《创新课堂》4.3.1　对数的概念 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共52张PPT)
4.3.1　对数的概念
1. 了解对数、常用对数、自然对数的概念（数学抽象）.
2. 会进行对数式与指数式的互化（逻辑推理）.
3. 会求简单的对数值（数学运算）.
课标要求
情景导入
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……依次类推，
1个这样的细胞分裂x次得到的细胞个数N是多少？分裂多少次得到的细胞
个数为8和256？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数？
知识点一　对数的概念
01
知识点二　对数式与指数式的互相转化
02
提能点　利用对数性质求值
04
目录
课时作业
05
知识点三　对数的基本性质
03
知识点一
对数的概念
01
PART
问题1　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，以此
类推.
（1）1个这样的细胞分裂5次得到多少个这样的细胞？
提示：1个这样的细胞分裂5次得到25＝32个这样的细胞.
（2）1个这样的细胞分裂多少次可得到128个这样的细胞？
提示：设分裂x次，由2x＝128，得x＝7，即1个这样的细胞分裂7次可得到
128个这样的细胞.
（3）你认为（1）与（2）的运算过程有何区别呢？
提示：（1）是已知底数和指数求幂，（2）是已知底数和幂求指数.
【知识梳理】
1. 对数的定义
一般地，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做
，记作 ，其中a叫做 ，N叫做 .
　　提醒：logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一
个实数.
2. 常用对数与自然对数
以a为底N的对
数　
x＝logaN　
对数的底数　
真数　
【例1】　若对数式log（t－2）3有意义，则实数t的取值范围是（　　）
A. [2，＋∞） B. （2，3）∪（3，＋∞）
C. （－∞，2） D. （2，＋∞）
解析：　要使对数式log（t－2）3有意义，需 解得t＞2，且
t≠3.所以实数t的取值范围是（2，3）∪（3，＋∞）.
√
【规律方法】
对数式有意义的判断问题
　　利用式子logab 求字母的范围.
训练1　在M＝log（x－3）（x＋1）中，要使式子有意义，则x的取值范围
为（　　）
A. （－∞，3] B. （3，4）∪（4，＋∞）
C. （4，＋∞） D. （3，4）
解析：由对数的概念可得 解得3＜x＜4或x＞4.
√
知识点二
对数式与指数式的互相转化
02
PART
问题2　（1）通过对指数的学习我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，
则x＝4；若 ＝128，则x＝－7等这些方程，但对于2x＝3，1.11x＝
2，10x＝5等这样的指数方程，你能通过指数运算求出方程的解吗？
提示：不能
（2）现在学习了对数，你能解指数方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了吗？
提示：能.x＝log23；x＝log1.112；x＝log105＝lg 5.
【知识梳理】
对数与指数的关系：指数式与对数式的互化（其中a＞0，且a≠1）.
【例2】　（链接教材P122例1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指
数式：
（1）3－2＝ ；　　
解：因为3－2＝ ，所以log3 ＝－2.
（2） ＝16；
解：因为 ＝16，所以lo 16＝－2.
（3）lo 27＝－3；
解：因为lo 27＝－3，所以 ＝27.
（4）lo 64＝－6.
解：因为lo 64＝－6，所以（ ）－6＝64.
【规律方法】
指数式与对数式互化的方法
（1）指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数
不变，写出对数式；
（2）对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数
不变，写出指数式.
训练2　将下列指数式与对数式互化：
（1）log216＝4；
解：因为log216＝4，所以24＝16.
（2）lo x＝6；
解：因为lo x＝6，所以（ ）6＝x.
（3）43＝64；
解：因为43＝64，所以log464＝3.
（4）3－3＝ .
解：因为 ＝ ，所以log3 ＝－3.
知识点三
对数的基本性质
03
PART
问题3　（1）你能把20＝1，21＝2，log2x＝log2x化成对数式或指数式吗？
提示：log21＝0；log22＝1； ＝x.
（2）你能推出 ＝N（a＞0且a≠1，N＞0）这一恒等式吗？
提示：因为ax＝N（其中a＞0且a≠1，N＞0），所以x＝logaN，所以
＝N成立.
【知识梳理】
1. 对数的性质
（1）负数和0 对数；
（2）loga1＝ （a＞0，且a≠1）；
（3）logaa＝ （a＞0，且a≠1）.
