]＝（ ）3
－（ ）3＝x2－y－1，
又∵x＝ ，∴x2＝2＋ ，
∵y＝2－ ，∴y－1＝1＋ ，
∴x2－y－1＝2＋ － ＝1＋ .
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（2）若 ＝ －1，求 的值.
解：由 ＝ －1得 ＝ ＋1，
∴ ＝ ＋ －1＝2 －1.
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11. 22k－1－22k＋1＋22k＝（　　）
A. 22k B. 22k－1
C. －22k－1 D. －22k＋1
解析：原式＝ －22× ＋2× ＝（1－4＋2）×
＝－ .故选C.
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12. 已知2a＝5b＝m，且 ＋ ＝2，则m＝（　　）
A. B. 10
C. 20 D. 100
解析：　由题意得m＞0，∵2a＝m，5b＝m，∴2＝ ，5＝ ，
∵2×5＝ · ＝ ，∴m2＝10，∴m＝ .
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13. 已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28（a＞0，且a≠1），则 ＝ .
解析：因为 所以①×②得 ＝26，所以am＝22.将am
＝22代入②，得22· ＝28，所以an＝2－6，所以 ＝ ·an＝
（am）4·an＝（22）4×2－6＝22＝4.
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14. （1）已知a＞0，b＞0，且ab＝ba，b＝8a，求a的值；
解：∵a＞0，b＞0，又ab＝ba，b＝8a，∴（ab ＝（ba ，
即a＝ ＝（8a ＝（8a ，∴ ＝ ，∴a7＝8，∴a＝ .
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解：经计算知f（4）－5f（2）g（2）＝0，f（9）－5f（3）g
（3）＝0，
由此猜想f（x2）－5f（x）g（x）＝0.
证明如下：f（x2）－5f（x）g（x）＝ － · ＝ － ＝0.
（2）已知函数f（x）＝ ，g（x）＝ .分别计算f（4）－5f
（2）g（2）和f（9）－5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f
（x）和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.
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15. 已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：（a－1）（d－1）＝（c－1）（b－
1）.
证明：因为2a·3b＝6＝2×3，
所以2a－1·3b－1＝1，
所以（2a－1·3b－1）d－1＝1，
即2（a－1）（d－1）3（d－1）（b－1）＝1，　①
又2c·3d＝6，所以2c－1·3d－1＝1.
所以（2c－1·3d－1）b－1＝1，
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所以2（c－1）（b－1）3（d－1）（b－1）＝1，　②
由①②知2（a－1）（d－1）＝2（c－1）（b－1），
所以（a－1）（d－1）＝（c－1）（b－1）.
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