2. 对数恒等式
（1） ＝N（a＞0，且a≠1，N＞0）；
（2）logaab＝b（a＞0，且a≠1，b∈R）.
没有　
0　
1　
【例3】　求下列各式的值：
（1）log981；
解：设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2.
（2）log0.41；
解：设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0.
（3）ln e2；
解：设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.
（4）10lg 5；
解：10lg 5＝5.
（5） .
解： ＝51× ＝5×8＝40.
【规律方法】
对数式中求值的基本思想和方法
（1）基本思想：在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的
值，要注意利用方程思想求解；
（2）基本方法：①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题；②
利用幂的运算性质和指数的性质计算.
训练3　求下列各式的值：
（1）log28；
解：设log28＝x，则2x＝8＝23.∴x＝3.∴log28＝3.
（2）log9 ；
解：设log9 ＝x，则9x＝ ＝9－1，∴x＝－1.
∴log9 ＝－1.
（3）ln e；
解：ln e＝1.
（4）lg 1；
解：lg 1＝0.
（5） .
解： ＝32× ＝9×5＝45.
04
PART
提能点
利用对数性质求值
【例4】　求下列各式中x的值：
（1）log2（log5x）＝0；
解：∵log2（log5x）＝0，
∴log5x＝20＝1，
∴x＝51＝5.
（2）log3（lg x）＝1；
解：∵log3（lg x）＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
（3）x＝ ；
解：x＝ ＝7÷ ＝7÷5＝ .
（4）log27x＝－ ；
解：由log27x＝－ ，得x ＝3－2＝ .
（5）logx16＝－4.
解：由logx16＝－4，得x－4＝16，即x4＝ ＝ ，
又x＞0，且x≠1，∴x＝ .
【规律方法】
利用对数的性质求值的方法
（1）求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1（a
＞0且a≠1）进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数
式运算；
（2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”
后再求解.
训练4　求下列各式中x的值.
（1）lo x＝－3；
解：x＝ ＝27.
（2）logx49＝4；
解：由x4＝49，x＞0且x≠1，得x＝ .
（3）lg 0.000 01＝x；
解：由10x＝0.000 01＝10－5，得x＝－5.
（4）ln ＝－x；
解：由e－x＝ ＝ ，得x＝－ .
（5）log8[log7（log2x）]＝0；
解：由log8[log7（log2x）]＝0，得log7（log2x）＝1，即log2x＝7，∴x＝27.
（6）log2[log3（log2x）]＝1.
解：由log2[log3（log2x）]＝1，得log3（log2x）＝2，∴log2x＝9，∴x＝29.
1. 在b＝log（a－2）（5－a）中，实数a的取值范围是（　　）
A. （－∞，2）∪（5，＋∞） B. （2，5）
C. （2，3）∪（3，5） D. （3，4）
解析：由对数的定义知 解得2＜a＜3或3＜a＜5.
√
2. 已知logx16＝2，则x＝（　　）
A. 4 B. ±4
C. 256 D. 2
解析：由logx16＝2，得x2＝16.又x＞0，∴x＝4.
√
3. 〔多选〕下列指数式与对数式互化正确的有（　　）
A. e0＝1与ln 1＝0
B. log39＝2与 ＝3
C. ＝ 与log8 ＝－
D. log77＝1与71＝7
解析：对于A，e0＝1可化为0＝loge1＝ln 1，所以A正确；对于B，log39＝2可化为32＝9，所以B不正确；对于C， ＝ 可化为log8 ＝－ ，所以C正确；对于D，log77＝1可化为71＝7，所以D正确.故选A、C、D.
√
√
√
4. 计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln 1＝ 　　.
0
解析：原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0.
课堂小结
1.理清单
（1）对数的概念；
（2）自然对数、常用对数；
（3）指数式与对数式的互化；
（4）对数的性质.
2.应体会
利用指数式与对数式的互化解决问题，体现了转化与化归思想.
3.避易错
易忽视对数式中底数与真数的范围.
课时作业
05
PART
1. 使对数loga（－2a＋1）有意义的a的取值范围为（　　）
A. a＞ 且a≠1 B. 0＜a＜
C. a＞0且a≠1 D. a＜
解析：　由对数的概念可知使对数loga（－2a＋1）有意义的a需满足
解得0＜a＜ .
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2. 若logx ＝z，则x，y，z之间满足（　　）
A. y7＝xz B. y＝
C. y＝7xz D. y＝
解析：由题意得 ＝xz，∴y＝（xz）7＝ .
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3. 方程lg（x2－1）＝lg（2x＋2）的根为（　　）
A. －3 B. 3
C. －1或3 D. 1或－3
解析：　由lg（x2－1）＝lg（2x＋2），得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3
＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1不合题意，所以原方程的根为x＝
3.故选B.
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4. 若log32＝x，则3x＋9x＝（　　）
A. 6 B. 3
C. D.
解析：　由log32＝x得3x＝2，因此9x＝（3x）2＝4，所以3x＋9x＝2＋4
＝6，故选A.
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5. 已知log7[log3（log2x）]＝0，那么 ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　由条件，知log3（log2x）＝1，所以log2x＝3，即x＝23＝8，所
以 ＝ ＝ ＝ ＝ .故选C.
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6. 〔多选〕下列各式中正确的有（　　）
A. lg（lg 10）＝0
B. lg（ln e）＝0
C. 若10＝lg x，则x＝100
D. 若log25x＝ ，则x＝±5
解析：对于A，因为lg 10＝1，lg 1＝0，所以lg（lg 10）＝lg 1＝0，故A正确；对于B，因为ln e＝1，lg 1＝0，所以lg（ln e）＝lg 1＝0，故B正确；对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，故C错误；对于D，因为log25x＝ ，所以2 ＝x，所以x＝5，故D错误.故选A、B.
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7. 若log3 ＝1，则x＝ ；若log3（2x－1）＝0，则x＝ .
解析：若log3 ＝1，则 ＝3，即2x－3＝9，x＝6；若log3（2x－
1）＝0，则2x－1＝1，即x＝1.
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8. 计算：（1） ＝ ；（2） ＝ 　 　.
解析：（1） ＝（32 ＝ ＝5.
（2） ＝ ＝ .
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9. － ＋lg ＋（ －1 ＝ .
解析：原式＝ － ＋lg 10－2＋（ －1）0＝ － －2＋1＝－3.
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10. 求下列各式中的x的值：
（1）logx27＝ ；
解：由logx27＝ ，得 ＝27，∴x＝2 ＝32＝9.
（2）log2x＝－ ；
解：由log2x＝－ ，得 ＝x，
∴x＝ ＝ .
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解：由x＝log27 ，得27x＝ ，
即 ＝3－2，则3x＝－2，
∴x＝－ .
解： ∵a＝log32，∴3a＝2，
∴x＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
（3）x＝log27 ；
（4）设a＝log32，x＝ .
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11. 〔多选〕下列指数式与对数式互化正确的有（　　）
A. a0＝1与loga1＝0（a＞0且a≠1）
B. lo 3＝2与（ ）2＝3
C. 2 ＝ 与lo 27＝－3
D. log2 ＝ 与 ＝
解析：2 ＝ 化为对数式为log27 ＝－ ，故C错误，A、B、D正确.
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12. 若lo x＝m，lo y＝m＋2，则 ＝ .
解析：∵lo x＝m，∴ ＝x，x2＝ .∵lo y＝m＋2，
∴ ＝y，y＝ .∴ ＝ ＝ ＝ ＝
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13. 若a＞0， ＝ ，则lo a＝ .
解析：因为 ＝ ，a＞0，所以a＝ ＝ ，设lo a＝x，所以
＝a，所以x＝3.
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14. 设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2，若log16（a＋b－c）＝ ，
log5（2a＋b－c）＝1，求a，b，c的值.
解：因为log16（a＋b－c）＝ ，
所以a＋b－c＝2，　①
因为log5（2a＋b－c）＝1，
所以2a＋b－c＝5，　②
由②－①得a＝3，
将a＝3代入①得c－b＝1，
又因为a2＋b2＝c2，所以b＝4，c＝5.
综上，a＝3，b＝4，c＝5.
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15. 若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6（a＋b），求 ＋ 的值.
解：设2＋log2a＝3＋log3b＝log6（a＋b）＝k，
则a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，
所以 ＋ ＝ ＝ ＝22×33＝108.
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